课时作业(二十八)
[22.2 第2课时 平行四边形的判定(2)]
一、选择题
1．下列说法错误的是( )
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
2．在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是( )
A．OA＝OC，OB＝OD
B．AD∥BC，AB∥DC
C．AB＝DC，AD＝BC
D．AB∥DC，AD＝BC
3．点A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD，②AB＝CD，③BC∥AD，④BC＝AD这四个中任选两个作为条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有( )
A．6种 B．5种 C．4种 D．3种
4．如图K－28－1，在△ABC中，分别延长中线BE，CF到点N，M，使得EN＝BE，MF＝CF，下列说法中，错误的是( )
图K－28－1
A．四边形ABCN是平行四边形
B．AM，AN都与BC平行
C．四边形ACBM是平行四边形
D．M，A，N三点不一定在同一条直线上
二、填空题
5．在四边形ABCD中，如果AD＝8 cm，AB＝4 cm，那么当BC＝______cm，CD＝________cm时，四边形ABCD为平行四边形．
6．如图K－28－2，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AD∥BC，请添加一个条件：________，使四边形ABCD为平行四边形(不添加任何辅助线)．
图K－28－2
7．如图K－28－3所示，BD是▱ABCD的对角线，点E，F在BD上，请你添加一个条件：________，使四边形AECF是平行四边形(填一个即可).
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图K－28－3
8．如图K－28－4，A(－2，1)，B(－3，－1)，C(0，－1)．点D在坐标平面内，且以A，B，C，D四个点构成的四边形是平行四边形，则这样的D点有________个，坐标分别是________________．
图K－28－4
9．如图K－28－5，在等边三角形ABC中，BC＝6 cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1 cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度运动．如果点E，F同时出发，设运动时间为t(s)．当t＝________s时，以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形．
图K－28－5
三、解答题
10．已知：如图K－28－6，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AB＝DC＝5，AC＝4，BC＝3.
求证：四边形ABCD为平行四边形．
图K－28－6
11．如图K－28－7，▱ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O，分别与AB，CD的
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延长线交于点E，F.
求证：四边形AECF是平行四边形(用两种判定定理证明，体会哪种方法更简捷)．
图K－28－7
12．如图K－28－8，在▱ABCD中，分别以AD，BC为边向内作等边三角形ADE和等边三角形BCF，连接BE，DF.
求证：四边形BEDF是平行四边形．
图K－28－8
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综合运用嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的，她先用尺规作出了如图K－28－9的四边形ABCD，并写出了如下不完整的已知和求证．
图K－28－9
(1)在方框中填空，以补全已知和求证；
(2)按嘉淇的想法(如图K－28－10)写出证明；
(3)用文字叙述所证命题的逆命题为________．
图K－28－10
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详解详析
[课堂达标]
1．D [解析] 一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，例如：等腰梯形．故选D.
2．D 3.C
4．D [解析] 从条件可得四边形ACBM和四边形ABCN均符合对角线互相平分，因此这两个四边形都是平行四边形，故选项A，C正确；由平行四边形的对边互相平行，可知B选项正确，D选项错误．
5．8 4 6.答案不唯一，如AD＝BC
7．答案不唯一，如BE＝DF
8．3 (－5，1)，(1，1)，(－1，－3)
9．2或6 [解析] ①当点F在点C的左侧时，根据题意，得AE＝t cm，BF＝2t cm，
则CF＝BC－BF＝(6－2t)cm.
∵AG∥BC，∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形，
即t＝6－2t，解得t＝2；
②当点F在点C的右侧时，
根据题意，得AE＝t cm，BF＝2t cm，
则CF＝BF－BC＝(2t－6)cm.
∵AG∥BC，∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形，
即t＝2t－6，解得t＝6.
综上可得，当t＝2 s或t＝6 s时，以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形．
故答案为2或6.
10．[解析] 已知AB＝5，AC＝4，BC＝3，可证△ABC为直角三角形．由AD∥BC，得∠CAD＝∠ACB＝90°，即△CAD为直角三角形．已知DC＝5，AC＝4，利用勾股定理可求得AD＝3，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可得证．
证明：∵在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，
∴AB2＝AC2＋BC2，∴∠BCA＝90°.
∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA＝90°.∵DC＝5，AC＝4，∴AD2＝DC2－AC2＝9，∴AD＝BC＝3，∴四边形ABCD为平行四边形．
11．证明：方法一：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD＝OB，OA＝OC，AB∥CD，
∴∠DFO＝∠BEO，∠FDO＝∠EBO.
在△FDO和△EBO中，∵
∴△FDO≌△EBO(AAS)，∴OF＝OE.
又∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形．
方法二：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，OD＝OB，
∴∠ODF＝∠OBE.
又∵∠FOD＝∠BOE，∴△FDO≌△EBO，
∴FD＝BE，∴FC＝AE.
又∵FC∥AE，∴四边形AECF是平行四边形．
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12．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB，AD＝CB，∠DAB＝∠BCD.又∵△ADE和△BCF都是等边三角形，∴AD＝DE＝AE，CF＝FB＝BC，∠DAE＝∠BCF＝60°，∴DE＝
BF，AE＝CF.∵∠DCF＝∠BCD－∠BCF，∠BAE＝∠DAB－∠DAE，∴∠DCF＝∠BAE，∴△DCF≌△BAE(SAS)，∴DF＝BE，∴四边形BEDF是平行四边形．
[素养提升]
解：(1)CD 平行
(2)证明：连接BD.
在△ABD和△CDB中，∵AB＝CD，AD＝CB，BD＝DB，
∴△ABD≌△CDB.
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.
∴AB∥CD，AD∥CB.
∴四边形ABCD是平行四边形．
(3)平行四边形的对边相等
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