第
22
章
四边形
本章总结提升
知识框架
整合提升
第
22
章
四边形
本章总结提升
知识框架
多边形
平行四边形
性质和判定
特殊的平行四边形
三角形中位线的性质
多边形的内角和、外角和
矩形（性质和判定）
菱形（性质和判定）
正方形（性质和判定）
整合提升
问题
1
概念理解性问题
本章总结提升
在本章中学习了平行四边形和特殊的平行四边形、三角形的中位线等基本概念，这些概念有什么区别与联系？
本章总结提升
D
B
本章总结提升
【归纳总结】
三角形中位线的两个作用：
图
22
－
T
－
1
问题
2
计算性问题
本章总结提升
通过本章的学习，应掌握运用平行四边形及三角形的中位线的相关知识，解决有关边和角的计算问题的方法
.
你能说出平行四边形和特殊平行四边形的一些涉及边或角的计算的方法吗？
本章总结提升
例
2
（
1
）
2017·
怀化
如图
22
－
T
－
2
，在矩形
ABCD
中，对角线
AC
，
BD
相交于点
O
，∠
AOB
＝
60
°，
AC
＝
6 cm
，则
AB
的长是（ ）
A.3 cm B.6 cm
C.10 cm D.12 cm
图
22
－
T
－
2
A
本章总结提升
（
2
）
2017·
海南
如图
22
－
T
－
3
，在菱形
ABCD
中，
AC
＝
8
，
BD
＝
6
，则
△
ABC
的周长是（ ）
A.14 B.16
C.18 D.20
图
22
－
T
－
3
C
本章总结提升
（
3
）
2017·
六盘水
如图
22
－
T
－
4
，在正方形
ABCD
中，等边三角形
AEF
的顶点
E
，
F
分别在边
BC
和
CD
上，则
∠
AEB
＝
°
.
75
本章总结提升
【归纳总结】
平行四边形、矩形、菱形、正方形性质一览表：
边
角
对角线
平行四边形
对边平行且相等
对角相等
对角线互相平分
矩形
对边平行且相等
四个角都是直角
对角线互相平分且相等
菱形
对边平行，四条边相等
对角相等
对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角
正方形
对边平行，四条边都相等
四个角都是直角
对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角
问题
3
推理性问题
本章总结提升
通过本章的学习，应掌握运用平行四边形及三角形的中位线的相关知识，解决有关线段之间的数量和位置关系的推理问题
.
请你回忆一下平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质及判定定理
.
本章总结提升
例
3
（
1
）
2017·
上海
已知▱
ABCD
，
AC
，
BD
是它的两条对角线，那么下列条件中，能判定这个平行四边形为矩形的是（ ）
A.
∠
BAC
＝
∠
DCA
B.
∠
BAC
＝
∠
DAC
C.
∠
BAC
＝
∠
ABD
D.
∠
BAC
＝
∠
ADB
C
本章总结提升
（
2
）
2017·
临沂
如图
22
－
T
－
5
，在
△
ABC
中，
D
是边
BC
上的点（与
B
，
C
两点不重合），过点
D
作
DE
∥
AC
，
DF
∥
AB
，分别交
AB
，
AC
于点
E
，
F
，下列说法正确的是（ ）
A.
若
AD
⊥
BC
，则四边形
AEDF
是矩形
B.
若
AD
垂直平分
BC
，则四边形
AEDF
是矩形
C.
若
BD
＝
CD
，则四边形
AEDF
是菱形
D.
若
AD
平分
∠
BAC
，则四边形
AEDF
是菱形
图
22
－
T
－
5
D
本章总结提升
【归纳总结】
特殊平行四边形判定一览表：
图形
判定方法
矩形
从角看：（
1
）有三个角是直角的四边形是矩形；
（
2
）有一个角是直角的平行四边形是矩形
.
从对角线看，对角线相等的平行四边形是矩形
菱形
从边看：（
1
）一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（
2
）四条边都相等的四边形是菱形
.
