专题训练(四) 平行四边形性质与判定的综合应用
应用一 平行四边形与三角形
1．如图4－ZT－1，在▱ABCD中，若AD＝8 cm，AB＝6 cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE的长为( )
图4－ZT－1
A．2 cm B．4 cm
C．6 cm D．8 cm
2．如图4－ZT－2，在▱ABCD中，CE⊥AB，E为垂足．如果∠A＝120°，那么∠BCE的度数是( )
图4－ZT－2
A．80° B．50° C．40° D．30°
3．2017·丽水如图4－ZT－3，在▱ABCD中，连接AC，∠ABC＝∠CAD＝45°，AB＝2，则BC的长是( )
图4－ZT－3
A. B．2 C．2 D．4
4．已知平行四边形的一边长是14，下列各组数中能分别作为它的两条对角线长的是( )
A．10与16 B．12与16
C．20与22 D．10与40
应用二 平行四边形的性质与全等三角形
5．2017·眉山如图4－ZT－4，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F.若▱ABCD的周长为18，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为( )
图4－ZT－4
A．14 B．13 C．12 D．10
6．如图4－ZT－5，四边形ABCD是平行四边形，点E在边BC上，如果F是边AD上的点，那么△CDF与△ABE不一定全等的条件是( )
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图4－ZT－5
A．DF＝BE B．AF＝CE
C．CF＝AE D．CF∥AE
7．如图4－ZT－6，将▱ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，分别连接AD1，BC1.
(1)从线段CA1上找出两对相等的线段；
(2)求证：△A1AD1≌△CC1B.
图4－ZT－6
应用三 平行四边形的性质与平面直角坐标系
8．如图4－ZT－7，在平面直角坐标系中，▱MNEF的两条对角线ME，NF交于原点O，点F的坐标是(4，1)，则点N的坐标是( )
图4－ZT－7
A．(－4，－1) B．(－4，1)
C．(－1，4) D．(1，4)
9．如图4－ZT－8，在平面直角坐标系中，以O(0，0)，A(1，1)，B(3，0)为顶点，构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形的顶点的是( )
图4－ZT－8
A．(－3，1) B．(4，1)
C．(－2，1) D．(2，－1)
应用四 平行四边形判定中的开放性试题
10．在四边形ABCD中，已知AD∥BC，若再添加一个条件，能使四边形ABCD成为平行
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四边形，则这个条件可以是________(写出一个条件即可)．
11．如图4－ZT－9，在▱ABCD中，E，F分别为AD，BC边上的一点，若再增加一个条件______________(只需写一个条件)，就可推得BE＝DF.
图4－ZT－9
12．如图4－ZT－10，点E，F在▱ABCD的对角线BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需添加一个条件____________(只需写出一个结论，不必考虑所有情况)．
图4－ZT－10
应用五 平行四边形性质与判定的综合应用
13．如图4－ZT－11，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点O，且OA＝OC，猜想线段CD与线段AE的数量关系和位置关系，并加以证明．
图4－ZT－11
14．如图4－ZT－12，在▱ABCD中，∠ABC＝60°，E，F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF＝，求AB的长．
图4－ZT－12
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15．四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BE，CD＝DF.
(1)如图4－ZT－13，若点E，F分别在CB，AD的延长线上，求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若点E，F分别在DA，BC的延长线上，(1)中的结论还成立吗？说明理由．
图4－ZT－13
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详解详析
1．A [解析] 根据平行四边形的性质得AD∥BC，∴∠EDA＝∠DEC.
又∵DE平分∠ADC，
∴∠EDC＝∠ADE，∴∠EDC＝∠DEC，
∴CD＝CE＝AB＝6 cm，∴BE＝BC－EC＝AD－AB＝8－6＝2(cm)．故选A.
2．D [解析] ∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝120°，∴∠B＝180°－120°＝60°.
又∵CE⊥AB，∴∠BCE＝90°－∠B＝30°.故选D.
