考点强化练15 全等三角形
基础达标
一、选择题
1.下列各图中a,b,c为三角形的边长,则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是( )
A.甲和乙 B.乙和丙
C.甲和丙 D.只有丙
答案B
解析在△ABC和图乙的三角形中,满足三角形全等的判定方法:SAS,
所以乙和△ABC全等;
在△ABC和图丙的三角形中,满足三角形全等的判定方法:AAS,
所以丙和△ABC全等;
不能判定甲与△ABC全等.
故选B.
2.
如图,已知∠BDA=∠CDA,则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是
( )
A.BD=DC
B.AB=AC
C.∠B=∠C
D.∠BAD=∠CAD
答案B
3.
7
(2018山东临沂)如图,∠ACB=90°,AC=BC.AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别是点D,E,AD=3,BE=1,则DE的长是( )
A.32
B.2
C.22
D.10
答案B
解析∵BE⊥CE,AD⊥CE,
∴∠E=∠ADC=90°,
∴∠EBC+∠BCE=90°.
∵∠BCE+∠ACD=90°,
∴∠EBC=∠DCA.
在△CEB和△ADC中,
∠E=∠ADC,∠EBC=∠DCA,BC=AC,
∴△CEB≌△ADC(AAS),
∴BE=DC=1,CE=AD=3.
∴DE=EC-CD=3-1=2.
故选B.
4.
(2018四川成都)如图,已知∠ABC=∠DCB,添加以下条件,不能判定△ABC≌△DCB的是( )
A.∠A=∠D B.∠ACB=∠DBC
C.AC=DB D.AB=DC
答案C
二、填空题
5.(2018浙江金华)如图,△ABC的两条高AD,BE相交于点F,请添加一个条件,使得△ADC≌△BEC(不添加其他字母及辅助线),你添加的条件是 .
答案AC=BC(答案不唯一)
解析添加AC=BC,
∵△ABC的两条高AD,BE,
7
∴∠ADC=∠BEC=90°,
∴∠DAC+∠C=90°,∠EBC+∠C=90°,
∴∠EBC=∠DAC,
∵在△ADC和△BEC中∠BEC=∠ADC,∠EBC=∠DAC,AC=BC,
∴△ADC≌△BEC(AAS).
三、解答题
6.(2018广西柳州)如图,AE和BD相交于点C,∠A=∠E,AC=EC.求证:△ABC≌△EDC.
证明∵在△ABC和△EDC中,
∠A=∠E,AC=EC,∠ACB=∠ECD,
∴△ABC≌△EDC(ASA).〚导学号13814050〛
7.
(2017四川泸州)如图,点A,F,C,D在同一条直线上,已知AF=DC,∠A=∠D,BC∥EF,求证:AB=DE.
证明∵AF=CD,∴AC=DF,∵BC∥EF,
∴∠ACB=∠DFE,
∵在△ABC和△DEF中,
∠A=∠D,AC=DF,∠ACB=∠DFE,
∴△ABC≌△DEF(ASA),
∴AB=DE.
能力提升
一、选择题
1.
(2018河北)如图,已知点P在线段AB外,且PA=PB,求证:点P在线段AB的垂直平分线上,在证明该结论时,需添加辅助线,下列作法不正确的是( )
A.作∠APB的平分线PC交AB于点C
B.过点P作PC⊥AB于点C且AC=BC
7
C.取AB中点C,连接PC
D.过点P作PC⊥AB,垂足为C
答案B
解析利用SAS判断出△PCA≌△PCB,∴CA=CB,∠PCA=∠PCB=90°,∴点P在线段AB的垂直平分线上,A符合题意;
利用SSS判断出△PCA≌△PCB,∴CA=CB,∠PCA=∠PCB=90°,∴点P在线段AB的垂直平分线上,C符合题意;
利用HL判断出△PCA≌△PCB,∴CA=CB,∴点P在线段AB的垂直平分线上,D符合题意;
过线段外一点作已知线段的垂线,不能保证也平分此条线段,B不符合题意.
故选B.
2.
