考点强化练23 尺规作图
基础达标
一、选择题
1.如图,直线l1,l2,l3是三条彼此相交的公路,现要建一个货物中转站P,使得P到三条公路的距离相等,则满足条件的点P有( )
A.1处 B.2处 C.3处 D.4处
答案D
2.(2018湖北宜昌)尺规作图:经过已知直线外一点作这条直线的垂线,下列作图中正确的是( )
答案B
3.下列各条件中,不能作出唯一三角形的条件是( )
A.已知两边和夹角
B.已知两边和其中一条边所对的角
C.已知两角和夹边
D.已知两角和其中一角的对边
答案B
4.
如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以点A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB,AC于点M和N,再分别以点M,N为圆心,大于12MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连接AP并延长交BC于点D,则下列说法:①AD是∠BAC的平分线;②∠ADC=60°;③点D在AB的中垂线上;④S△DAC∶S△ABC=1∶3.其中正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案D
5.(2018浙江湖州)尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中.传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣:
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①将半径为r的☉O六等分,依次得到A,B,C,D,E,F六个等分点;
②分别以点A,D为圆心,AC长为半径画弧,G是两弧的一个交点;
③连接OG.
问:OG的长是多少?
大臣给出的正确答案应是( )
A.3r B.1+22r
C.1+32r D.2r
答案D
解析如图连接CD,AC,DG,AG.
∵AD是☉O直径,
∴∠ACD=90°,
在Rt△ACD中,AD=2r,∠DAC=30°,
∴AC=3r.
∵DG=AG=CA,OD=OA,∴OG⊥AD,
∴∠GOA=90°,
∴OG=AG2-OA2=(3r)2-r2=2r,故选D.
6.(2018河南)如图,已知▱AOBC的顶点O(0,0),A(-1,2),点B在x轴正半轴上.按以下步骤作图:①以点O为圆心,适当长度为半径作弧,分别交边OA,OB于点D,E;②分别以点D,E为圆心,大于12DE的长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点F;③作射线OF,交边AC于点G,则点G的坐标为( )
A.(5-1,2) B.(5,2)
C.(3-5,2) D.(5-2,2)
答案A
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解析∵▱AOBC的顶点O(0,0),A(-1,2),
∴AH=1,HO=2,
∴Rt△AOH中,AO=5,
由题可得,OF平分∠AOB,∴∠AOG=∠EOG,又∵AG∥OE,∴∠AGO=∠EOG,
∴∠AGO=∠AOG,∴AG=AO=5,
∴HG=5-1,∴G(5-1,2),故选A.
7.(2018江苏南通)如图,AB∥CD,以点A为圆心,小于AC长为半径作圆弧,分别交AB,AC于点E,F,再分别以E,F为圆心,大于12EF的长为半径作圆弧,两弧交于点P,作射线AP,交CD于点M,若∠ACD=110°,则∠CMA的度数为( )
A.30° B.35° C.70° D.45°
答案B
解析∵AB∥CD,∠ACD=110°,∴∠CAB=70°,
由题意得AP平分∠CAB,∴∠CAM=∠BAM=35°,
∵AB∥CD,∴∠CMA=∠MAB=35°.故选B.
二、填空题
8.(2018江苏淮安)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=5,分别以点A,B为圆心,大于12AB的长为半径画弧,两弧交点分别为点P,Q,过P,Q两点作直线交BC于点D,则CD的长是 .
答案85
解析连接AD.
∵PQ垂直平分线段AB,
∴DA=DB,设DA=DB=x,
在Rt△ACD中,∠C=90°,AD2=AC2+CD2,
∴x2=32+(5-x)2,解得x=175,
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∴CD=BC-DB=5-175=85.故答案为85.
三、解答题
9.如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,8),点B(6,8).
(1)只用直尺(没有刻度)和圆规,求作一个点P,使点P同时满足下列两个条件(要求保留作图痕迹,不必写出作法):
①点P到A,B两点的距离相等;
②点P到∠xOy的两边的距离相等.
(2)在(1)作出点P后,写出点P的坐标.
解(1)作图如下,点P即为所求作的点.
(2)设AB的中垂线交AB于点E,交x轴于点F,
由作图可得,EF⊥AB,EF⊥x轴,且OF=3,
∵OP是∠xOy的平分线,
∴点P的坐标为(3,3).
10.(2018浙江金华)如图,在6×6的网格中,每个小正方形的边长为1,点A在格点(小正方形的顶点)上.试在各网格中画出顶点在格点上,面积为6,且符合相应条件的图形.
解符合条件的图形如图所示:
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11.(2018广东)如图,BD是菱形ABCD的对角线,∠CBD=75°,
(1)请用尺规作图法,作AB的垂直平分线EF,垂足为E,交AD于F;(不要求写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)条件下,连接BF,求∠DBF的度数.
解(1)如图所示,直线EF即为所求;
(2)∵四边形ABCD是菱形,∴∠ABD=∠DBC=12∠ABC=75°,DC∥AB,∠A=∠C.
