考点强化练21 与圆有关的位置关系
基础达标
一、选择题
1.(2018湖南湘西)已知☉O的半径为5 cm,圆心O到直线l的距离为5 cm,则直线l与☉O的位置关系为( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.无法确定
答案B
解析∵圆心到直线的距离5cm=5cm,
∴直线和圆相切.故选B.
2.
(2018四川眉山)如图所示,AB是☉O的直径,PA切☉O于点A,线段PO交☉O于点C,连接BC,若∠P=36°,则∠B等于( )
A.27° B.32° C.36° D.54°
答案A
解析∵PA切☉O于点A,∴∠OAP=90°,
∵∠P=36°,∴∠AOP=54°,
∴∠B=27°.故选A.
3.
(2018黑龙江哈尔滨)如图,点P为☉O外一点,PA为☉O的切线,A为切点,PO交☉O于点B,∠P=30°,OB=3,则线段BP的长为( )
A.3 B.33 C.6 D.9
答案A
解析连接OA,∵PA为☉O的切线,
∴∠OAP=90°,
10
∵∠P=30°,OB=3,
∴AO=3,OP=6,故BP=6-3=3.
故选A.
4.(2018江苏徐州)☉O1和☉O2的半径分别为5和2,O1O2=3,则☉O1和☉O2的位置关系是( )
A.内含 B.内切 C.相交 D.外切
答案B
解析∵☉O1和☉O2的半径分别为5和2,O1O2=3,则5-2=3,∴☉O1和☉O2内切.故选B.
5.如图,在平面直角坐标系中,☉M与x轴相切于点A(8,0),与y轴分别交于点B(0,4)和点C(0,16),则圆心M到坐标原点O的距离是( )
A.10 B.82 C.413 D.241
答案D
解析如图,连接BM,OM,AM,作MH⊥BC于点H.∵☉M与x轴相切于点A(8,0),
∴AM⊥OA,OA=8,
∴∠OAM=∠MHO=∠HOA=90°,
∴四边形OAMH是矩形,∴AM=OH,
∵MH⊥BC,∴HC=HB=6,
∴OH=AM=10,在Rt△AOM中,OM=AM2+OA2=82+102=241.
故选D.
6.(2018湖南湘西)如图,直线AB与☉O相切于点A,AC,CD是☉O的两条弦,且CD∥AB,若☉O的半径为5,CD=8,则弦AC的长为( )
A.10 B.8
C.43 D.45
答案D
解析∵直线AB与☉O相切于点A,∴OA⊥AB.
10
又∵CD∥AB,∴AO⊥CD,记垂足为E,
∵CD=8,∴CE=DE=12CD=4,
连接OC,则OC=OA=5,
在Rt△OCE中,OE=OC2-CE2=52-42=3,∴AE=AO+OE=8,则AC=CE2+AE2=42+82=45.故选D.
二、填空题
7.(2018湖北黄冈)如图,△ABC内接于☉O,AB为☉O的直径,∠CAB=60°,弦AD平分∠CAB,若AD=6,则AC= .
答案23
解析连接BD.
∵AB是直径,
∴∠C=∠D=90°,
∵∠CAB=60°,AD平分∠CAB,∴∠DAB=30°,
∴AB=AD÷cos30°=43,
∴AC=AB·cos60°=23.故答案为23.
8.(2018山东临沂)如图,在△ABC中,∠A=60°,BC=5 cm.能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是 cm.
答案1033
10
解析设圆的圆心为点O,能够将△ABC完全覆盖的最小圆是△ABC的外接圆,
∵在△ABC中,∠A=60°,BC=5cm,
∴∠BOC=120°,
作OD⊥BC于点D,
则∠ODB=90°,∠BOD=60°,
∴BD=52,∠OBD=30°,
∴OB=52sin60°,得OB=533,∴2OB=1033,
即△ABC外接圆的直径是1033cm.
9.(2018江苏泰州)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,sin A=513,AC=12,将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C,P为线段A'B'上的动点,以点P为圆心,PA'长为半径作☉P,当☉P与△ABC的边相切时,☉P的半径为 .
答案15625或10213
解析如图1,当☉P与直线AC相切于点Q时,连接PQ.则PQ∥CA',设PQ=PA'=r,
∴PQCA'=PB'A'B',∴r12=13-r13,∴r=15625.
图1
10
图2
如图2,当☉P与AB相切于点T时,易证A',B',T共线,∵△A'BT∽△ABC,∴A'TAC=A'BAB,
∴A'T12=1713,∴A'T=20413,
∴r=12A'T=10213.