3．C [解析] ∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝2，BC＝AD，∠D＝∠ABC＝∠CAD＝45°，∴AC＝CD＝2，∠ACD＝90°，即△ACD是等腰直角三角形，∴BC＝AD＝＝2 .故选C.
4．C [解析] 如图，假设AB＝14，由较短两边之和大于第三边可知，只有C项符合题意，故选C.
5．C [解析] ∵四边形ABCD是平行四边形，周长为18，
∴AB＝CD，BC＝AD，OA＝OC，AD∥BC，
∴CD＋AD＝9，∠OAE＝∠OCF.
在△AEO和△CFO中，
∴△AEO≌△CFO(ASA)，
∴OE＝OF＝1.5，AE＝CF，
∴四边形EFCD的周长＝ED＋CD＋CF＋EF＝(DE＋CF)＋CD＋EF＝AD＋CD＋EF＝9＋3＝12.故选C.
6．C [解析] A项，当DF＝BE时，由平行四边形的性质可得AB＝CD，∠B＝∠D，利用SAS可判定△CDF≌△ABE.
B项，当AF＝CE时，由平行四边形的性质可得BE＝DF，AB＝CD，∠B＝∠D，利用SAS可判定△CDF≌△ABE.
C项，当CF＝AE时，由平行四边形的性质可得AB＝CD，∠B＝∠D，利用SSA不能判定△CDF≌△ABE.
D项，当CF∥AE时，由平行四边形的性质可得AB＝CD，∠B＝∠D，∠AEB＝∠CFD，利用AAS可判定△CDF≌△ABE.故选C.
7．解：(1)相等的线段：AA1＝CC1，A1C1＝AC.
(2)证明：由题意，得A1D1∥BC，A1D1＝BC，
则∠D1A1A＝∠BCC1.
在△A1AD1和△CC1B中，
∵
∴△A1AD1≌△CC1B(SAS)．
8．A [解析] 在▱MNEF中，点F和点N关于原点对称，∵点F的坐标是(4，1)，∴点N
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的坐标是(－4，－1)．
9．A [解析] 因为经过三点可构造三个平行四边形，即▱AOBC1，▱ABOC2，▱AOC3B.根据平行四边形的性质，可知B，C，D三个选项正好是点C1，C2，C3的坐标．故选A.
10．答案不唯一，如AD＝BC
[解析] 添加条件AD＝BC，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得出该四边形是平行四边形．
11．答案不唯一，如AE＝CF
12．答案不唯一，如DE＝BF
13．解：猜想：CD∥AE，CD＝AE.
证明：∵CE∥AB，
∴∠DAO＝∠ECO.
在△ADO和△CEO中，∵
∴△ADO≌△CEO(ASA)，
∴AD＝CE，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴CD∥AE，且CD＝AE.
14．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∵AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AB＝DE＝CD，
即D为CE的中点．
∵EF⊥BC，∴∠F＝90°.
∵AB∥CD，∴∠DCF＝∠ABC＝60°，
∴∠CEF＝30°.
∵EF＝，∴CE＝2，
∴AB＝1.
15．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，AB＝CD.
∵点E，F分别在CB，AD的延长线上，
∴AF∥CE.
∵AB＝BE，CD＝DF，
∴BE＝DF，∴AD＋DF＝BE＋BC，
∴AF＝CE，
∴四边形AECF是平行四边形．
(2)成立．
理由：如图，
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∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠DAB＝∠DCB，AD∥BC.
∵∠EAB＋∠DAB＝180°，∠DCB＋∠DCF＝180°，
∴∠EAB＝∠FCD.∵AB＝BE，CD＝DF，
∴∠BEA＝∠EAB＝∠DCF＝∠DFC.
在△EBA和 △FDC中，
∴△EBA≌△FDC(AAS)，
∴AE＝CF.
∵点E，F分别在DA，BC的延长线上，
∴AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．
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