知识目标
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总结反思
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目标突破
目标突破
第十八章 平行四边形
18.2
特殊的平行四边形
18.2.2
菱形
第
2
课时 菱形的判定
第
2
课时 菱形的判定
知 识 目 标
1
．类比平行四边形、矩形的判定定理的研究过程，从性质定理的逆命题出发证明菱形的判定定理，并能选择合适的方法判定一个四边形是菱形．
2
．掌握菱形的性质和判定方法，能综合利用菱形的性质和判定方法解决问题．
目 标 突 破
目标一 菱形的判定
第
2
课时 菱形的判定
例
1
如图
18
－
2
－
18
，在
Rt△ABC
中，∠
B
＝
90°
，
E
是
AC
的中点，
AC
＝
2AB
，∠
BAC
的平分线
AD
交
BC
于点
D
，作
AF∥BC
，连接
DE
并延长交
AF
于点
F
，连接
FC.
求证：四边形
ADCF
是菱形．
图
18
－
2
－
18
第
2
课时 菱形的判定
[
解析
]
先证明△
AEF≌△CED
，推出四边形
ADCF
是平行四边形，再证明∠
DAC
＝∠
ACB
，推出
DA
＝
DC
，从而证明四边形
ADCF
是菱形．
第
2
课时 菱形的判定
第
2
课时 菱形的判定
【
归纳总结
】
菱形的判定方法：
已有条件
需要条件
平行四边形
邻边相等
对角线互相垂直
一般四边形
每条对角线平分一组对角
四条边都相等
对角线互相垂直平分
角线互相平分且有一条对角线平分一组对角
目标二 菱形性质和判定的综合应用
第
2
课时 菱形的判定
例
2
如图
18
－
2
－
19
，
E
，
F
为线段
BD
的两个三等分点，四边形
AECF
是菱形．
(1)
试判断四边形
ABCD
的形状，并加以证明；
(2)
若菱形
AECF
的周长为
20
，
BD
的长为
24
，求四边形
ABCD
的面积．
图
18
－
2
－
19
第
2
课时 菱形的判定
[
解析
] (1)
连接
AC
交
BD
于点
O
，根据菱形的对角线互相垂直平分，可知
AC⊥BD
，
OA
＝
OC
，
OE
＝
OF
，再由
BE
＝
DF
，可得
OB
＝
OD
，故四边形
ABCD
的对角线互相垂直平分，从而证明四边形
ABCD
是菱形；
(2)
根据题意可知，
OE
＝
4
，由勾股定理可求得
OC
＝
3
，所以
AC
＝
6
，然后根据菱形的面积等于两对角线长乘积的一半，求出菱形
ABCD
的面积．
第
2
课时 菱形的判定
总 结 反 思
第
2
课时 菱形的判定
知识点一 根据定义判定菱形
判定方法：
________________
的平行四边形是菱形．
符号语言：如图
18
－
2
－
25
所示，
在
▱
ABCD
中，∵
AB
＝
BC
，
∴
▱
ABCD
是菱形．
有一组邻边相等
图
18
－
2
－
25
第
2
课时 菱形的判定
知识点二 从对角线的位置关系判定菱形
定理：对角线
_____________
的平行四边形是菱形．
符号语言：如图
18
－
2
－
26
所示，在
▱
ABCD
中，
∵AC⊥BD
，
∴
▱
ABCD
是菱形．
图
18
－
2
－
26
互相垂直
第
2
课时 菱形的判定
知识点三 从边的数量关系判定菱形
定理：四条边
_______
的四边形是菱形．
符号语言：如图
18
－
2
－
27
所示，在四边形
ABCD
中，
∵AB
＝
BC
＝
CD
＝
DA
，∴四边形
ABCD
是菱形
.
图
18
－
2
－
27
相等
第
2
课时 菱形的判定
如图
18
－
2
－
23
，在平行四边形
ABCD
中，∠
BAD
的平分线
AE
与
BC
交于点
E
，∠
ABC
的平分线
BF
与
AD
交于点
F
，
AE
与
BF
交于点
O.
求证：四边形
ABEF
是菱形．
图
18
－
2
－
23
第
2
课时 菱形的判定
第
2
课时 菱形的判定
[
答案
]
不正确，没有证明四边形
ABEF
是平行四边形．
正确的证明过程如下：
∵
AE
平分∠
BAD
，∴∠
1
＝∠
2.
∵AD∥BC
，∴∠
2
＝∠
AEB
，
∴∠
1
＝∠
AEB
，
∴
AB
＝
BE
，同理可证，
AB
＝
AF
，∴
BE
＝
AF.
又∵
AD∥BC
，∴四边形
ABEF
是平行四边形．
再接上原题中的过程即可．
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