考点强化练16 等腰三角形
基础达标
一、选择题
1.(2018四川达州)若实数m,n满足|m-2|+n-4=0,且m,n恰好是等腰三角形ABC的两条边的边长,则△ABC的周长是( )
A.12 B.10
C.8 D.6
答案B
解析由题意得m-2=0,n-4=0,∴m=2,n=4,
又∵m,n恰好是等腰三角形ABC的两条边的边长,
①若腰为2,底为4,此时不能构成三角形,舍去,
②若腰为4,底为2,则周长为4+4+2=10.故选B.
2.(2018山东淄博)如图,在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC交AC于点N,且MN平分∠AMC,若AN=1,则BC的长为( )
A.4 B.6
C.43 D.8
答案B
解析∵在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC交AC于点N,且MN平分∠AMC,∴∠AMN=∠NMC=∠B,∠NCM=∠BCM=∠NMC,
∴∠ACB=2∠B,NM=NC,
∴∠B=30°,
∵AN=1,
∴MN=2,
∴AC=AN+NC=3,
∴BC=6.
3.(2018江苏扬州)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,CE平分∠ACD交AB于点E,则下列结论一定成立的是( )
A.BC=EC
B.EC=BE
8
C.BC=BE
D.AE=EC
答案C
解析∵∠ACB=90°,CD⊥AB,
∴∠ACD+∠BCD=90°,∠ACD+∠A=90°,
∴∠BCD=∠A.
∵CE平分∠ACD,
∴∠ACE=∠DCE.
又∵∠BEC=∠A+∠ACE,
∠BCE=∠BCD+∠DCE,
∴∠BEC=∠BCE,
∴BC=BE.
4.(2018湖南常德)如图,已知BD是△ABC的角平分线,ED是BC的垂直平分线,∠BAC=90°,AD=3,则CE的长为( )
A.6 B.5
C.4 D.33
答案D
解析∵ED是BC的垂直平分线,
∴DB=DC,
∴∠C=∠DBC,
∵BD是△ABC的角平分线,
∴∠ABD=∠DBC,
∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°,
∴BD=2AD=6,
∴CE=CD×cosC=33,
故选D.
5.等腰三角形补充下列条件后,仍不一定成为等边三角形的是( )
A.有一个内角是60°
B.有一个外角是120°
C.有两个角相等
D.腰与底边相等
答案C
二、填空题
6.(2018江苏徐州)边长为a的正三角形的面积等于 .
8
答案34a2
解析过点A作AD⊥BC于点D,
∵AD⊥BC,
∴BD=CD=12a,
∴AD=AC2-CD2=32a,
面积则是:12a·32a=34a2.
7.(2018湖南娄底)如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,DE⊥AB于点E,BF⊥AC于点F,DE=3cm,则BF= cm.
答案6
解析在Rt△ADB与Rt△ADC中,
AB=AC,AD=AD,
∴Rt△ADB≌Rt△ADC,
∴S△ABC=2S△ABD=2×12AB·DE
=AB·DE=3AB,
∵S△ABC=12AC·BF,
∴12AC·BF=3AB,
∵AC=AB,
∴12BF=3,
∴BF=6.
二、解答题
8.(2018江苏徐州)已知如图,四边形ABCD中,AB=BC,AD=CD,求证:∠A=∠C.
8
证明连接AC,
∵AB=BC,AD=CD,
∴∠BAC=∠BCA,∠DAC=∠DCA,
∴∠BAC+∠DAC=∠BCA+∠DCA,
即∠A=∠C.
9.
如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,BE⊥AC于点E.
求证:∠CBE=∠BAD.
证明证法1:∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形,∵AD是BC边上的中线,∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD,∴∠CAD+∠C=90°,∵BE⊥AC,∴∠CBE+∠C=90°,∴∠CBE=∠CAD,∴∠CBE=∠BAD.
证法2:∵AB=AC,∴∠ABC=∠C,又∵AD是BC边上的中线,∴AD⊥BC,∴∠BAD+∠ABC=90°,∵BE⊥AC,∴∠CBE+∠C=90°,
∴∠CBE=∠BAD.
〚导学号13814052〛
10.
如图所示,等边三角形ABC和等边三角形DCE在直线BCE的同一侧,AE交CD于点P,BD交AC于点Q,求证△PQC为等边三角形.
