第十八章 平行四边形
本 章 总 结 提 升
知识框架
知识框架
整合提升
整合提升
本章总结提升
知 识 框 架
四边形
平行四边形
性质：（
1
）对边相等；（
2
）对角相等；（
3
）对角线互相平分
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
判定：（
1
）两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ；（
2
）两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ；（
3
）两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ；（
4
）对角线互相平分的四边形是平行四边形 ；（
5
）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
本章总结提升
平行四边形
矩形
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
性质：（
1
）四个角都是直角；（
2
）对角线相等
判定：（
1
）有一个角是直角的平行四边形是矩形 ；（
2
）对角线相等的平行四边形是矩形 ；（
3
）有三个角是直角的四边形是矩形
菱形
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
性质：（
1
）四角边都相等；（
2
）两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
判定：（
1
）一组邻边相等的平行四边形是菱形 ；（
2
）对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ；（
3
）四条边相等的四边形是菱形
本章总结提升
平行四边形
正方形
有一组邻边相等的矩形或有一个角是直角的菱形是正方形
性质：（
1
）四条边都相等；（
2
）四个角都是直角；（
3
）两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角
判定：先证明一个四边形是菱形，再证明其是矩形或先证明一个四边形是矩形，再证明其是菱形
类型之一 平行四边形的性质与判定
本章总结提升
平行四边形是一类特殊的四边形，它的性质和判定可以用来解决许多问题，如线段
(
或角
)
的相等关系的证明，线段
(
或角
)
的计算等．并且为证明三角形全等，特殊三角形问题提供了依据．解决平行四边形问题，常用的辅助线如下：
(1)
连接对角线，把平行四边形分成两个全等的三角形．
(2)
过顶点作一边的垂线，将平行四边形分成两个直角三角形和一个矩形．
(3)
连接对角线的交点与一边中点，构造三角形中位线．
整 合 提 升
本章总结提升
例
1
如图
18
－
T
－
1
，
D
是△
ABC
的边
AB
上一点，
CN∥AB
，
DN
交
AC
于点
M
，若
MA
＝
MC.
(1)
求证：
CD
＝
AN
；
(2)
若
AC⊥DN
，∠
CAN
＝
30°
，
MN
＝
1
，求四边形
ADCN
的面积．
图
18
－
T
－
1
本章总结提升
[
解析
] (1)
利用“
AAS”
或者“
ASA”
证明△
AMD≌△CMN
，得
AD
＝
CN
，然后利用
AD
＝
CN
，
AD∥CN
证明四边形
ADCN
是平行四边形．
(2)
利用直角三角形的性质得
AN
的长，然后利用勾股定理求得
AM
的长，从而计算出
Rt△AMN
的面积，而
S
▱ADCN
＝
4S
△AMN
.
本章总结提升
本章总结提升
本章总结提升
本章总结提升
【
针对训练
】
1
．如图
18
－
T
－
2
，已知
ABCD
中，
F
是
BC
边的中点，连接
DF
并延长，交
AB
的延长线于点
E.
求证：
AB
＝
BE.
图
18
－
T
－
2
本章总结提升
本章总结提升
类型之二 特殊平行四边形
(
如矩形、菱形、正方形
)
的性
质与判定
矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们具有平行四边形的一切性质，但又有一些特殊的性质．它们各自的性质可以为证明有关线段相等，角相等，直线平行与垂直等问题提供新的方法和思路．在证明一个四边形是矩形、菱形、正方形时，要选择恰当的方法，灵活解决问题．
本章总结提升
例
2
如图
18
－
T
－
3
，矩形
ABCD
中，
O
是对角线
AC
，
BD
的交点，过点
O
的直线
EF
与
AB
，
CD
的延长线分别交于点
E
，
F.
(1)
求证：△
BOE≌△DOF
；
(2)
如图
18
－
T
－
4
，当
EF
与
AC
满足什么关系时，以
A
，
E
，
C
，
F
为顶点的四边形是菱形？证明你的结论．
图
18
－
T
－
3
图
18
－
T
－
4
本章总结提升
[
解析
] (1)
由矩形对角线互相平分及平行线的内错角相等得到△
BOE≌△DOF.
