考点08 对数与对数函数
（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.
（2）理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点.
（3）知道对数函数是一类重要的函数模型.
（4）了解指数函数与对数函数互为反函数.
一、对数与对数运算
1．对数的概念
（1）对数：一般地，如果，那么数 x叫做以a为底 N的对数，记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
（2）牢记两个重要对数：常用对数，以10为底的对数lgN；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数lnN.
（3）对数式与指数式的互化：.
2．对数的性质
根据对数的概念，知对数具有以下性质：
（1）负数和零没有对数，即；
（2）1的对数等于0，即；
（3）底数的对数等于1，即；
（4）对数恒等式.
3．对数的运算性质
如果，那么：
（1）；
（2）；
（3）.
4．对数的换底公式
对数的换底公式：.
换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以e为底的自然对数.
换底公式的变形及推广：
（1）；
（2）；
（3）(其中a，b，c均大于0且不等于1，d>0).
二、对数函数及其性质
1．对数函数的概念
一般地，我们把函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是.
2．对数函数的图象和性质
一般地，对数函数的图象与性质如下表所示：
图象
定义域
值域
性质
过定点，即时，
在上是减函数
在上是增函数
当x＞1时，y＜0；
当0＜x＜1时，y＞0
当x＞1时，y＞0；
当0＜x＜1时，y＜0
在直线的右侧，当时，底数越大，图象越靠近x轴；当时，底数越小，图象越靠近x轴，即“底大图低”．
3．对数函数与指数函数的关系
指数函数且）与对数函数且）互为反函数，其图象关于直线对称.
考向一 对数式的化简与求值
对数运算的一般思路：
（1）对于指数式、对数式混合型条件的化简与求值问题，一般可利用指数与对数的关系，将所给条件统一为对数式或指数式，再根据有关运算性质求解；
（2）在对数运算中，可先利用幂的运算性质把底数或真数变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后运用对数的运算性质、换底公式，将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算.
注意：
（1）在利用对数的运算性质与进行化简与求值时，要特别注意题目的前提条件，保证转化关系的等价性．
（2）注意利用等式.
典例1 化简：
（）；
（）．
【答案】（1）5；（2）3.
【解析】（）
．
（）
．
【名师点睛】本题主要考查了对数的运算，其中熟记对数的运算法则和对数的运算性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
典例2 已知函数,若,则
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据题意有，解得，故选D．
【名师点睛】该题考查的是已知函数值求自变量的问题，在求解的过程中，需要对指数式和对数式的运算性质了如指掌.首先将自变量代入函数解析式，利用指对式的运算性质，得到关于参数的等量关系式，即可求得结果.
1．设为正数，且，当时，的值为
A． B．
C． D．
考向二 对数函数的图象
1．对数函数的图象过定点（1,0），所以讨论与对数函数有关的函数的图象过定点的问题，只需令真数为1，解出相应的，即可得到定点的坐标.
2．当底数时，对数函数是上的增函数，当时，底数的值越小，函数图象越“陡”，其函数值增长得越快；当底数时，对数函数是上的减函数，当时，底数的值越大，函数图象越“陡”，其函数值减小得越快.也可作直线y=1与所给图象相交,交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．
3．对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．特别地，要注意底数和的两种不同情况．有些复杂的问题，借助于函数图象来解决，就变得简单了，这是数形结合思想的重要体现．
4．一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
典例3 若函数的图象如图所示，则下列函数图象正确的是
【答案】B
典例4 已知函数，且函数有且只有一个零点，则实数a的取值范围是
A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
【答案】B
【解析】如图所示，在同一平面直角坐标系中分别作出与的图象，其中a表示直线在y轴上的截距，由图可知，当时，直线与只有一个交点．故选B．
2．在同一直角坐标系中，函数，（，且）的图象大致为
A． B．
C． D．
考向三 对数函数性质的应用
对数函数的性质及其应用是每年高考的必考内容之一，多以选择题或填空题的形式呈现，难度易、中、难都有，且主要有以下几种命题角度：
（1）比较对数式的大小：
①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论；
②若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较；
③若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较．
（2）解对数不等式：
①形如的不等式，借助的单调性求解，如果a的取值不确定，需分与两种情况讨论；
②形如的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助的单调性求解．
典例5 已知，，则
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为，，，所以，故选C．
【名师点睛】本题中既有指数式，又有对数式，无法直接比较大小，可借助中间量1，0来进行比较.
典例6 求不等式的解集.
3．设函数是定义在上的奇函数，且当时，，记，，，则的大小关系为
A． B．
C． D．
考向四 对数函数的复合函数问题
与对数函数相关的复合函数问题，即定义域、值域的求解，单调性的判断和应用，与二次函数的复合问题等，解题方法同指数函数类似.研究其他相关函数的单调性、奇偶性一般根据定义求解,此外，需特别注意对数函数的定义域及底数的取值.
求形如的复合函数的单调区间，其一般步骤为：
①求定义域，即满足的x的取值集合；
②将复合函数分解成基本初等函数及；
③分别确定这两个函数的单调区间；
④若这两个函数同增或同减，则为增函数，若一增一减，则为减函数，即“同增异减”.
典例7 已知函数．
（1）判断的奇偶性并加以证明；
（2）判断的单调性（不需要证明）；
（3）解关于m的不等式．
【答案】（1）偶函数，证明见解析；（2）减函数；（3）.
【解析】（1）由，得，
∴函数的定义域为．
∵函数的定义域关于原点对称，且，
∴函数为偶函数．
（2）, 为增函数，在上是增函数，在上是减函数，
∴在上是增函数，在上是减函数.
（3）即，
则，得.
∴关于m的不等式的解集为.
4．已知函数是对数函数.
（1）若函数，讨论的单调性；
（2）在（1）的条件下，若，不等式的解集非空，求实数的取值范围.
1．计算等于
A． B．
C． D．
2．已知“”，：“”，则是的
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．函数的单调递减区间为
A． B．
C． D．
4．已知函数，则使得f(2x)>f(x+3)成立的x的取值范围是
A． B．
C． D．
5．已知，函数在同一坐标系中的图象可能是
A． B．
C． D．
6．已知，则的大小关系为
A． B．
C． D．
7．奇函数满足，当时，，则
A．−2 B．
C． D．2
8．已知函数是定义在上的奇函数，且在区间上单调递增，若实数满足，则的取值范围是
A． B．
C． D．
9．方程的解为_________．
10．已知函数，设正实数满足，且，若在区间上的最大值为2，则=________．
11．设函数，且.
（1）求实数的值及函数的定义域；
（2）求函数在区间上的最小值.
12．已知函数的图象过点.
（1）求的值并求函数的值域；
（2）若关于的方程有实根，求实数的取值范围；
（3）若函数，则是否存在实数，使得函数的最大值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
1．（2018年高考天津卷理科）已知，，，则a，b，c的大小关系为
A． B．
C． D．
2．（2018年高考新课标Ⅲ卷理科）设，，则
A． B．
C． D．
3．（2017年高考北京卷理科）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是
（参考数据：lg3≈0.48）
A．1033 B．1053
C．1073 D．1093
4．（2017年高考新课标全国Ⅰ卷理科）设x、y、z为正数，且，则
A．2x
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