基本不等式：
（1）了解基本不等式的证明过程.
（2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.
一、基本不等式
1．基本不等式：
（1）基本不等式成立的条件：.
（2）等号成立的条件，当且仅当时取等号．
2．算术平均数与几何平均数
设，则a、b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
3．利用基本不等式求最值问题
（1）如果积xy是定值P，那么当且仅当时，x＋y有最小值是.(简记：积定和最小)
（2）如果和x＋y是定值P，那么当且仅当时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)
4．常用结论
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
二、基本不等式在实际中的应用
1．问题的背景是人们关心的社会热点问题，如物价、销售、税收等．
题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解；
2．经常建立的函数模型有正(反)比例函数、一次函数、二次函数、分段函数以及
等．
解答函数应用题中的最值问题时一般利用二次函数的性质，基本不等式，函数的单调性或导数求解．
考向一 利用基本不等式求最值
利用基本不等式求最值的常用技巧：
（1）若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式．
（2）若不直接满足基本不等式条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，如构造“1”的代换等．常见的变形手段有拆、并、配.
①拆——裂项拆项
对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件．
②并——分组并项
目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后先由一组应用基本不等式，再组与组之间应用基本不等式得出最值．
③配——配式配系数
有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值.
（3）若一次应用基本不等式不能达到要求，需多次应用基本不等式，但要注意等号成立的条件必须要一致.注：若可用基本不等式，但等号不成立，则一般是利用函数单调性求解.
典例1 若正数a，b满足，则的最小值为
A．1 B．6
C．9 D．16
【答案】B
【名师点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出
现错误．
1．（1）已知，求函数的最大值；
（2）已知(正实数集)，且，求的最小值．
考向二 基本不等式的实际应用
有关函数最值的实际问题的解题技巧：
（1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值．
（2）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．
（3）解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．
（4）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解.
典例2 2017年，在国家创新驱动战略下，北斗系统作为一项国家高科技工程，一个开放型的创新平台，1400多个北斗基站遍布全国，上万台设备组成星地“一张网”，国内定位精度全部达到亚米级，部分地区达到分米级，最高精度甚至可以达到厘米或毫米级.最近北斗三号工程耗资元建成一大型设备，已知这台设备维修和消耗费用第一年为元，以后每年增加元（是常数），用表示设备使用的年数，记设备年平均维修和消耗费用为，即(设备单价设备维修和消耗费用）设备使用的年数．
（1）求关于的函数关系式；
（2）当，时，求这种设备的最佳更新年限．
答：这种设备的最佳更新年限为15年．
【名师点睛】利用基本不等式解决应用问题的关键是构建模型，一般来说，都是从具体的问题背景，通过相关的关系建立关系式.在解题过程中尽量向模型上靠拢.
2．要制作一个体积为，高为的有盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米10元，侧面造价是每平方米5元，盖的总造价为100元，求该容器长为多少时，容器的总造价最低为多少元？
考向三 基本不等式的综合应用
基本不等式是高考考查的热点，常以选择题、填空题的形式出现．通常以不等式为载体综合考查函数、方程、三角函数、立体几何、解析几何等问题．主要有以下几种命题方式：
（1）应用基本不等式判断不等式是否成立或比较大小．解决此类问题通常将所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．
（2）条件不等式问题．通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．
（3）求参数的值或范围．观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围.
典例3 下列不等式一定成立的是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A：(当时，)，A不正确；
对于B：，，B不正确；
对于C：，C正确；
对于D：，D不正确.
故选C.
【思路点拨】利用基本不等式判断不等关系及比较大小的思路：基本不等式常用于有条件的不等关系的判断、比较代数式的大小等.一般地，结合所给代数式的特征，将所给条件进行转换(利用基本不等式可将整式和根式相互转化)，使其中的不等关系明晰即可解决问题.
3．设正实数满足,不等式恒成立,则的最大值为
A． B．
C．8 D．16
典例4 设正项等差数列的前项和为，若，则的最小值为______．
【答案】
【名师点睛】条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．
4．已知函数恒过定点，其中且，均为正数，则的最小值是_____________.
1．函数取得最小值时，的值为
A． B．
C．1 D．2
2．已知a,b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是
A．a+b≥2 B．+≥2
C．|+|≥2 D．a2+b2>2ab
3．（）的最大值为
A． B．
C． D．
4．已知为正实数，则的最大值为
A． B．
C． D．
5．若正实数a，b满足，则
A．有最大值4 B．有最大值
C．ab有最小值 D．有最小值
6．高三学生在新的学期里,刚刚搬入新教室,随着楼层的升高,上下楼耗费的精力增多,因此不满意度升高,当教室在第层楼时,上下楼造成的不满意度为,但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因此随教室所在楼层升高,环境不满意度降低,设教室在第层楼时,环境不满意度为,则同学们认为最适宜的教室应在楼
A． B．
C． D．
7．若关于x的方程9x+(4+a)·3x+4=0有解,则实数a的取值范围是
A．(-∞,-8]∪[0,+∞) B．(-∞,-4)
C．[-8,4) D．(-∞,-8]
8．若对任意正数x，不等式恒成立，则实数的最小值为
A．1 B．
C． D．
9．已知，，且，，成等比数列，则有
A．最小值 B．最小值
C．最大值 D．最大值
10．如图，在中，点是线段上两个动点，且，则的最小值为
A． B．
C． D．
11．已知正实数满足当取最小值时，的最大值为
A．2 B．
C． D．
12．在锐角中，为角所对的边，且，若，则的最小值为
A．4 B．5
C．6 D．7
13．函数的图象恒过定点，若定点在直线上，则的最小值为
A．13 B．14
C．16 D．12
14．已知满足，的最大值为，若正数满足，则的最小值为
A．9 B．
C． D．
15．当x>0时，的最大值为 .
