第十八章 平行四边形
18．1 平行四边形
18．1.1 平行四边形的性质
第1课时 平行四边形边和角的性质
知识点 1 平行四边形的有关概念
1．我们知道，两组对边分别________的四边形叫做平行四边形．如图18－1－1，点D，E，F分别在△ABC的三边BC，AC，AB上，且DE∥AB，DF∥AC，EF∥BC，则图中共有________个平行四边形，分别是__________________________．
图18－1－1
图18－1－2
2．[2016·河池] 如图18－1－2，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BED＝150°，则∠A的度数为( )
A．150° B．130°
C．120° D．100°
图18－1－3
3．如图18－1－3，▱ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则图中的平行四边形有( )
A．12个 B．9个
C．7个 D．5个
知识点 2 平行四边形边的性质
4．若平行四边形的周长为24 cm，相邻两边的长度之比为1∶2，则较短的边长为( )
A．3 cm B．4 cm
C．6 cm D．8 cm
图18－1－4
5．如图18－1－4，在▱ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E，且BE＝3，若平行四边形ABCD的周长是16，则EC＝________．
6．2017·乌鲁木齐如图18－1－5，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的两点，且BF＝ED，求证：AE∥CF.
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图18－1－5
知识点 3 平行四边形角的性质
7．如图18－1－6，在平行四边形ABCD中，CE垂直于AB，∠D＝53°，则∠BCE的度数是( )
A．53° B．43° C．47° D．37°
图18－1－6
图18－1－7
8．2017·武汉如图18－1－7，在▱ABCD中，∠D＝100°，∠DAB的平分线AE交DC于点E，连接BE.若AE＝AB，则∠EBC的度数为________．
9．如图18－1－8，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交DC于点E，若∠DAE＝25°，求∠C，∠B的度数．
图18－1－8
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知识点 4 两条平行线之间的距离
10．如图18－1－9，a∥b，AB∥CD，CE⊥b，FG⊥b，E，G为垂足，则下列说法不正确的是( )
A．AB＝CD
B．EC＝FG
C．A，B两点的距离就是线段AB的长度
D．a与b的距离就是线段CD的长度
图18－1－9
图18－1－10
11．如图18－1－10，已知直线a∥b，点C，D在直线a上，点A，B在直线b上，线段BC，AD相交于点E，写出图中面积相等的三角形：___________________.
12．如图18－1－11，在▱ABCD中，延长AB到点E，使BE＝AB，连接DE交BC于点F，则下列结论不一定成立的是( )
A．∠E＝∠CDF B．EF＝DF
C．AD＝2BF D．BE＝2CF
图18－1－11
图18－1－12
13．如图18－1－12，▱ABCD的CD边上有一点E，连接AE，BE，∠DAE＝12°，∠AEB＝33°，则∠EBC的度数是( )
A．18° B．21° C．33° D．45°
14．如图18－1－13，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是( )
A．7 B．10 C．11 D．12
图18－1－13
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图18－1－14
15．如图18－1－14，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是(0，0)，(5，0)，(2，3)，则顶点C的坐标是________．
图18－1－15
16．如图18－1－15，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在点D1处，折痕为EF，若∠BAE＝55°，则∠D1AD＝________°.
17．2017·大连如图18－1－16，在▱ABCD中，BE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，DF⊥AC，垂足F在AC的延长线上．求证：AE＝CF.
图18－1－16
18．如图18－1－17，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，连接DE并延长，交CB的延长线于点F.
(1)求证：△ADE≌△BFE；
(2)若DF平分∠ADC，连接CE.试判断CE与DF的位置关系，并说明理由．
图18－1－17
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详解详析
1．平行 3 ▱AFDE，▱BDEF，▱CDFE
2．C [解析] ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE.
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，∴∠AEB＝∠ABE.
∵∠BED＝150°，∴∠ABE＝∠AEB＝30°，
∴∠A＝180°－∠ABE－∠AEB＝120°.
3．B [解析] 根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，设EF和HN的交点为O，则四边形AEOH，HOFD，EBNO，ONCF，AEFD，EBCF，ABNH，HNCD，ABCD都是平行四边形，共9个．
4．B [解析] 设相邻两边的长分别为x cm和2x cm.因为平行四边形的对边相等，所以2(x＋2x)＝24，解得x＝4，所以较短的边长为4 cm.