证明在等边三角形ABC和等边三角形DCE中,
BC=AC,DC=EC,∠ACB=∠DCE=60°,
所以∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD,
即∠BCD=∠ACE,
在△BCD和△ACE中,BC=AC,∠BCD=∠ACE,CD=CE,
8
所以△BCD≌△ACE(SAS),所以∠1=∠2,
因为∠ACB=∠DCE=60°,
所以∠ACD=180°-∠ACB-∠DCE=60°,
所以∠BCQ=∠ACP,在△BCQ和△ACP中,
∠1=∠2,BC=AC,∠BCQ=∠ACP,
所以△BCQ≌△ACP,所以CQ=CP,
又因为∠QCP=60°,所以△PQC为等边三角形.
能力提升
一、选择题
1.(2018浙江湖州)如图,AD,CE分别是△ABC的中线和角平分线.若AB=AC,∠CAD=20°,则∠ACE的度数是( )
A.20° B.35°
C.40° D.70°
答案B
解析∵AD是△ABC的中线,
AB=AC,∠CAD=20°,
∴∠CAB=2∠CAD=40°,
∠B=∠ACB=12(180°-∠CAB)=70°.
∵CE是△ABC的角平分线,
∴∠ACE=12∠ACB=35°.
故选B.
二、填空题
2.(2018江苏淮安)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=5,分别以点A,B为圆心,大于12AB的长为半径画弧,两弧交点分别为点P,Q,过P,Q两点作直线交BC于点D,则CD的长是 .
8
答案85
解析连接AD.
∵PQ垂直平分线段AB,
∴DA=DB,
设DA=DB=x,
在Rt△ACD中,∠C=90°,AD2=AC2+CD2,
∴x2=32+(5-x)2,
解得x=175,
∴CD=BC-DB=5-175=85,
故答案为85.
3.(2018黑龙江)如图,已知等边三角形ABC的边长是2,以BC边上的高AB1为边作等边三角形,得到第一个等边三角形AB1C1;再以等边三角形AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形,得到第二个等边三角形AB2C2;再以等边三角形AB2C2的B2C2边上的高AB3为边作等边三角形,得到第三个等边三角形AB3C3;……,记三角形B1CB2的面积为S1,三角形B2C1B3的面积为S2,三角形B3C2B4的面积为S3,如此下去,则Sn= .
答案334n
解析∵等边三角形ABC的边长为2,AB1⊥BC,
∴BB1=1,AB=2,
根据勾股定理得AB1=3,
∴第一个等边三角形AB1C1的面积为34×(3)2=3341;
8
∵等边三角形AB1C1的边长为3,AB2⊥B1C1,
∴B1B2=32,AB1=3,
根据勾股定理得AB2=32,
∴第二个等边三角形AB2C2的面积为34×322=3342;
依此类推,第n个等边三角形ABnCn的面积为334n.
4.
(2018四川南充)如图,在△ABC中,DE∥BC,BF平分∠ABC,交DE的延长线于点F.若AD=1,BD=2,BC=4,则EF= .
答案23
解析∵DE∥BC,
∴∠F=∠FBC,
∵BF平分∠ABC,
∴∠DBF=∠FBC,
∴∠F=∠DBF,
∴DB=DF,
∵DE∥BC,
∴△ADE∽△ABC,
∴ADAD+DB=DEBC,即11+2=DE4,
解得DE=43,
∵DF=DB=2,
∴EF=DF-DE=2-43=23.
三、解答题
5.
8
如图,等边三角形ABC中,点D,E,F分别同时从点A,B,C出发,以相同的速度在AB,BC,CA上运动,连接DE,EF,DF.
(1)证明:△DEF是等边三角形;
(2)在运动过程中,当△CEF是直角三角形时,试求S△DEFS△ABC的值.
(1)证明∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠B=∠C=60°,AB=BC=CA,
∵AD=BE=CF,∴BD=EC=AF,
在△ADF,△BED和△CFE中
AD=BE=CF,∠A=∠B=∠C,BD=CE=AF,
∴△ADF≌△BED≌△CFE,
∴DE=EF=FD,∴△DEF是等边三角形.
(2)解∵△ABC和△DEF是等边三角形,
∴△DEF∽△ABC,
∵EF⊥AC,∴∠BDE=∠CEF=30°,
∴BE=12BD,即BE=13BC,CE=23BC,
∵EF=EC·sin60°=23BC·32=33BC,
∴S△DEFS△ABC=EFBC2=332=13.〚导学号13814053〛
8
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