（1）能用计数原理证明二项式定理.
（2）会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
一、二项式定理
，这个公式叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式，共有n+1项，其中各项的系数叫做二项式系数.
二项展开式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：.
注意：二项式系数是指，，…，，它是组合数，只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．如的展开式中，第r＋1项的二项式系数是，而该项的系数是.当然，某些特殊的二项展开式如，各项的系数与二项式系数是相等的．
二、二项式系数的性质
（1）对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质可直接由公式得到.
（2）增减性与最大值.当时，二项式系数是逐渐增大的；当时，二项式系数是逐渐减小的，因此二项式系数在中间取得最大值.当n是偶数时，中间的一项的二项式系数最大；当n是奇数时，中间的两项的二项式系数相等且最大.
（3）各二项式系数的和.已知.令，则.也就是说，的展开式的各个二项式系数的和为.
（4）奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即.
三、必记结论
（1）是第k＋1项，而不是第k项．
（2）通项公式中a，b的位置不能颠倒．
（3）通项公式中含有a，b，n，k，Tk＋1五个元素，只要知道其中四个就可以求出第五个，即“知四求一”.
考向一 二项展开式通项的应用
求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项的特点,一般需要建立方程求k,再将k的值代回通项求解,注意k的取值范围（）.
（1）第项：：此时k+1=m,直接代入通项.
（2）常数项：即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为0建立方程.
（3）有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.
典例1 的展开式中,的系数为
A．60 B．-60
C．240 D．-240
【答案】C
【解析】的展开式中第项为,
令r=4，可得的系数为
典例2 若a=dx(e为自然对数的底数),则二项式(x-)6的展开式中的常数项为
A．-160 B．160
C．20 D．-20
【答案】A
典例3 已知关于x的二项式(ax-)n展开式的二项式系数之和为256,常数项为112,则a的值为
A．1 B．±1
C．2 D．±2
【答案】D
【解析】由题意得,二项式系数和为2n=256,即n=8,
所以二项展开式的通项为Tr+1=·(ax)8-r·()r=(-1)r·a8-r·,
令，得r=6,
所以T7=(-1)6·a2·=112,所以a=±2,故选D．
1．(-2x)6的展开式中x2项的系数为
A．240 B．-240
C．160 D．-160
2．已知二项式()n(a>0)的展开式的第五、六项的二项式系数相等且最大，展开式中x2项的系数为84,则a的值为
A．1 B．
C．2 D．
3．在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列.
（1）求展开式的第四项；
（2）求展开式的常数项.
考向二 求二项式系数和或各项的系数和
二项式定理给出的是一个恒等式,对于a,b的一切值都成立.因此,可将a,b设定为一些特殊的值.在使用赋值法时,令a,b等于多少时, 应视具体情况而定,一般取“1,或0”,有时也取其他值.
（1）形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可．
（2）对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
（3）若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，
奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，
偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.
典例4 若(x2+1)(x-3)9=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3+…+a11(x-2)11,则a1+a2+…+a11的值为
A．0 B．-5
C．5 D．255
【答案】C
典例5 已知(1-2x)n的展开式中的二项式系数的和是64,则n= ;若(1-2x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn,则|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|= .
【答案】6 729
典例6 在二项式的展开式中,
(1)若所有二项式系数之和为,求展开式中二项式系数最大的项．
(2)若前三项系数的绝对值成等差数列,求展开式中各项的系数和.
【解析】(1)由已知得，，
，
则展开式中二项式系数最大的项是.
(2)展开式的通项为.
由已知成等差数列，即，
∴n=8,
在中，令x=1，得各项系数和为
4．在的展开式中,各项系数和与二项式系数和之比为32,则的系数为
A．50 B．70
C．90 D．120
5．已知(1-x)4+4(1-x)3+6(1-x)2-4x+5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,那么a2+a4的值为
A．9 B．18
C．25 D．41
6．已知二项式.
（1）若,展开式中含项的系数为960,求的值;
（2）若展开式中各项系数和为,且,求展开式的所有二项式系数之和.