(2)
当
EF⊥AC
时，四边形
AECF
是菱形，可先证四边形
AECF
是平行四边形再推出它是菱形．
本章总结提升
解：
(1)
证明：∵四边形
ABCD
是矩形，
∴
OB
＝
OD
，
AE∥CF
，
∴∠
E
＝∠
F
，∠
OBE
＝∠
ODF
，
∴△
BOE≌△DOF.
(2)
当
EF⊥AC
时，四边形
AECF
是菱形．
证明：∵四边形
ABCD
是矩形，
∴
OA
＝
OC.
又∵△
BOE≌△DOF
，∴
OE
＝
OF
，
∴四边形
AECF
是平行四边形．
又∵
EF⊥AC
，∴平行四边形
AECF
是菱形．
本章总结提升
【
归纳总结
】
特殊平行四边形的判定方法：
判定一个四边形是矩形、菱形或正方形时，可以先判定这个四边形是平行四边形，再结合图形，根据条件，灵活选择合适的方法．
本章总结提升
【
针对训练
】
2
．如图
18
－
T
－
5
，在正方形
ABCD
的对角线
AC
上取一点
E
，使
CE
＝
CD
，过点
E
作
EF⊥AC
交
AD
于点
F.
求证：
AE
＝
EF
＝
DF.
图
18
－
T
－
5
[
解析
]
连接
CF
，证△
CDF≌△CEF
，得
DF
＝
EF.
可证
AE
＝
EF
，故
AE
＝
EF
＝
DF.
本章总结提升
证明：如图，连接
CF
，在正方形
ABCD
中，∠
D
＝∠
DAB
＝
90°
，
AC
平分∠
DAB
，
∴∠
DAC
＝∠
CAB
＝
45°.
又∵
EF⊥AC
，
∴∠
DAC
＝∠
AFE
＝
45°
，
∴
AE
＝
EF.
在
Rt△CEF
和
Rt△CDF
中，
CE
＝
CD
，
CF
＝
CF
，
∴
Rt△CEF≌Rt△CDF(HL)
，
∴
EF
＝
DF
，∴
AE
＝
EF
＝
DF.
本章总结提升
[
点评
]
本题考查的是正方形的性质，解题中易忽视△
AEF
是等腰直角三角形．解题的关键是证△
AEF
是等腰直角三角形，连接
CF
，证△
CDF≌△CEF.
本章总结提升
类型之三 特殊四边形的折叠问题
折叠问题是轴对称与等腰三角形、直角三角形、矩形、菱形等图形的性质的综合运用，不论折叠的形式怎样，折痕所在的直线一定为图形的对称轴．在解答此类问题时应注意：
(1)
在分析图形变换的过程中充分利用轴对称的性质；
(2)
折叠前后的图形能够完全重合，所以对应边相等、对应角相等；
(3)
计算时常利用勾股定理来建立方程或由面积求解
.
本章总结提升
例
3
现有一张矩形纸片
ABCD
，如图
18
－
T
－
6
所示，其中
AB
＝
4 cm
，
BC
＝
6 cm
，
E
是
BC
的中点．实际操作：将纸片沿直线
AE
折叠，使点
B
落在四边形
AECD
内，记为点
B′.
(1)
请用尺规，在图中作出△
AEB′(
保留作图痕迹
)
；
(2)
试求
B′
，
C
两点之间的距离．
本章总结提升
[
解析
] (1)
只要作出点
B
关于直线
AE
的对称点
B′
，连接
AB′
，
EB′
即可．
(2)
由对称的性质和条件，知
B′E
＝
BE
＝
EC
，因而有∠
EBB′
＝∠
EB′B
，∠
EB′C
＝∠
ECB′.
由三角形内角和定理可得到∠
BB′C
＝
90°
，这时△
BB′C
为直角三角形，在
Rt△ABE
中利用勾股定理和面积公式求出
BF
的长，易得
Rt△BB′C
的直角边
BB′
的长，再利用勾股定理不难求出
B′C
的长．
本章总结提升
解：
(1)
如图所示．
(2)
如图
18
－
T
－
7
，连接
BB′
，设
BB′
与
AE
交于点
F.