5．2 [解析] ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，
∴∠AEB＝∠DAE.
∵平行四边形ABCD的周长是16，
∴AB＋BC＝8.∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE＝3，
∴BC＝5，∴EC＝BC－BE＝5－3＝2.
6．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD＝BC，
∴∠ADE＝∠CBF，又∵ED＝BF，∴△AED≌△CFB(SAS)，∴∠AED＝∠CFB，∴AE∥CF.
7．D [解析] ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D.
∵∠D＝53°，∴∠B＝53°.
又∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°，
由三角形的内角和定理得
∠BCE＝180°－∠B－∠BEC
＝180°－53°－90°
＝37°，
∴∠BCE的度数是37°.故选D.
8．30° [解析] ∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠D＝100°，AB∥CD，
∴∠BAD＝180°－∠D＝80°.
∵AE平分∠DAB，∴∠BAE＝80°÷2＝40°.
∵AE＝AB，∴∠ABE＝(180°－40°)÷2＝70°，∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝30°.
9．解：∵∠BAD的平分线AE交DC于点E，∠DAE＝25°，∴∠BAD＝50°，∴在平行四边形ABCD中，∠C＝∠BAD＝50°，∠B＝180°－∠C＝130°.
10．D [解析] ∵a∥b，AB∥CD，∴四边形ABDC是平行四边形，∴AB＝CD.又∵CE⊥b，FG⊥b，∴CE∥FG，∴四边形FCEG是平行四边形，∴EC＝FG.两点间的距离就是连接这两点的线段的长度，C正确．故选D.
11．S△ABC＝S△ABD，S△CDA＝S△CDB，S△CAE＝S△DBE
[解析] 根据同底等高的三角形面积相等，得S△ABC＝S△ABD，S△CDA＝S△CDB.
因为S△ABC＝S△ABD，
所以S△ABC－S△AEB＝S△ABD－S△AEB，
即S△CAE＝S△DBE.
12．[全品导学号：85034085]D [解析] ∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠E＝∠CDF，故A项成立；∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB，CD∥BE，∴∠C＝∠CBE.∵BE＝AB，∴CD＝BE.在△CDF和△BEF中，∴△DCF≌△EBF(AAS)，∴EF＝DF，故
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B项成立；∵△DCF≌△EBF，∴CF＝BF＝BC.∵AD＝BC，∴AD＝2BF，故C项成立；∵AD与BE不一定相等，∴2CF与BE不一定相等，故D项不成立．故选D.
13．[全品导学号：85034086]B [解析] 作EF∥BC交AB于点F，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.
∵EF∥BC，∴AD∥EF∥BC，∴∠AEF＝∠DAE＝12°，∠BEF＝∠EBC.
∵∠AEB＝33°，
∴∠EBC＝∠BEF＝33°－12°＝21°.
14．[全品导学号：85034087]B [解析] ∵AC的垂直平分线交AD于点E，
∴AE＝EC.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB＝4，AD＝BC＝6，
∴△CDE的周长为EC＋CD＋ED＝AD＋CD＝6＋4＝10.
15．[全品导学号：85034088](7，3) [解析] 因为CD∥AB，所以点C的纵坐标与点D的纵坐标相同，为3.又因为AB＝CD＝5，故可得点C的横坐标为7，故点C的坐标为(7，3)．
16．[全品导学号：85034089]55 [解析] ∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD＝∠C，由折叠的性质得∠D1AE＝∠C，∴∠D1AE＝∠BAD，∴∠D1AD＝∠BAE＝55°.
17．[全品导学号：85034090]证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD且AB＝CD，
∴∠BAC＝∠DCA，
∴180°－∠BAC＝180°－∠DCA，
即∠BAE＝∠DCF.
又BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠BEA＝∠DFC＝90°.
在△BEA和△DFC中，
∴△BEA≌△DFC，
∴AE＝CF.
18．[全品导学号：85034091]解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠ADE＝∠F，∠A＝∠EBF.
∵E是AB边的中点，∴AE＝BE，
∴△ADE≌△BFE.
(2)CE⊥DF.理由：连接CE，
∵DF平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDF.∵∠ADE＝∠F，∴∠CDF＝∠F，∴CD＝CF.
又∵△ADE≌△BFE，∴DE＝FE，
∴CE⊥DF.
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