课时作业(三十一)
[22.4 第2课时 矩形的判定]
一、选择题
1．如图K－31－1，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是( )
A．AB＝CD B．AD＝BC
C．AB＝BC D．AC＝BD
2．数学课上，老师要求同学们判断一个四边形门框是不是矩形．下面是某合作小组的4位同学拟订的方案，其中正确的是( )
图K－31－1
A．测量对角线是否互相平分
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量一组对角是否都为直角
D．测量三个角是不是直角
3．如图K－31－2，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是( )
图K－31－2
A．AB∥DC B．AC＝BD
C．AC⊥BD D．AB＝DC
4．已知：线段AB，BC，∠ABC＝90°.求作：矩形ABCD.图K－31－3①②是甲、乙两位同学的作业：
图K－31－3
对于两人的作业，下列说法正确的是( )
A．两人都对 B．两人都不对
C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
二、填空题
5．如图K－31－4，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC，连接
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AE，BF.当∠ACB为________度时，四边形ABFE为矩形．
图K－31－4
6．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，延长BA到点D，延长CA到点E，使AD＝AB，AC＝AE.连接BE，CD，则四边形BCDE是________，判断依据是__________________．
7．用刻度尺检验一个四边形是不是矩形，以下方法可行的有________(只要填序号即可)．
①量出四边及两条对角线，比较对边是否相等，对角线是否相等；
②量出对角线的交点到四个顶点的距离，看是否相等；
③量出一组邻边的长a，b以及和这两边组成三角形的那条对角线的长c，计算是否有a2＋b2＝c2；
④量出两条对角线的长，看是否相等．
8．如图K－31－5，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，P是AB上的任意一点，作PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，连接DE，则DE的最小值为________.
图K－31－5
三、解答题
9．如图K－31－6，在△ABC中，AB＝AC，AD，AE分别是∠BAC，△ABC的外角∠BAF的平分线，BE⊥AE.试判断AB与DE是否相等，并证明你的结论.
图K－31－6
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10．如图K－31－7，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知O是AC的中点，AE＝CF，DF∥BE.
(1)求证：△BOE≌△DOF；
(2)若OD＝AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论．
图K－31－7
11．如图K－31－8，E是▱ABCD中BC边的中点，连接AE并延长，交DC的延长线于点F.
(1)求证：△ABE≌△FCE；
(2)连接AC，BF，若∠AEC＝2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形．
图K－31－8
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12．如图K－31－9，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P分别作边AB，AD的平行线，交两组对边于点E，F和G，H.
(1)求证：△PHC≌△CFP；
(2)证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．
图K－31－9
方程思想、动点问题2017·石家庄栾城期中如图K－31－10，在▱ABCD中，已知对角线AC，BD相交于点O，若E，F是AC上的两个动点，分别从点A，C以1 cm/s的速度向点C，A运动，运动时间为t s.
(1)当点E与点F不重合时，四边形DEBF是不是平行四边形？请说明理由．
(2)若AC＝16 cm，BD＝12 cm，点E，F在运动过程中，四边形DEBF能否为矩形？试说明理由．
图K－31－10
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详解详析
[课堂达标]
1．D [解析] 对角线互相平分的四边形是平行四边形．要想使其成为矩形，只需满足对角线相等或有一个角是直角即可．
2．D
3．C [解析] 依题意，得四边形EFGH是由四边形ABCD各边中点连接而成，
故EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，
所以四边形EFGH是平行四边形．
要使四边形EFGH为矩形，
根据矩形的判定(有一个角为直角的平行四边形是矩形)，
故当AC⊥BD时，∠EFG＝90°，四边形EFGH为矩形．
故选C.
4．A [解析] 由甲同学的作业可知，CD＝AB，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形．又∵∠ABC＝90°，∴▱ABCD是矩形．∴甲同学的作业正确；由乙同学的作业可知，CM＝AM，MD＝MB，∴四边形ABCD是平行四边形．又∵∠ABC＝90°，∴▱ABCD是矩形．∴乙同学的作业正确．故选A.
5．60 [解析] 如果四边形ABFE为矩形，根据矩形的性质，那么AF＝BE，AC＝BC.又因为AC＝AB，所以△ABC是等边三角形，所以∠ACB＝60°.
6．矩形 对角线相等的平行四边形是矩形
[解析] 如图所示，
∵AC＝AE，AB＝AD，
∴四边形BCDE为平行四边形．
∵AB＝AC，∴BD＝EC，
∴四边形BCDE为矩形．
依据是对角线相等的平行四边形是矩形．
故答案为：矩形，对角线相等的平行四边形是矩形．
7．①② [解析] ①根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，再根据对角线相等判定四边形是矩形，故此选项正确；②根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形，可判定四边形是矩形，故选项正确；③根据勾股定理可以判断是不是直角，但不能判断是不是矩形，故此选项不正确；④量出两条对角线的长，看是否相等，不能判断其是不是矩形，必须两条对角线相等且互相平分才是矩形，故此选项错误．综上所述，用刻度尺检验一个四边形是不是矩形，可行的方法有①②.