从对角线看，对角线互相垂直的平行四边形是菱形
正方形
（
1
）有一组邻边相等的矩形是正方形；
（
2
）有一个角是直角的菱形是正方形
例
4
我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形
.
（
1
）如图
22
－
T
－
6①
，四边形
ABCD
中，
E
，
F
，
G
，
H
分别为边
AB
，
BC
，
CD
，
DA
的中点
.
求证：中点四边形
EFGH
是平行四边形；
图
22
－
T
－
6
本章总结提升
（
2
）如图
②
，
P
是四边形
ABCD
内一点，且满足
PA
＝
PB
，
PC
＝
PD
，∠
APB
＝
∠
CPD
，
E
，
F
，
G
，
H
分别为边
AB
，
BC
，
CD
，
DA
的中点，猜想中点四边形
EFGH
的形状，并证明你的猜想；
（
3
）若改变（
2
）中的条件，使
∠
APB
＝
∠
CPD
＝
90
°，其他条件不变，直接写出中点四边形
EFGH
的形状（不必证明）
.
本章总结提升
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问题
4
应用性问题
本章总结提升
对于平行四边形和特殊的平行四边形的一些应用问题，主要包括全等变换型（旋转、平移、折叠等）和实际问题型两类
.
你知道全等变换对图形有什么影响吗？全等变换都有哪些常用的重要性质呢？对于实际问题，我们在将实际问题数学化的过程中需要注意什么呢？
本章总结提升
例
5
在数学活动课中，小辉将边长为和
3
的两个小正方形放置在直线
l
上，如图
22
－
T
－
7①
，连接
AD
，
CF
，经测量发现
AD
＝
CF
.
图
22
－
T
－
7
本章总结提升
（
1
）他将正方形
ODEF
绕点
O
逆时针旋转一定的角度，如图
②
，试判断
AD
与
CF
是否相等，说明你的理由；
（
2
）他将正方形
ODEF
绕点
O
逆时针旋转，使点
E
旋转至直线
l
上，如图
③
，请你求出
CF
的长
.
本章总结提升
本章总结提升
【归纳总结】
解决探究性问题的方法：
1.
先明确在变化过程中什么
“
不变
”
，特殊位置有什么特殊含义；
2.
再从特殊到一般进行归纳探究
.
本章总结提升
例
6
三个牧童
A
，
B
，
C
在一块正方形的牧场上看守一群牛，为保证公平合理，他们商量将牧场划分为三块分别看守，划分的原则：（
1
）每个人看守的牧场面积相等；（
2
）在每个区域内，各选定一个看守点，并保证在有情况时他们所走的最大距离（看守点到本区域内最远处的距离）相等
.
按照这一原则，他们先设计了一种如图
22
－
T
－
8①
所示的划分方案：把正方形牧场分成三块全等的长方形，大家分别守在这三个长方形的中心（对角线交点），看守自己的一块牧场
.
过了一段时间，牧童
B
和牧童
C
又分别提出了新的划分方案
.
牧童
B
的划分方案：如图
②
，三块长方形的面积相等，牧童的位置在三个小长方形的中心
.
牧童
C
的划分方案：如图
③
，把正方形的牧场分成三块长方形，牧童的位置在三个小长方形的中心，并保证在有情况时三个人所走的最大距离相等
.
图
22
－
T
－
8
本章总结提升
请回答：
（
1
）长方形的两条对角线是相等且互相平分的吗？
（
2
）牧童
B
的划分方案中，哪个牧童在有情况时所走的最大距离较远？
（
3
）牧童
C
的划分方案是否符合他们商量的划分原则？为什么？（提示：在计算时可取正方形边长为
2
）
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[
点评
]
本题综合考查了正方形及矩形的性质及勾股定理的应用，解答
(2)(3)
两问时注意抓住等量关系：如
(2)
问中
“
三块长方形的面积相等
”
；
(3)
问中
“
三个人所需走的最大距离相等
”
，再借助勾股定理求解．
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