∴∠ABC=150°,∠ABC+∠C=180°,
∴∠C=∠A=30°,
∵EF垂直平分线段AB,∴AF=FB,
∴∠A=∠FBA=30°,
∴∠DBF=∠ABD-∠FBE=45°.
12.(2018江苏无锡)如图,平面直角坐标系中,已知点B的坐标为(6,4).
(1)请用直尺(不带刻度)和圆规作一条直线AC,它与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和点C,且使∠ABC=90°,△ABC与△AOC的面积相等.(作图不必写作法,但要保留作图痕迹)
(2)问:(1)中这样的直线AC是否唯一?若唯一,请说明理由;若不唯一,请在图中画出所有这样的直线AC,并写出与之对应的函数表达式.
解(1)如图△ABC即为所求;
(2)这样的直线不唯一.
①作线段OB的垂直平分线AC,满足条件,此时直线的解析式为y=-32x+132.
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②作矩形OA'BC',直线A'C',满足条件,此时直线A'C'的解析式为y=-23x+4.
能力提升
一、选择题
1.(2018山东潍坊)如图,木工师傅在板材边角处作直角时,往往使用“三弧法”,其作法是:
(1)作线段AB,分别以A,B为圆心,以AB长为半径作弧,两弧的交点为C;
(2)以C为圆心,仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D;
(3)连接BD,BC.
下列说法不正确的是( )
A.∠CBD=30° B.S△BDC=34AB2
C.点C是△ABD的外心 D.sin2A+cos2D=1
答案D
解析由作图可知:AC=AB=BC,
∴△ABC是等边三角形,
由作图可知:CB=CA=CD,
∴点C是△ABD的外心,∠ABD=90°,BD=3AB,∴S△ABD=32AB2,∵AC=CD,
∴S△BDC=32AB2,故A,B,C正确,故选D.
二、填空题
2.(2018山西)如图,直线MN∥PQ,直线AB分别与MN,PQ相交于点A,B.小宇同学利用尺规按以下步骤作图:①以点A为圆心,以任意长为半径作弧交AN于点C,交AB于点D;②分别以C,D为圆心,以大于12CD长为半径作弧,两弧在∠NAB内交于点E;③作射线AE交PQ于点F.若AB=2,∠ABP=60°,则线段AF的长为 .
答案23
解析作BG⊥AF,∵MN∥PQ,
∴∠NAB=∠ABP=60°,
由题意得,AF平分∠NAB,
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∴∠1=∠2=30°,
∵∠ABP=∠1+∠3,∴∠3=30°,
∴∠1=∠3=30°,∴AB=BF,AG=GF,
∵AB=2,∴BG=12AB=1,
∴AG=3,∴AF=2AG=23.
三、解答题
3.(2018福建莆田)如图是等边三角形ABC.
(1)求作一点D,连接AD,CD,使得四边形ABCD为菱形;(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
(2)连接BD交AC于点O,若OA=1,求菱形ABCD的面积.
解(1)如图所示,点D就是所求作的点.
(2)在菱形ABCD中,∠BAC=60°,OB⊥OA,
∴在Rt△OAB中,tan∠OAB=tan60°=OBOA.
∵OA=1,∴BO=3,BD=23.
又∵AC=2OA=2,
∴菱形ABCD的面积S=12BD·AC=23.
4.(2018湖北孝感)如图,△ABC中,AB=AC,小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作:
①作∠BAC的平分线AM交BC于点D;
②作边AB的垂直平分线EF,EF与AM相交于点P;
③连接PB,PC.
请你观察图形解答下列问题:
(1)线段PA,PB,PC之间的数量关系是 ;
(2)若∠ABC=70°,求∠BPC的度数.
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解(1)如图,PA=PB=PC,理由是:
∵AB=AC,AM平分∠BAC,
∴AD是BC的垂直平分线,∴PB=PC,
∵EP是AB的垂直平分线,
∴PA=PB,∴PA=PB=PC.
故答案为PA=PB=PC.
(2)∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=70°,
∴∠BAC=180°-2×70°=40°,
∵AM平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD=20°,
∵PA=PB=PC,
∴∠ABP=∠BAP=∠ACP=20°,
∴∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP=20°+40°+20°=80°.〚导学号13814066〛
5.(2018四川自贡)如图,在△ABC中,∠ACB=90°.
(1)作出经过点B,圆心O在斜边AB上且与边AC相切于点E的☉O(要求:用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法和证明)
(2)设(1)中所作的☉O与边AB交于异于点B的另外一点D,若☉O的直径为5,BC=4;求DE的长.(如果用尺规作图画不出图形,那么可画出草图完成第(2)问)
解(1)☉O如图所示;
(2)作OH⊥BC于点H.
∵AC是☉O的切线,∴OE⊥AC,
∴∠C=∠CEO=∠OHC=90°,
∴四边形ECHO是矩形,
∴OE=CH=52,BH=BC-CH=32,
在Rt△OBH中,OH=522-322=2,
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∴EC=OH=2,BE=EC2+BC2=25,
∵∠EBC=∠EBD,∠BED=∠C=90°,
∴△BCE∽△BED,∴DEEC=BDBE,
∴DE2=525,∴DE=5.
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