第十八章 平行四边形
18．1 平行四边形
18．1.1 平行四边形的性质
第2课时 平行四边形对角线的性质
知识点 1 平行四边形对角线的性质
1．如图18－1－18，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，若AD＝8，BD＝12，AC＝6，则△OBC的周长为( )
A．13 B．17 C．20 D．26
图18－1－18
图18－1－19
2．如图18－1－19，在平行四边形ABCD中，若AB＝3 cm，BC＝5 cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA长的取值范围是( )
A．1 cm＜OA＜4 cm
B．2 cm＜OA＜8 cm
C．2 cm＜OA＜5 cm
D．3 cm＜OA＜8 cm
图18－1－20
3．如图18－1－20，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC.若AB＝4，AC＝6，则BD的长是( )
A．8 B．9 C．10 D．11
4．若▱ABCD的周长为100 cm，两条对角线相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长多10 cm，则AB＝________ cm，BC＝________ cm.
5．如图18－1－21，已知▱ABCD和▱EBFD，求证：AE＝CF.
图18－1－21
知识点 2 平行四边形性质的综合应用
6．如图18－1－22，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是对角线BD上的点，且∠CEO＝∠AFO，根据以上条件能判定相等的线段共有( )
A．5对 B．6对 C．7对 D．8对
6
图18－1－22
图18－1－23
7．如图18－1－23，在▱ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，则图中阴影部分的面积为( )
A．3 B．6 C．12 D．24
8．如图18－1－24，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若DO＝1.5 cm，AB＝5 cm，BC＝4 cm.求▱ABCD的面积．
图18－1－24
9．如图18－1－25，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，与△OBC面积相等的三角形的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
图18－1－25
图18－1－26
10．如图18－1－26，在▱ABCD中，EF过对角线的交点O，若AB＝4，AD＝3，OF＝1.3，则四边形BCEF的周长为( )
A．8.3 B．9.6 C．12.6 D．13.6
11．如图18－1－27，点O是平行四边形ABCD对角线的交点，过点O作OE⊥BD，交AD于点E，∠DBC＝20°，则∠EBD＝________°.
图18－1－27
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图18－1－28
12．如图18－1－28，在▱ABCD中，AB＝3，BC＝5，对角线AC，BD相交于点O.过点O作OE⊥AC，交AD于点E.连接CE，则△CDE的周长为________．
13．如图18－1－29，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，EF过点O且与BC，AD分别交于点E，F.试猜想线段AE，CF的数量关系，并说明理由．
图18－1－29
14．如图18－1－30所示，已知▱ABCD的周长是36 cm，由钝角顶点D向AB，BC引两条高DE，DF，且DE＝4 cm，DF＝5 cm，求这个平行四边形的面积．
图18－1－30
15．如图在18－1－31，▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E，A，C，F在同一条直线上，∠E＝∠F.
求证：∠ABE＝∠CDF.
图18－1－31
16．如图18－1－32①，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AD，BC
6
分别相交于点E，F，则OE＝OF.
若将EF向两方延长，与▱ABCD的两对边的延长线分别相交(图②和图③)，OE与OF还相等吗？若相等，请说明理由．
图18－1－32
6
详解详析
1．B
2．A [解析] ∵AB＝3 cm，BC＝5 cm，∴2 cm＜AC＜8 cm.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝AC，∴1 cm＜OA＜4 cm.
3．C [解析] 根据平行四边形的性质，得OA＝AC＝×6＝3，AB＝4.根据勾股定理，得OB＝5，∴BD＝2OB＝2×5＝10.
4．30 20 [解析] ∵▱ABCD的周长为100 cm，∴AB＋BC＝50 cm，∵△AOB的周长比△BOC的周长多10 cm，∴AB－BC＝10 cm，∴AB＝30 cm，BC＝20 cm.
5．[解析] 要证明AE＝CF，显然用我们熟知的全等三角形可以证明，但由于题设中有两个平行四边形，而且AE，CF都在▱ABCD的对角线AC上，利用平行四边形的性质连接BD即可．
证明：连接BD，交AC于点O.
∵四边形ABCD和四边形EBFD均是平行四边形，
∴OA＝OC，OE＝OF，
∴OA－OE＝OC－OF，即AE＝CF.
6．C [解析] ∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，OC＝OA，OD＝OB，
在△CEO与△AFO中，
∴△CEO≌△AFO(AAS)，
∴CE＝AF，OE＝OF.
∵OD＝OB，∴DE＝BF，∴相等的线段共有7对．
7．C [解析] 通过观察结合平行四边形的性质，得S阴影＝×6×4＝12.故选C.
8．解：∵平行四边形的对角线互相平分，DO＝1.5 cm，∴DB＝3 cm.又∵CD＝AB＝5 cm，BC＝4 cm，∴DB2＋BC2＝CD2，∴△DBC是直角三角形，∴DB⊥BC，∴▱ABCD的面积＝BC·DB＝4×3＝12(cm2)．
9．[全品导学号：85034092]C [解析] 在平行四边形ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，∴S△OAB＝S△OBC＝S△OCD＝S△ODA，
∴与△OBC面积相等的三角形有3个．
10．[全品导学号：85034093]B [解析] ∵四边形ABCD是平行四边形(已知)，∴OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分)，AB∥CD(平行四边形的对边互相平行)，∴∠DCO＝∠BAC(两直线平行，内错角相等)．
在△AFO和△CEO中，
则△AFO≌△CEO(ASA)，∴OF＝OE，CE＝AF(全等三角形的对应边相等)．又∵AB＝CD(平行四边形的对边相等)，AB＝4，AD＝3，OF＝1.3，∴四边形BCEF的周长为BC＋EC＋OE＋OF＋BF＝AD＋AF＋2OF＋BF＝AD＋AB＋2OF＝9.6.故选B.
11．[全品导学号：85034094]20 [解析] ∵点O是平行四边形ABCD对角线的交点，∴OB＝OD，
∵OE⊥BD，∴BE＝DE，∴∠EBD＝∠EDB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC＝20°，∴∠EBD＝20°.
12．[全品导学号：85034095]8
13．[全品导学号：85034096]解：AE＝CF.理由如下：
∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA＝OC，AD∥BC，∴∠AFE＝∠CEF.
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在△AOF和△COE中，
∴△AOF≌△COE(AAS)，∴OF＝OE.
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF(SAS)，∴AE＝CF.
14．[全品导学号：85034097]解：设AB＝x cm，BC＝y cm.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC.
又∵四边形ABCD的周长为36 cm，
∴2x＋2y＝36.①
∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴S▱ABCD＝AB·DE，S▱ABCD＝BC·DF，
∴4 x＝5 y，②
解由①②组成的方程组，得x＝10，y＝8.
∴S▱ABCD＝AB·DE＝10×4 ＝40 (cm2)．
15．[全品导学号：85034098]证明：∵在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，
∴OB＝OD，AB∥CD.
在△OBE与△ODF中，
∵∠BOE＝∠DOF，∠E＝∠F，OB＝OD，
∴△OBE≌△ODF，∴∠OBE＝∠ODF.
∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO，
∴∠OBE－∠ABO＝∠ODF－∠CDO，
即∠ABE＝∠CDF.
16．[全品导学号：85034099]解：图②中OE与OF仍然相等．
理由：∵在▱ABCD中，AB∥CD，OA＝OC，
∴∠E＝∠F.
又∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF(AAS)，
∴OE＝OF.
图③中OE与OF仍然相等．
理由：∵在▱ABCD中，AD∥BC，OA＝OC，
∴∠E＝∠F.
又∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF(AAS)，∴OE＝OF.
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