综上所述,☉P的半径为15625或10213.
三、解答题
10.(2018湖北随州)如图,AB是☉O的直径,点C为☉O上一点,CN为☉O的切线,OM⊥AB于点O,分别交AC,CN于D,M两点.
(1)求证:MD=MC;
(2)若☉O的半径为5,AC=45,求MC的长.
(1)证明连接OC,
∵CN为☉O的切线,
∴OC⊥CM,∠OCA+∠ACM=90°,∵OM⊥AB,
∴∠OAC+∠ODA=90°,
∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,
∴∠ACM=∠ODA=∠CDM,∴MD=MC.
(2)解由题意可知AB=5×2=10,AC=45,
∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,
∴BC=102-(45)2=25,
∵∠AOD=∠ACB=90°,∠A=∠A,
∴△AOD∽△ACB,
∴ODBC=AOAC,即OD25=545,可得OD=2.5,
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设MC=MD=x,在Rt△OCM中,由勾股定理得,(x+2.5)2=x2+52,
解得x=154,即MC=154.
11.(2018新疆)如图,PA与☉O相切于点A,过点A作AB⊥OP,垂足为C,交☉O于点B.连接PB,AO,并延长AO交☉O于点D,与PB的延长线交于点E.
(1)求证:PB是☉O的切线;
(2)若OC=3,AC=4,求sin E的值.
(1)证明连接OB.∵PO⊥AB,∴AC=BC,∴PA=PB.
在△PAO和△PBO中PA=PB,AO=BO,PO=PO,
∴△PAO≌△PBO.
∴∠OBP=∠OAP=90°.
∴PB是☉O的切线.
(2)解连接BD,则BD∥PO,且BD=2OC=6,
∵在Rt△ACO中,OC=3,AC=4,∴AO=5.
在Rt△ACO与Rt△PAO中,∠AOP=∠COA,∠PAO=∠ACO=90°
∴△ACO∽△PAO,AOCO=POAO,
∴PO=253,∴PB=PA=203.
在△EPO与△EBD中,∵BD∥PO,
∴△EPO∽△EBD,∴BDPO=EBEP,
解得EB=1207,PE=50021,
∴sinE=PAEP=725.〚导学号13814062〛
10
12.(2018湖北襄阳)如图,AB是☉O的直径,AM和BN是☉O的两条切线,E为☉O上一点,过点E作直线DC分别交AM,BN于点D,C,且CB=CE.
(1)求证:DA=DE;
(2)若AB=6,CD=43,求图中阴影部分的面积.
(1)证明连接OE,OC,BE.
∵OB=OE,∴∠OBE=∠OEB.
∵BC=EC,∴∠CBE=∠CEB,
∴∠OBC=∠OEC.
∵BC为☉O的切线,
∴∠OEC=∠OBC=90°.
∵OE为半径,∴CD为☉O的切线,
∵AD切☉O于点A,∴DA=DE.
(2)解如图,过点D作DF⊥BC于点F,则四边形ABFD是矩形,
∴AD=BF,DF=AB=6,
∴DC=BC+AD=43.
∵FC=DC2-DF2=23,
∴BC-AD=23,∴BC=33.
在Rt△OBC中,tan∠BOC=BCBO=3,
∴∠BOC=60°.
在△OEC与△OBC中,OE=OB,OC=OC,CE=CB,
∴△OEC≌△OBC(SSS),
∴∠BOE=2∠BOC=120°.
∴S阴影=S四边形BCEO-S扇形OBE=2×12BC·OB-120×π×OB2360=93-3π.
能力提升
一、选择题
10
1.(2018山东泰安)如图,☉M的半径为2,圆心M的坐标为(3,4),点P是☉M上的任意一点,PA⊥PB,且PA,PB与x轴分别交于A,B两点,若点A、点B关于原点O对称,则AB的最小值为( )
A.3 B.4 C.6 D.8
答案C
解析∵PA⊥PB,∴∠APB=90°,
∵AO=BO,∴AB=2PO,
若要使AB取得最小值,则PO需取得最小值,连接OM,交☉M于点P',当点P位于P'位置时,OP'取得最小值,过点M作MQ⊥x轴于点Q,
则OQ=3,MQ=4,∴OM=5,
又∵MP'=2,∴OP'=3,
∴AB=2OP'=6,故选C.
2.(2018上海)如图,已知∠POQ=30°,点A、B在射线OQ上(点A在点O,B之间),半径长为2的☉A与直线OP相切,半径长为3的☉B与☉A相交,则OB的取值范围是( )
A.5
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