知识目标
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总结反思
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目标突破
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第十八章 平行四边形
18.2
特殊的平行四边形
18.2.3
正方形
18.2.3
正方形
知 识 目 标
1
．结合图形或简单的集合关系图，了解正方形与矩形、菱形的关系，在此基础上经过思考得出正方形的性质，会用正方形的性质进行计算或证明．
2
．通过理解矩形、菱形和正方形的关系，会判定一个四边形是正方形．
目 标 突 破
目标一 利用正方形的性质计算或证明
18.2.3
正方形
例
1
[
教材补充例题
]
如图
18
－
2
－
24
，
E
是正方形
ABCD
内一点，△
CDE
是等边三角形，连接
EB
，
EA
，延长
BE
交边
AD
于点
F.
(1)
求证：△
ADE≌△BCE
；
(2)
求∠
AFB
的度数．
图
18
－
2
－
24
18.2.3
正方形
[
解析
]
根据正方形和等边三角形的性质，得
AD
＝
DC
＝
BC
＝
DE
＝
CE, ∠ADE
＝∠
BCE
＝
30°.
然后证明△
ADE≌△BCE.
利用等腰三角形
CBE
的性质得到∠
CBE
的度数，然后由
AD∥BC
，得∠
AFB
＝∠
CBE.
18.2.3
正方形
解：
(1)
证明：∵四边形
ABCD
是正方形，
∴∠
ADC
＝∠
BCD
＝
90°
，
AD
＝
BC
＝
DC.
∵△CDE
是等边三角形，
∴∠
CDE
＝∠
DCE
＝
60°
，
DE
＝
CE
＝
DC.
∵∠ADC
＝∠
BCD
＝
90°
，
∠
CDE
＝∠
DCE
＝
60°
，
∴∠
ADE
＝∠
BCE
＝
30°.
∵AD
＝
BC
，∠
ADE
＝∠
BCE
，
DE
＝
CE
，
∴△
ADE≌△BCE.
18.2.3
正方形
(2)∵AD
＝
BC
＝
DC, DE
＝
CE
＝
DC
，
∴
CE
＝
BC
，
∴∠
CBE
＝∠
CEB.
∵∠BCE
＝
30°
，
∴∠
CBE
＝∠
CEB
＝
75°.
∵
四边形
ABCD
是正方形，
∴
AD∥BC
，∴∠
AFB
＝∠
CBE
，
∴∠
AFB
＝
75°.
18.2.3
正方形
【
归纳总结
】
正方形性质的应用：
(1)
正方形具有矩形、菱形的一切性质．
(2)
一个四边形是正方形，图中隐藏着许多相等的线段与角、互相垂直的线段、相互平分的线段等条件，在具体问题中应灵活运用．
目标二 正方形的判定
18.2.3
正方形
例
2
[
教材补充例题
]
如图
18
－
2
－
25
所示，已知▱
ABCD
中，对角线
AC
，
BD
相交于点
O
，
E
是
BD
延长线上的点，且△
ACE
是等边三角形．
(1)
求证：四边形
ABCD
是菱形；
(2)
若∠
AED
＝
2∠EAD
，求证：四边形
ABCD
是正方形．
图
18
－
2
－
25
18.2.3
正方形
[
解析
] (1)
利用等边三角形三线合一得
DB⊥AC
，由对角线互相垂直的平行四边形是菱形可证．
(2)
由等边三角形得∠
AEC
＝
60°.
由∠
AED
＝
2∠EAD
，得∠
EAD
＝
15°.
于是∠
ADO
＝∠
EAD
＋∠
AED
＝
45°
，所以∠
ADC
＝
2∠ADO
＝
90°.
从而四边形
ABCD
是正方形．
18.2.3
正方形
18.2.3
正方形
【
归纳总结
】
判定正方形的方法：
1
．先证明一个四边形是菱形，再证明有一个角是直角或对角线相等．
2
．先证明一个四边形是矩形，再证明有一组邻边相等或对角线互相垂直．
总 结 反 思
18.2.3
正方形
知识点一 正方形的概念
定义：四条边都
_______
，四个角都是
_______
的四边形是正方形．
相等
直角
18.2.3
正方形
知识点二 正方形的性质
由于正方形既是矩形又是菱形，所以正方形既有矩形的性质，又有菱形的性质．
1
．对边
_______
且
________
；
2
．四条边都
________
；
3
．四个角都是
_______
；
4
．对角线
______
且互相
_______
、
_______
；
5
．每一条对角线平分一组
_______
．
平行
相等
相等
直角
相等
垂直
平分
对角
18.2.3
正方形
知识点三 正方形的判定
图
18
－
2
－
31
18.2.3
正方形
知识点四 正方形的对称性
正方形是
__________
图形，它共有
____
条对称轴
.
轴对称
4
18.2.3
正方形
判断以下命题的对错：
1
．矩形的对角线相等且互相平分．
(
)
2
．矩形的对角线相等且互相垂直．
(
)
3
．菱形的对角线相等且互相平分．
(
)
4
．菱形的对角线互相垂直且平分．
(
)
5
．正方形的对角线相等且互相平分．
(
)
6
．正方形的对角线互相垂直且平分．
(
)
7
．正方形的对角线相等且互相垂直平分．
(
)
√
×
×
√
√
√
√
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