8．4.8 [解析] 连接CP，根据矩形的性质可知DE＝CP，当DE最小时，CP最小．根据垂线段最短可知当CP⊥AB时，CP最小．根据三角形的面积为定值即可求出CP的长．
9．解：AB＝DE.
证明：∵AD，AE分别是∠BAC，∠BAF的平分线，
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∴∠DAB＝∠CAB，∠BAE＝∠BAF，
∴∠DAE＝∠DAB＋∠BAE＝(∠CAB＋∠BAF)＝×180°＝90°.
∵AE⊥BE，∴∠AEB＝90°.
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，
∴四边形BDAE是矩形，∴AB＝DE.
10．解：(1)证明：∵DF∥BE，
∴∠FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠BEO.
∵O为AC的中点，AE＝CF，
∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF.
在△BOE和△DOF中，
∵∴△BOE≌△DOF(AAS)．
(2)若OD＝AC，则四边形ABCD是矩形．
证明：由(1)知△BOE≌△DOF，∴OB＝OD.
∵O是AC的中点，OD＝AC，
∴OA＝OB＝OC＝OD，即BD＝AC，
∴四边形ABCD是矩形．
11．[解析] (1)由四边形ABCD为平行四边形，根据平行四边形的对边平行得到AB与DC平行．根据两直线平行内错角相等得到一对角相等．由E为BC的中点，得到两条线段相等，再由对顶角相等，利用ASA可得出△ABE与△FCE全等；(2)由△ABE与△FCE全等，根据全等三角形的对应边相等得到AE＝EF，再由∠AEC为△ABE的外角，利用外角的性质得到∠AEC＝∠EAB＋∠ABC，再由∠AEC＝2∠ABC，得到∠ABE＝∠EAB，利用等角对等边可得出AE＝BE，进而得出AF＝BC.利用对角线相等的平行四边形为矩形，可得出四边形ABFC为矩形．
证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥DC，∴∠ABE＝∠FCE.
又∵E为BC的中点，∴BE＝CE.
在△ABE和△FCE中，
∵
∴△ABE≌△FCE(ASA)．
(2)由(1)知△ABE≌△FCE，∴AE＝EF.
又∵∠AEC＝2∠ABC，且∠AEC为△ABE的外角，∴∠AEC＝∠ABC＋∠EAB，
∴∠ABC＝∠EAB，∴AE＝BE，
∴AE＝EF＝EB＝EC，
∴AE＋EF＝BE＋EC，即AF＝BC，
∴由对角线互相平分且相等的四边形是矩形可知四边形ABFC为矩形．
12．解：(1)证明：∵四边形ABCD为矩形，
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∴AB∥CD，AD∥BC.
∵PF∥AB，∴PF∥CD，
∴∠CPF＝∠PCH.
∵PH∥AD，∴PH∥BC，
∴∠PCF＝∠CPH.
在△PHC和△CFP中，
∴△PHC≌△CFP(ASA)．
(2)证明：∵EF∥AB∥CD，GH∥AD∥BC，
∴四边形PEDH与四边形PFBG是平行四边形．
∵四边形ABCD为矩形，∴∠D＝∠B＝90°.
∴四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形．
由(1)知△PHC≌△CFP，∴S△PHC＝S△CFP.
同理可得△AEP≌△PGA，∴S△AEP＝S△PGA.
∵S△ADC＝S△CBA，
∴S△ADC－S△PHC－S△AEP＝S△CBA－S△CFP－S△PGA，∴S矩形PEDH＝S矩形PFBG.
[素养提升]
解：(1)四边形DEBF是平行四边形．
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵点E，F分别从点A，C以1 cm/s的速度向点O运动，
∴AE＝CF，∴OE＝OF，
∴四边形DEBF是平行四边形．
(2)∵四边形DEBF可以为矩形．理由：
∵四边形DEBF是平行四边形，
∴当BD＝EF时，四边形DEBF是矩形．
∵BD＝12 cm，∴EF＝12 cm，
∴OE＝OF＝6 cm.
∵AC＝16 cm，∴OA＝OC＝8 cm，
∴AE＝2 cm或AE＝14 cm.
∵动点的速度都是1 cm/s，∴t＝2 s或t＝14 s.
故当运动时间t＝2 s或t＝14 s时，四边形DEBF是矩形．
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