知识目标
知识目标
总结反思
总结反思
目标突破
目标突破
第十八章 平行四边形
18.2
特殊的平行四边形
18.2.2
菱形
第
1
课时 菱形的性质
第
1
课时 菱形的性质
知 识 目 标
类比研究矩形的性质，根据菱形的定义和平行四边形对边相等的性质与等腰三角形“三线合一”的性质，证明菱形的性质，并能利用菱形的性质进行计算或证明．
目 标 突 破
目标 利用菱形的性质进行计算或证明
第
1
课时 菱形的性质
例
1
[
教材补充例题
]
如图
18
－
2
－
21
，在菱形
ABCD
中，∠
A
＝
60°
，
AB
＝
4
，
O
为对角线
BD
的中点，过点
O
作
OE⊥AB
，垂足为
E.
(1)
求∠
ABD
的度数；
(2)
求线段
BE
的长．
图
18
－
2
－
21
第
1
课时 菱形的性质
解：
(1)
在菱形
ABCD
中，
AB
＝
AD
，∠
A
＝
60°
，
∴△
ABD
为等边三角形，
∴∠
ABD
＝
60°.
(2)
由
(1)
可知
BD
＝
AB
＝
4.
又∵
O
为
BD
的中点，
∴
OB
＝
2.
又∵
OE⊥AB
，∠
ABD
＝
60°
，
∴∠
BOE
＝
30°
，
∴
BE
＝
1.
第
1
课时 菱形的性质
【
归纳总结
】
菱形性质在计算中的应用：
(1)
如果菱形中出现“
30°”“60°”“120°”“
较短的对角线等于边长”这些条件，可得出等边三角形．
(2)
因为菱形的对角线互相垂直平分，所以在计算时要注意勾股定理的应用．
第
1
课时 菱形的性质
例
2
[
教材补充例题
]
如图
18
－
2
－
22
所示，菱形
ABCD
中，
E
，
F
分别是
BC
，
CD
上的点，且
BE
＝
DF.
(1)
求证：
AE
＝
AF
；
(2)
若∠
B
＝
60°
，点
E
，
F
分别为
BC
，
CD
的中点，求证：△
AEF
为等边三角形．
图
18
－
2
－
22
第
1
课时 菱形的性质
[
解析
] (1)
证明△
ABE≌△ADF.
(2)
连接
AC
，△
ABC
是等边三角形，
E
是
BC
的中点，∴∠
CAE
＝
30°
，同理∠
CAF
＝
30°
，∴∠
EAF
＝
60°
，即可证△
AEF
为等边三角形．
第
1
课时 菱形的性质
证明：
(1)∵
四边形
ABCD
是菱形，∴
AB
＝
AD
，∠
B
＝∠
D.
又∵
BE
＝
DF
，
∴△ABE≌△ADF
，∴
AE
＝
AF.
(2)
连接
AC
，如图所示．
∵
AB
＝
BC
，∠
B
＝
60°
，
∴△
ABC
是等边三角形．
又∵
E
是
BC
的中点，∴
AE⊥BC
，
∴∠
CAE
＝
30°.
同理∠
CAF
＝
30°
，
∴∠
EAF
＝∠
CAE
＋∠
CAF
＝
60°.
又∵
AE
＝
AF
，∴△
AEF
是等边三角形．
第
1
课时 菱形的性质
【
归纳总结
】
菱形性质在证明中的应用：
菱形的每条对角线把菱形分成两个全等的等腰三角形，两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，所以有关菱形的一些证明或计算问题常可以应用等腰三角形或直角三角形的知识来解决．
总 结 反 思
第
1
课时 菱形的性质
知识点一 菱形的概念
定义：有一组邻边
_______
的平行四边形叫做菱形．
菱形是特殊的平行四边形，它是轴对称图形，对角线所在的直线就是它的对称轴．菱形满足的两个条件：一是平行四边形，二是一组邻边相等，二者缺一不可．
相等
第
1
课时 菱形的性质
知识点二 菱形的性质
性质
1
：菱形的四条边都
_______
；
符号语言：如图
18
－
2
－
19
所示，
∵四边形
ABCD
是菱形，
∴
AB
＝
BC
＝
CD
＝
DA.
图
18
－
2
－
19
相等
第
1
课时 菱形的性质
性质
2
：菱形的两条对角线
________________
，并且每一条对角线平分
_____________
．
符号语言：如图
18
－
2
－
20
所示，
互相垂直
一组对角
图
18
－
2
－
20
第
1
课时 菱形的性质
∵四边形
ABCD
是菱形，
∴
AC⊥BD
，
AO
＝
CO
，
BO
＝
DO
，
∠
ABD
＝∠
CBD
，∠
ADB
＝∠
CDB
，∠
BAC
＝∠
DAC
，∠
BCA
＝∠
DCA.
第
1
课时 菱形的性质
知识点三 菱形的面积
公式：
(1)
菱形的面积等于底
×
高．
(2)
菱形的面积等于两条对角线
__________________
．
乘积的一半
第
1
课时 菱形的性质
如图
18
－
2
－
23
，已知菱形
ABCD
的周长为
8
，∠
A
＝
60°
，求菱形
ABCD
的较短的对角线
BD
的长度．
图
18
－
2
－
23
第
1
课时 菱形的性质
解：∵菱形
ABCD
的周长为
8
，∴
AD
＝
AB
＝
2.
又∵∠
A
＝
60°
，∴△
ADB
是等腰三角形，
∴
BD
＝
AD
＝
2.
以上解答过程正确吗？你能由上面的问题归纳出一个一般性的结论吗？
第
1
课时 菱形的性质
[
答案
]
不正确．△
ADB
应是等边三角形．结论：当菱形的一个内角是
60°
或
120°
时，由菱形的两边和较短的对角线组成的三角形是等边三角形，所以此时较短的对角线的长度等于菱形的边长．
微信/支付宝扫码支付