课时作业(三十五)
[22.7 多边形的内角和与外角和]
一、选择题
1．2017·百色多边形的外角和等于( )
A．180° B．360°
C．720° D．(n－2)·180°
2．六边形的内角和是( )
A．540° B．720° C．900° D．360°
3．2017·宜昌如图K－35－1，将一张四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，下列四种剪法中，符合要求的是( )
图K－35－1
图K－35－2
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
4．下列各度数不是多边形的内角和的是( )
A．1800° B．1700°
C．1620° D．1080°
5．若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是( )
A．7 B．8 C．9 D．10
6．内角和为540°的多边形是( )
图K－35－3
7．把一张形状是矩形的纸片剪去其中一个角，剩下的部分是一个多边形，则这个多边形的内角和不可能是( )
图K－35－4
A．720° B．540°
C．360° D．180°
8．如图K－35－4，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为
6
2340°的新多边形，则原多边形的边数为( )
A．13 B．14 C．15 D．16
9. 若一个多边形的内角和小于其外角和，则这个多边形的边数是( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
10. 图K－35－5所示的是一个五边形公园的示意图，若∠1＝85°，小梅沿公园边缘由A点经B→C→D→E→F散步，则小梅共转了 ( )
图K－35－5
A. 445° B. 360° C. 265° D. 275°
二、填空题
11．一个多边形的边数增加时，其外角和________．
12．已知一个多边形的每一个外角都等于45°，则这个多边形的边数是________．
13．2017·河北滦南扒齿港中学期末一个多边形的内角和是它外角和的1.5倍，那么这个多边形是________边形.
14．已知一个多边形的内角和与外角和的差是1260°，则这个多边形的边数为________．
15．2018·南通已知正n边形的每一个内角为135°，则n＝________．
16．如果一个多边形的内角和与外角和的度数之比为9∶2，那么它是________边形．
三、解答题
17．求下列图形中的x值．
图K－35－6
18. 一个多边形的各个内角都相等，其中一个外角等于和它相邻的内角的，求这个多边形的边数．
6
19. 已知一个多边形从其中一个顶点连对角线可以将多边形分成8个三角形，求该多边形的内角和．
20．已知一个多边形的各内角都相等，且每个内角与外角之差的绝对值为60°，求这个多边形的边数．
21．已知n边形的内角和θ＝(n－2)×180°.
(1)甲同学说：“θ能取360°.”乙同学说：“θ也能取630°.”甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n；若不对，说明理由．
(2)若n边形变为(n＋x)边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x.
6
1．探究题如图K－35－7，六边形ABCDEF的六个内角都相等，若AB＝1，BC＝CD＝3，DE＝2，则这个六边形的周长等于________．
图K－35－7
2．小明和小方分别设计了一种求n边形的内角和(n－2)×180°(n为大于2的整数)的方案：
(1)小明是在n边形内取一点P，然后分别连接PA1，PA2，…，PAn(如图K－35－8①)．
(2)小红是在n边形的一边A2A3(不与点A2，A3重合)上任取一点P，然后分别连接PA1，PA4，PA5，…，PAn(如图②)．
请你评判这两种方案是否可行？如果不可行，请你说明理由；如果可行，请你沿着方案的设计思路把多边形的内角和求出来．
图K－35－8
6
详解详析
[课堂达标]
1．B [解析] 多边形的外角和是360°.故选B.
2．B [解析] 根据题意，得(6－2)×180°＝720°.故选B.
3．B [解析] ∵①剪开后的两个图形是四边形，它们的内角和都是360°，③剪开后的两个图形是三角形，它们的内角和都是180°，∴①③剪开后的两个图形的内角和相等．故选B.
4．B [解析] 多边形的内角和都是180°的整数倍，1700°不能被180°整除．故选B.
5．C [解析] 根据题意，得360÷40＝9.故选C.
6．C [解析] 设多边形的边数是n，则(n－2)·180°＝540°，解得n＝5.故选C.
7．A [解析] 把一张形状是矩形的纸片剪去其中一个角，剩下的部分的形状可能是三角形或四边形或五边形，
所以这个多边形的内角和可能是180°或360°或540°，不可能是720°.故选A.
8．B
9．A [解析] 三角形的内角和是180°，四边形的内角和是360°，而且边数越多，内角和越大，而多边形的外角和是360°，与边数无关，所以选择A.
10．D [解析] 注意小梅没转过∠1这个角度，所以用五边形的外角和减去85°，即可得出小梅共转了275°.故选D.
11．不变 [解析] 由多边形的外角和定理可知，当其边数增加时，其外角和不变．
12．8
13．五 [解析] 设这个多边形为n边形，由题意得(n－2)×180°＝360°×1.5，解得n＝5.故答案为五．
14．11 [解析] 根据题意，得这个多边形的内角和为1260°＋360°＝1620°，1620÷180＋2＝11.故这个多边形的边数为11.
15．8 [解析] 多边形的外角是180°－135°＝45°，∴n＝＝8.
16．十一 [解析] 设该多边形的边数为n，
则(n－2)×180°∶360°＝9∶2，解得n＝11.
17．解：(1)由图可得73°＋82°＋90°＋(180°－x)＝360°，解得x＝65°.
(2)五边形的内角和为(5－2)×180°＝540°，可得x＋x＋x＋30°＋x－30°＋60°＝540°，解得x＝120°.
18．[解析] 多边形每个外角与和它相邻的内角互补，已知多边形的各个内角相等，则各个外角也相等．
解：设这个多边形的一个内角的度数为x，
则外角的度数为x.
根据题意，得x＋x＝180°.解得x＝108°.
则外角的度数为180°－108°＝72°.
所以该多边形的边数为360°÷72°＝5.
19．[解析] 由n边形其中一个顶点连对角线可以将多边形分成(n－2)个三角形，求出这个多边形的边数，再由多边形的内角和定理求出其内角和．
6
解：对于多边形，从一个顶点引对角线可将多边形分成(n－2)个三角形(n为多边形的边数)，所以这个多边形是十边形．根据多边形内角和公式，得(10－2)×180°＝1440°，所以这个多边形的内角和为1440°.
20．解：设多边形的一个内角为x°，则与它相邻的外角为(180－x)°，则|x－(180－x)|＝60.
解得x＝120或x＝60.
当内角为120°时，外角为60°，多边形的边数为360÷60＝6；
当内角为60°时，外角为120°，多边形的边数为360÷120＝3.
综上，这个多边形的边数为3或6.
21．解：(1)∵360°÷180°＝2，630°÷180°＝3……90°，
∴甲的说法对，乙的说法不对．
360°÷180°＋2＝2＋2＝4.
答：甲同学说的边数n是4.
(2)依题意有(n＋x－2)×180°－(n－2)×180°＝360°，解得x＝2.故x的值是2.
[素养提升]
1．15
2．解：这两种方案都是可行的．
方案一：如题图①所示，n边形可分为n个三角形，
则多边形的内角和＝n×180°－360°＝(n－2)×180°；
方案二：如题图②所示，n边形可分为(n－1)个三角形，
则多边形的内角和＝(n－1)×180°－180°＝(n－2)×180°.
6
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