考向三 整除问题
利用二项式定理解决整除问题时，关键是要巧妙地构造二项式，其基本思路是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.因此，一般要将被除式化为含相关除式的二项式，然后再展开.
典例7 利用二项式定理证明2n+2·3n+5n－4()能被25整除.
7．被49除所得的余数是
A．-14 B．0
C．14 D．35
1．(1+x)7的展开式中x2的系数是
A．42 B．35
C．28 D．21
2．二项式的展开式的第二项是
A．6x4 B．﹣6x4
C．12x4 D．﹣12x4
3．若实数a=2-,则a10-2a9+22a8-…+210=
A．32 B．-32
C．1024 D．512
4．已知x(x-)5的展开式中含x4项的系数为30,则a=
A． B．-
C．-6 D．6
5．设二项式(x-)6的展开式的常数项为m,则dx的值为
A． B．
C． D．
6．若=,则
A．0 B．1
C．32 D．-1
7．若的展开式中的二项式系数和为的系数为,则为
A． B．
C． D．
8．在的展开式中，各二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为
A．135 B．105
C．30 D．15
9．已知(+)5的展开式的第三项为10,则y关于x的函数图象的大致形状为
A B
C D
10．已知(ax+)n的展开式中只有第7项的二项式系数最大,且含x8的项的系数为,则常数项为
A． B．
C． D．
11．在的展开式中,x的系数为
A．160 B．3840
C．1080 D．1600
12．在(1-x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn中,若2a2+an-5=0,则自然数n的值是
A．10 B．9
C．8 D．7
13．(2x+1)()9的展开式中,x项的系数为
A．-168 B．84
C．-84 D．168
14．(x3-)n的二项展开式的各项系数的绝对值之和为729,则(x-)n展开式中的二次项的系数是
A．-60 B．60
C．-30 D．30
15．设(x+)6的展开式中x3的系数和常数项分别为a,b,在区间[0,300]上任取一个数x,则a≤x≤b的概率是
A． B．
C． D．
16．的展开式中,的系数为__________.
17．若(-x)n的展开式的各个二项式系数的和为256,则(-x)n的展开式中的常数项为__________.
18．的展开式中的系数与的系数之和等于__________.
19．已知(x-m)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7的展开式中x4的系数是-35,则a1+a2+…+a7=__________.
20．的二项式中不含的项的系数为__________.
21．已知(+)n展开式中的各项系数的和与其各个二项式系数的和之比为128,则n的值为__________.
22．若(1+2x2)(1+)n的展开式中所有项的系数和为96,则展开式中含项的系数是 .
23．若(2-)6(a>0)的展开式的常数项为960,则展开式中所有无理项的系数之和为 .
24．设(5x-)n的展开式的各项系数之和为M,二项式系数之和为N,若M-N=240,求展开式中二项式系数最大的项.
25．求8912除以11的余数.
26．在二项式(2x-3y)9的展开式中,求:
(1)二项式系数之和;
(2)各项系数之和;
(3)各项系数绝对值之和.
27．在二项式的展开式中,
(1)写出其中含的项;
(2)如果第项和第项的二项式系数相等,求的值.
28．二项式的二项式系数和为256.
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中各项的系数和；
（3）展开式中是否有有理项，若有，求系数；若没有，说明理由.
29．已知二项式.
（1）若,展开式中含项的系数为960,求的值;
（2）若展开式中各项系数和为,且,求展开式的所有二项式系数之和.
1．（2018新课标全国Ⅲ理科）的展开式中的系数为
A．10 B．20
C．40 D．80
2．（2016四川理科）设i为虚数单位，则的展开式中含x4的项为
A．－15x4 B．15x4
C．－20i x4 D．20i x4
3．（2017新课标全国Ⅰ理科）展开式中的系数为
A．15 B．20
C．30 D．35
4．（2017新课标全国Ⅲ理科）的展开式中的系数为
A． B．
C．40 D．80
5．（2018浙江）二项式的展开式的常数项是___________．
6．（2018天津理科）在的展开式中，的系数为 .