因为点
B
，
B′
关于直线
AE
对称，
所以
BE
＝
B′E
，
所以∠
EBB′
＝∠
EB′B.
因为
BE
＝
EC
，所以
B′E
＝
EC
，
所以∠
ECB′
＝∠
EB′C.
因为∠
EBB′
＋∠
EB′B
＋∠
EB′C
＋∠
ECB′
＝
180°
，
所以∠
BB′C
＝
90°.
本章总结提升
因为
BC
＝
6 cm
，
E
是
BC
的中点，
所以
BE
＝
3 cm.
本章总结提升
【
归纳总结
】
几何图形的折叠问题与轴对称的知识紧密相连，解决它有两个“秘诀”：
(1)
折痕两边折叠部分是全等的
(
对应边、对应角相等
)
；
(2)
折叠的某点与所落位置点所连线段被折痕垂直平分．掌握上述两个“秘诀”便可使折叠问题迎刃而解．
本章总结提升
【
针对训练
】
3
．如图
18
－
T
－
7
，把矩形
ABCD
沿
EF
翻折，点
B
恰好落在
AD
边的点
B′
处，若
AE
＝
2
，
DE
＝
6
，∠
EFB
＝
60°
，则矩形
ABCD
的面积是
(
)
图
18
－
T
－
7
D
本章总结提升
本章总结提升
类型之四 特殊四边形中的探究问题
有关特殊四边形中的探究问题是涉及特殊四边形的几何动态型问题，考查同学们自主探索、发现问题、总结规律的能力．
本章总结提升
例
4
如图
18
－
T
－
8
，在四边形
ABCD
中，点
H
是边
BC
的中点，作射线
AH
，在线段
AH
及其延长线上分别取点
E
，
F
，连接
BE
，
CF.
(1)
请你添加一个条件，使得△
BEH≌△CFH
，你添加的条件是
________
，并证明；
(2)
在问题
(1)
中，当
BH
与
EH
满足
什么关系时，四边形
BFCE
是矩形？
请说明理由．
图
18
－
T
－
8
本章总结提升
解：
(1)
添加条件：
BE∥CF(
答案不唯一
)
．
证明：如图，∵
BE∥CF
，∴∠
1
＝∠
2.
∵
点
H
是边
BC
的中点，∴
BH
＝
CH.
又∵∠
3
＝∠
4
，
∴△
BEH≌△CFH.
本章总结提升
(2)
当
BH
＝
EH
时，四边形
BFCE
是矩形．理由如下：
如图，连接
BF
，
CE.∵△BEH≌△CFH
，
∴
BH
＝
CH
，
EH
＝
FH
，
∴四边形
BFCE
是平行四边形．
又∵
BH
＝
EH
，∴
BC
＝
EF
，
∴四边形
BFCE
是矩形．
本章总结提升
【
针对训练
】
4
．
(1)
如图
18
－
T
－
9①
，在正方形
ABCD
中，
M
是
BC
边
(
不含端点
B
，
C)
上任意一点，
P
是
BC
延长线上一点，
N
是∠
DCP
的平分线上一点．若∠
AMN
＝
90°.
求证：
AM
＝
MN.
下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．
证明：在边
AB
上截取
AE
＝
MC
，连接
ME.
正方形
ABCD
中，∠
B
＝∠
BCD
＝
90°
，
AB
＝
BC
，
本章总结提升
∴∠
NMC
＝
180°
－∠
AMN
－∠
AMB
＝
180°
－∠
B
－∠
AMB
＝∠
MAB
＝∠
MAE.
(
下面请你完成余下的证明过程
)
图
18
－
T
－
9
本章总结提升
(2)
如图
18
－
T
－
9②
，若将
(1)
中的“正方形
ABCD”
改为“正三角形
ABC”
，
N
是∠
ACP
的平分线上一点，则当∠
AMN
＝
60°
时，结论
AM
＝
MN
是否还成立？请说明理由；
(3)
若将
(1)
中的“正方形
ABCD”
改为“正
n
边形
ABCD…X”
，请你作出猜想：当∠
AMN
＝
____________________
时，结论
AM
＝
MN
仍然成立
(
直接写出答案，不需要证明
)
．
本章总结提升
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