18.2 特殊的平行四边形
18.2.3 正方形
知识点 1 正方形的概念及性质
图18－2－55
1．如图18－2－55，已知正方形ABCD的两条对角线相交于点O，那么此图中等腰直角三角形有( )
A．4个 B．6个 C．8个 D．10个
2．若正方形的一条对角线的长为4，则这个正方形的面积是( )
A．8 B．4 C．8 D．16
3．如图18－2－56，等边三角形ABE与正方形ABCD有一条公共边，点E在正方形外，连接DE，则∠ADE＝________°.
图18－2－56
图18－2－57
4．如图18－2－57，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP＝BC，则∠ACP的度数是( )
A．45° B．22.5° C．67.5° D．75°
5．如图18－2－58，正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC边上的点，且AE＝BF，求证：AF⊥DE.
图18－2－58
知识点 2 正方形的判定
6．下列判断中，正确的是( )
A．四边相等的四边形是正方形
B．四角相等的四边形是正方形
4
C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
7．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是( )
A．①② B．②③
C．①③ D．②④
8．如图18－2－59，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E，DF∥AB，交BC于点F，当△ABC满足条件________时，四边形BEDF是正方形．
图18－2－59
9．已知：如图18－2－60，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.
(1)求证：△BED≌△CFD；
(2)若∠A＝90°，求证：四边形DFAE是正方形．
图18－2－60
10．如图18－2－61，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF.添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是( )
A．BC＝AC B．CF⊥BF
C．BD＝DF D．AC＝BF
图18－2－61
4
图18－2－62
11．如图18－2－62，点E在正方形ABCD的边CD上，若△ABE的面积为8，CE＝3，则线段BE的长为________．
图18－2－63
12．如图18－2－63，正方形ABCD的对角线长为8 ，E为AB上一点，若EF⊥AC于点F，EG⊥BD于点G，则EF＋EG＝________．
13．如图18－2－64，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF.
(1)求证：AD＝AF；
(2)如果AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
图18－2－64
14．在同一平面内，正方形ABCD与正方形CEFH如图18－2－65放置，连接DE，BH，两线交于点M.
求证：(1)BH＝DE；(2)BH⊥DE.
图18－2－65
15．如图18－2－66，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为F，连接CD，BE.
(1)求证：CE＝AD；
4
(2)当D是AB的中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？请说明你的理由；
(3)若D是AB的中点，则当∠A的度数是多少时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．
图18－2－66
4
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