(2018贵州安顺)如图,点D,E分别在线段AB,AC上,CD与BE相交于O点,已知AB=AC,现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD( )
A.∠B=∠C B.AD=AE
C.BD=CE D.BE=CD
答案D
解析∵AB=AC,∠A为公共角,A.如添加∠B=∠C,利用ASA即可证明△ABE≌△ACD;
B.如添AD=AE,利用SAS即可证明△ABE≌△ACD;
C.如添BD=CE,等量关系可得AD=AE,利用SAS即可证明△ABE≌△ACD;
D.如添BE=CD,因为SSA,不能证明△ABE≌△ACD,所以此选项不能作为添加的条件.
故选D.
3.(2018江苏南京)如图,AB⊥CD,且AB=CD.E,F是AD上两点,CE⊥AD,BF⊥AD.若CE=a,BF=b,EF=c,则AD的长为( )
A.a+c B.b+c
C.a-b+c D.a+b-c
答案D
解析∵AB⊥CD,CE⊥AD,BF⊥AD,
∴∠AFB=∠CED=90°,∠A+∠D=90°,∠C+∠D=90°,
7
∴∠A=∠C,
∵AB=CD,
∴△ABF≌△CDE,
∴AF=CE=a,BF=DE=b,
∵EF=c,
∴AD=AF+DF=a+(b-c)=a+b-c,
故选D.
4.
(2018广西黑龙江)如图,四边形ABCD中,AB=AD,AC=5,∠DAB=∠DCB=90°,则四边形ABCD的面积为( )
A.15
B.12.5
C.14.5
D.17
答案B
解析如图,过点A作AE⊥AC,交CB的延长线于点E,
∵∠DAB=∠DCB=90°,
∴∠D+∠ABC=180°=∠ABE+∠ABC,
∴∠D=∠ABE,
又∵∠DAB=∠CAE=90°,
∴∠CAD=∠EAB,
又∵AD=AB,
∴△ACD≌△AEB,
∴AC=AE,即△ACE是等腰直角三角形,
∴四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等,
∵S△ACE=12×5×5=12.5,
∴四边形ABCD的面积为12.5,
故选B.
二、填空题
7
5.
(2018浙江衢州)如图,在△ABC和△DEF中,点B,F,C,E在同一直线上,AF=CD,AB∥DE,请添加一个条件,使△ABC≌△DEF,这个添加的条件可以是 (只需写一个,不添加辅助线).
答案AB=ED
6.(2018浙江绍兴)等腰三角形ABC中,顶角A为40°,点P在以A为圆心,BC长为半径的圆上,且BP=BA,则∠PBC的度数为 .
答案
30°或110°
解析如图,当点P在直线AB的右侧时.连接AP.
∵AB=AC,∠BAC=40°,
∴∠ABC=∠C=70°,
∵AB=BA,AC=BP,
BC=AP,
∴△ABC≌△BAP,
∴∠ABP=∠BAC=40°,
∴∠PBC=∠ABC-∠ABP=30°;
当点P'在AB的左侧时,同理可得∠ABP'=40°,
∴∠P'BC=40°+70°=110°.
三、解答题
7.
(2018江苏无锡)如图,平行四边形ABCD中,E,F分别是边BC,AD的中点,求证:∠ABF=∠CDE.
证明在▱ABCD中,AD=BC,∠A=∠C,
∵E,F分别是边BC,AD的中点,∴AF=CE,
在△ABF与△CDE中,
AB=CD,∠A=∠C,AF=CE,
7
∴△ABF≌△CDE(SAS).
∴∠ABF=∠CDE.〚导学号13814051〛
8.(2018浙江杭州)已知:如图,E,F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点,AE=CF.
求证:(1)△ADF≌△CBE;
(2)EB∥DF.
证明(1)∵AE=CF,
∴AE+EF=CF+FE,即AF=CE.
又四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=CB,AD∥BC.
∴∠DAF=∠BCE,
在△ADF与△CBE中
AF=CE,∠DAF=∠BCE,AD=CB.
∴△ADF≌△CBE(SAS).
(2)∵△ADF≌△CBE,
∴∠DFA=∠BEC,
∴DF∥EB.
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