7．（2017浙江理科）已知多项式，则=________，=________．
8．（2017山东理科）已知的展开式中含有项的系数是，则 .
9．（2016新课标全国Ⅰ理科）的展开式中，x3的系数是 .（用数字填写答案）
变式拓展
1．【答案】A
2．【答案】A
【解析】由展开式的第五、六项的二项式系数相等且最大，可知n=9，
则展开式的通项公式为Tr+1=()r=a9-r·a9-r(r=0,1,2,3,…,9),
令=2,则r=3,
所以a9-3=a6=84,解得a=±1,
因为a>0,所以a=1.
3．【解析】二项式的通项为，
由前三项系数的绝对值成等差数列，得,
解这个方程得n＝8或n＝1(舍去).
（1）展开式的第4项为：
（2）当,即r＝4时,常数项为.
4．【答案】C
【解析】∵各项系数和与二项式系数和之比为32,∴
∴
∴通项公式为，
令
故的系数为
5．【答案】C
6．【解析】（1）的展开式的通项为,
令,得，
解得.
7．【答案】B
【解析】由题可得，=++，
所以被49整除，所以余数为0.故选B．
考点冲关
1．【答案】D
【解析】(1+x)7的展开式的通项公式为Tr+1=xr,
令r=2,得x2的系数为=21.
2．【答案】D
【解析】展开式的通项公式,
令,可得展开式的第二项为=.选D．
3．【答案】A
【解析】因为(a-2)10=a10-2a9+22a8-…+210,a=2-,
所以a10-2a9+22a8-…+210=(-)10=32.
4．【答案】C
【解析】由题意，可转化为求(x-)5的展开式中含x3项的系数，
(x-)5的展开式的通项Tr+1=x5-r(-)r=x5-2r(-a)r,
令5-2r=3,得r=1,所以(-a)1=30,解得a=-6.
5．【答案】C
【解析】二项式(x-)6的展开式的常数项为m=x2(-)4=15,
所以dx=3xdx=cos 3x=cos-(cos 0)=,故选C．
6．【答案】A
7．【答案】B
【解析】的展开式的通项为,
令r=4，则，即p=240，
又S=，
则.
8．【答案】A
【解析】因为在的展开式中，各二项式系数之和为64，即2n=64，所以n=6，
二项展开式的通项，
令，
则展开式中的常数项为
9．【答案】D
【解析】由题意得()5-2()2=10,
故xy=1(x>0),得y=(x>0).故选D．
10．【答案】A
11．【答案】B
【解析】(x2+3x-4)5=(x-1)5(x+4)5,
(x-1)5的展开式中,x的系数为,常数项为-1,
(x+4)5的展开式中,x的系数为×44,常数项为45.
因此(x2+3x-4)5的展开式中,x的系数为×45-×44=3840.故选B．
12．【答案】C
【解析】由题意得,该二项展开式的通项公式为Tr+1=·(-1)rxr,∴ar=(-1)r·,
∵2a2+an-5=0,∴2(-1)2+(-1)n-5=0,即2+(-1)n-5=0,
∴n-5为奇数,∴2,
即2×,
∴(n-2)(n-3)(n-4)=120,∴n=8.
13．【答案】A
【解析】()9的展开式的通项公式为Tr+1=()9-r·(-)r=(-1)r,
令=0,得r=3,
令=1,得r=,舍去,
所以(2x+1)()9的展开式中,x项为2x·(-1)3=-168x,
所以x项的系数为-168.
14．【答案】B
【解析】(x3-)n的二项展开式的各项系数的绝对值之和就是(x3+)n的二项展开式的各项系数之和,
取x=1,得(2+1)n=3n,则有3n=729=36,所以n=6.
于是(x-)6的二项展开式的通项Tr+1=x6-r(-)r=(-2)rx6-2r.
令6-2r=2,得r=2.
所以二次项的系数为(-2)2=60.故选B．
15．【答案】B
【解析】(x+)6=的展开式的通项公式为Tk+1=x6-k·2k·=2k,
令6-k=3,得k=2,
所以x3的系数为a=22=60,
令6-k=0,得k=4,则常数项b=24=240,
由几何概型的概率计算公式可得a≤x≤b的概率是.
