考点强化练20 圆的有关概念及性质
基础达标
一、选择题
1.
(2018广西贵港)如图,点A,B,C均在☉O上,若∠A=66°,则∠OCB的度数是( )
A.24° B.28°
C.33° D.48°
答案A
解析∵∠A=66°,∴∠COB=132°.
∵CO=BO,
∴∠OCB=∠OBC=12(180°-132°)=24°,
故选A.
2.
(2018江苏盐城)如图,AB为☉O的直径,CD是☉O的弦,∠ADC=35°,则∠CAB的度数为( )
A.35° B.45°
C.55° D.65°
答案C
解析由圆周角定理得,∠ABC=∠ADC=35°,
∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°,
∴∠CAB=90°-∠ABC=55°,
故选C.
3.
6
(2018湖北襄阳)如图,点A,B,C,D都在半径为2的☉O上,若OA⊥BC,∠CDA=30°,则弦BC的长为( )
A.4 B.22
C.3 D.23
答案D
解析∵OA⊥BC,
∴CH=BH,AC=AB,
∴∠AOB=2∠CDA=60°,
∴BH=OB·sin∠AOB=3,∴BC=2BH=23,故选D.
二、填空题
4.如图,☉O的直径AB过弦CD的中点E,若∠C=25°,则∠ADC= .
答案65°
解析∵∠C=25°,
∴∠A=∠C=25°.
∵☉O的直径AB过弦CD的中点E,
∴AB⊥CD,∴∠AED=90°,
∴∠D=90°-25°=65°.
5.
(2018江苏扬州)如图,已知☉O的半径为2,△ABC内接于☉O,∠ACB=135°,则AB= .
答案22
解析连接AD,BD,OA,OB,
6
∵☉O的半径为2,△ABC内接于☉O,∠ACB=135°,∴∠ADB=45°,∴∠AOB=90°,
∵OA=OB=2,∴AB=22.
三、解答题
6.
“今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深1寸,锯道长一尺,问径几何?”这是《九章算术》中的问题,用现在的数学语言可以表述为:如图,CD为☉O的直径,弦AB⊥CD于点E,CE=1寸,AB=10寸,求直径CD的长.
解如图,连接OA,根据垂径定理,得AE=5寸.
在Rt△AOE中,设OA=x寸,则OE=(x-1)寸,根据勾股定理有52+(x-1)2=x2,解得x=13,所以直径CD=26寸.〚导学号13814060〛
7.
(2018浙江湖州)如图,已知AB是☉O的直径,C,D是☉O上的点,OC∥BD,交AD于点E,连接BC.
(1)求证:AE=ED;
(2)若AB=10,∠CBD=36°,求AC的长.
(1)证明∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,
∵OC∥BD,∴∠AEO=∠ADB=90°,
即OC⊥AD,∴AE=ED.
(2)解∵OC⊥AD,∴AC=CD,
∴∠ABC=∠CBD=36°,
∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°,
6
∴AC的长=72π×5180=2π.
能力提升
一、选择题
1.(2018贵州安顺)已知☉O的直径CD=10 cm,AB是☉O的弦,AB⊥CD,垂足为M,且AB=8 cm,则AC的长为( )
A.25 cm B.45 cm
C.25 cm或45 cm D.23 cm或43 cm
答案C
解析连接AC,AO,∵☉O的直径CD=10cm,AB⊥CD,AB=8cm,∴AM=12AB=12×8=4cm,OD=OC=5cm,
当C点位置如图1所示时,
∵OA=5cm,AM=4cm,CD⊥AB,
∴OM=OA2-AM2=52-42=3cm,
∴CM=OC+OM=5+3=8cm,
∴AC=AM2+CM2=42+82=45cm;
当C点位置如图2所示时,同理可得OM=3cm,∵OC=5cm,∴MC=5-3=2cm,
在Rt△AMC中,AC=AM2+MC2=42+22=25cm.
故选C.
2.
(2018湖北咸宁)如图,已知☉O的半径为5,弦AB,CD所对的圆心角分别是∠AOB,∠COD,若∠AOB与∠COD互补,弦CD=6,则弦AB的长为( )
A.6 B.8
C.52 D.53
答案B
6
解析如图,延长AO交☉O于点E,连接BE,
则∠AOB+∠BOE=180°,
又∵∠AOB+∠COD=180°,
∴∠BOE=∠COD,
∴BE=CD=6,
∵AE为☉O的直径,∴∠ABE=90°,
∴AB=AE2-BE2=102-62=8,
故选B.
二、填空题
3.(2018湖北孝感)已知☉O的半径为10 cm,AB,CD是☉O的两条弦,AB∥CD,AB=16 cm,CD=12 cm,则弦AB和CD之间的距离是 cm.
答案2或14
解析①当弦AB和CD在圆心同侧时,如图1,
∵AB=16cm,CD=12cm,
∴AE=8cm,CF=6cm,
∵OA=OC=10cm,
∴EO=6cm,OF=8cm,
∴EF=OF-OE=2cm.
②当弦AB和CD在圆心异侧时,如图2,
∵AB=16cm,CD=12cm,
∴AF=8cm,CE=6cm,
∵OA=OC=10cm,
∴OF=6cm,OE=8cm,
∴EF=OF+OE=14cm.
∴AB与CD之间的距离为14cm或2cm.
三、解答题
4.如图,有一座拱桥是圆弧形的,它的跨度为60 m,拱高18 m,当洪水泛滥到跨度只有30 m时,要采取紧急措施.若拱顶离水面只有4 m,即PN=4 m时是否要采取紧急措施?
解不需要采取紧急措施.如图,设弧的圆心为O,由圆的对称性知点P,N,O共线,连接OA,OA',PO,设PO交AB于点M,该圆的半径为r,
6
由题意得PM=18,AM=30,
则(r-18)2+302=r2,解得r=34.
当PN=4时,ON=30,所以A'N=16,则A'B'=32>30,故不需要采取紧急措施.〚导学号13814061〛
5.
(2018湖北宜昌)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的圆交AC于点D,交BC于点E,延长AE至点F,使EF=AE,连接FB,FC.
(1)求证:四边形ABFC是菱形;
(2)若AD=7,BE=2,求半圆和菱形ABFC的面积.
(1)证明∵AB是直径,∴∠AEB=90°,∴AE⊥BC,∵AB=AC,∴BE=CE,
∵AE=EF,∴四边形ABFC是平行四边形,
∵AC=AB,∴四边形ABFC是菱形.
(2)解设CD=x.连接BD.
∵AB是直径,∴∠ADB=∠BDC=90°,
∴AB2-AD2=CB2-CD2,
∴(7+x)2-72=42-x2,
解得x=1或x=-8(舍去)
∴AC=8,BD=82-72=15,
∴S菱形ABFC=815.
∴S半圆=12·π·42=8π.
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