16．已知函数==,当时,函数的最小值为 .
17．在公比为的正项等比数列中，,则当取得最小值时，_ ．
18．已知,,则的最小值为 .
19．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为，则当每台机器运转 年时，年平均利润最大，最大值是________万元．
20．某物流公司引进了一套无人智能配货系统，购买系统的费用为80万元，维持系统正常运行的费用包括保养费和维修费两部分.每年的保养费用为1万元.该系统的维修费为：第一年1.2万元，第二年1.6万元，第三年2万元，…，依等差数列逐年递增.
(1)求该系统使用n年的总费用(包括购买设备的费用)；
(2)求该系统使用多少年报废最合算(即该系统使用多少年平均费用最少).
21．已知函数).
(1)若,求当时函数的最小值;
(2)当时,函数有最大值-3,求实数的值.
22．(1)设x,y是正实数,且2x+y=4,求lg x+lg y的最大值.
(2)若实数a,b满足ab-4a-b+1=0(a>1),求(a+1)(b+2)的最小值.
23．已知在中，，，分别为角，，所对的边长，且．
（1）求角的值；
（2）若，求的取值范围．
1．（2017山东理科）若，且，则下列不等式成立的是
A． B．
C． D．
2．（2015陕西理科）设，若，，，则下列关系式中正确的是
A． B．
C． D．
3．（2018天津理科）已知，且，则的最小值为 .
4．（2017江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是___________．
5．（2018江苏）在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为___________．
当时，.
3．【答案】C
【解析】==8，当且仅当，时等号成立.
所以.故选C．
4．【答案】
【解析】由题意得：3﹣m﹣2n=1，故m+2n=2，
即（m+1）+2n=3，
故=（+）[（m+1）+2n]=（1+++1）≥+=，
当且仅当m+1=2n时“=”成立，故填．
1．【答案】B
【解析】，
当且仅当时取等号,此时，故选B.
2．【答案】C
【解析】当a,b都是负数时,A不成立；
当a,b一正一负时,B不成立；
当a=b时,D不成立，
因此只有选项C是正确的.
3．【答案】B
【解析】∵，∴，
∴，当且仅当，即时等号成立，
∴（）的最大值为．故选B．
【方法点睛】分子、分母有一个一次、一个二次的分式结构的函数以及含有两个变量的函数，适合用基本不等式求最值.
5．【答案】B
【解析】∵正实数a，b满足，∴,当且仅当时取等号.故有最小值4，故A不正确；
由于,∴⩽,故有最大值，故B正确；
由基本不等式可得a+b=1⩾2,∴,故ab有最大值，故C不正确；
∵,故有最小值，故D不正确.
故选B.
6．【答案】B
7．【答案】D
【解析】由9x+(4+a)·3x+4=0得4+a==-(3x+)≤=-4,即a≤-8,
当且仅当3x=2时等号成立.
8．【答案】D
【解析】由题意可得恒成立．
由于（当且仅当时取等号），故的最大值为，
，即的最小值为，故选D．
9．【答案】A
【解析】∵x>1，y>1，∴，
又∵，，成等比数列，∴，
由基本不等式可得，
当且仅当，即时取等号，
故，即，故xy的最小值为.
本题选择A选项.
10．【答案】D
【解析】易知x，y均为正，设，
共线，，
，
则，
，
当且仅当，即时等号成立.
则的最小值为，故选D． 学&科*网
11．【答案】C
12．【答案】C
【解析】由正弦定理及题中条件，可得，即.
因为，所以.
又，所以，所以，
则，所以选C.
13．【答案】D
【解析】时，函数的值恒为，
函数的图象恒过定点，
又点在直线上，，
又，
当且仅当时取“=”，
则的最小值为，故选D．
14．【答案】B
当且仅当取等号，故选B．
15．【答案】1
【解析】∵x>0，∴，
当且仅当，即x=1时取等号．
16．【答案】
【解析】由题意可得===(当且仅当,
即时取等号).
17．【答案】
【解析】，当且仅当时取得最小值，则，故答案为.
20．【解析】(1)设该系统使用年的总费用为依题意，每年的维修费成以为公差的等差数列，则年的维修费为
则
(2)设该系统使用的年平均费用为
则,
当且仅当即时等号成立.
故该系统使用20年报废最合算.
22．【解析】(1)因为x>0,y>0,所以由基本不等式得≥,
因为2x+y=4,所以≤2,所以xy≤2,当且仅当2x=y时,等号成立,
由 ,解得,
所以当x=1,y=2时,xy取得最大值2,
所以lg x+lg y=lg(xy)≤lg 2,
当且仅当x=1,y=2时,lg x+lg y取得最大值lg 2.
(2)因为ab-4a-b+1=0,所以b=,ab=4a+b-1.
所以(a+1)(b+2)=ab+2a+b+2=6a+2b+1=6a+×2+1=6a++1=6a+8++1=6(a-1)++15.
因为a>1,所以a-1>0.
所以原式=6(a-1)++15≥2+15=27.
当且仅当(a-1)2=1,即a=2时等号成立.
故所求最小值为27.
1．【答案】B
【解析】因为，且，所以
，所以选B.
2．【答案】C
【解析】，，，函数在上单调递增，因为，所以，所以，故选C．
3．【答案】
【名师点睛】利用基本不等式求最值时，要灵活运用以下两个公式：
①，当且仅当时取等号；
②，，当且仅当时取等号．解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条件，同时求最值时注意“1的妙用”．
4．【答案】30
【解析】总费用为，当且仅当，即时等号成立．
【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基
本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．
5．【答案】9
【解析】由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，
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