16．【答案】
【解析】的展开式的通项为,
则的展开式中,的系数为
17．【答案】70
【解析】依题意得 2n=256,解得n=8,
所以Tr+1=()8-r·(-x)r=(-1)rx2r-8,
令2r-8=0,则r=4,
所以T5=(-1)4=70,
所以(-x)n的展开式中的常数项为70.
18．【答案】
【解析】的展开式的通项为
的系数与的系数之和等于.
故填.
19．【答案】1
20．【答案】
【解析】展开式的通项为,
令,
的二项式中不含的项的系数为.
21．【答案】7
【解析】令x=1,得(+)n的展开式中的各项系数的和为(1+3)n=4n,
又(+)n的展开式中的各个二项式系数的和为2n, 所以=128,
所以2n=128,解得n=7.
22．【答案】20
【解析】令x=1,则3×2n=96,得n=5,
(1+2x2)(1+)n=(1+2x2)(1+)5=(1+)5+2x2(1+)5,
则(1+)5的展开式中含项的系数是=10,
2x2(1+)5的展开式中含项的系数是2=10,
故(1+2x2)(1+)n的展开式中含项的系数为20.
23．【答案】-2048
【解析】(2-)6的展开式的通项Tr+1=(2)6-r(-)r=26-r(-a)r,
当r=2时,第3项为常数项,所以T3=24(-a)2=960,
因为a>0,所以a=2,
所以Tr+1=,当r=1,3,5时为无理项,
所以无理项的系数之和为-64(++)=-2048.
24．【解析】依题意得,M=4n=(2n)2,N=2n,于是有(2n)2-2n=240,(2n+15)(2n-16)=0,
∴2n=16=24,解得n=4.
要使二项式系数最大,则k=2,
故展开式中二项式系数最大的项为T3=(5x)2·(-)2=150x3.
27．【解析】(1)展开式的通项,
令10-k=2得k=6.
∴含的项是==.
(2)∵=，∴3r-1=r+1或 3r-1+r+1=10,
∴r=1或r=（舍去）.
∴r=1.
28．【解析】因为二项式的二项式系数和为256，所以，
解得.
（1）∵，∴展开式的通项.
∴二项式系数最大的项为；
（2）令二项式中的，
则二项展开式中各项的系数和为.
（3）由通项公式及且，
得当时为有理项，
系数分别为，，.
29．【解析】（1）的展开式的通项为,
直通高考
1．【答案】C
【解析】由题可得，
令,则，
所以.故选C.
2．【答案】A
【名师点睛】本题考查二项式定理及复数的运算，复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考的内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可．二项式可以写为，则其通项为，则含的项为．
3．【答案】C
【解析】因为，
所以展开式中含的项为，
展开式中含的项为，
故的系数为，选C．
【名师点睛】对于两个二项式乘积的问题，用第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项，分析含的项共有几项，进行相加即可.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况，尤其是两个二项展开式中的不同.
4．【答案】C
【解析】，
由展开式的通项公式可得：
当时，展开式中的系数为；
当时，展开式中的系数为，
则的系数为.
故选C．
【名师点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.
（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.
5．【答案】7
6．【答案】
【解析】结合二项式定理的通项公式有：，
令可得：，
则的系数为：.
7．【答案】16，4
【解析】由二项式展开式可得通项公式为：，
分别取和可得，
取，可得．
【名师点睛】本题主要考查二项式定理的通项与系数，属于简单题． 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）；（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项式定理的应用．
8．【答案】
【解析】的展开式的通项公式为，
令，得，解得．
【名师点睛】根据二项展开式的通项，确定二项式系数或确定二项展开式中的指定项，是二项式定理问题中的基本问题，往往要综合运用二项展开式的系数的性质、二项展开式的通项求解. 本题能较好地考查考生的思维能力、基本计算能力等.
9．【答案】
【名师点睛】确定二项展开式指定项的系数通常是先写出通项,再确定r的值,从而确定指定项系数.
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