2019年高考数学理科考点一遍过(含解析共46套)
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资料简介
考点04 函数及其表示 ‎(1)了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念.‎ ‎(2)在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.‎ ‎(3)了解简单的分段函数,并能简单应用.‎ 一、函数的概念 ‎1.函数与映射的相关概念 ‎(1)函数与映射的概念 函数 映射 两个集合A、B 设A、B是两个非空数集 设A、B是两个非空集合 对应关系 按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应 名称 称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数 称f:A→B为从集合A到集合B的一个映射 记法 y=f(x),x∈A f:A→B 注意:判断一个对应关系是否是函数关系,就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点.‎ ‎(2)函数的定义域、值域 在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域,与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.‎ ‎(3)构成函数的三要素 函数的三要素为定义域、值域、对应关系.‎ ‎(4)函数的表示方法 函数的表示方法有三种:解析法、列表法、图象法.‎ 解析法:一般情况下,必须注明函数的定义域;‎ 列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征;‎ 图象法:注意定义域对图象的影响.‎ ‎2.必记结论 ‎(1)相等函数 如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则这两个函数相等.‎ ‎①两个函数是否是相等函数,取决于它们的定义域和对应关系是否相同,只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时,才表示相等函数.‎ ‎②函数的自变量习惯上用x表示,但也可用其他字母表示,如:f(x)=2x−1,g(t)=2t−1,h(m)=2m−1均表示相等函数.‎ ‎(2)映射的个数 若集合A中有m个元素,集合B中有n个元素,则从集合A到集合B的映射共有个.‎ 二、函数的三要素 ‎1.函数的定义域 函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围,常见基本初等函数定义域的要求为:‎ ‎(1)分式函数中分母不等于零.‎ ‎(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.‎ ‎(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.‎ ‎(4)y=x0的定义域是{x|x≠0}.‎ ‎(5)y=ax(a>0且a≠1),y=sinx,y=cosx的定义域均为R.‎ ‎(6)y=logax(a>0且a≠1)的定义域为(0,+∞).‎ ‎(7)y=tanx的定义域为.‎ ‎2.函数的解析式 ‎(1)函数的解析式是表示函数的一种方式,对于不是y=f(x ‎)的形式,可根据题目的条件转化为该形式.‎ ‎(2)求函数的解析式时,一定要注意函数定义域的变化,特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式,不注明定义域往往导致错误.‎ ‎3.函数的值域 函数的值域就是函数值构成的集合,熟练掌握以下四种常见初等函数的值域:‎ ‎(1)一次函数y=kx+b(k为常数且k≠0)的值域为R.‎ ‎(2)反比例函数(k为常数且k≠0)的值域为(−∞,0)∪(0,+∞).‎ ‎(3)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数且a≠0),‎ 当a>0时,二次函数的值域为;‎ 当a0,b>0)求最值.‎ 若“和定”,则“积最大”,即已知a+b=s,则,ab有最大值,当a=b时取等号;若“积定”,则“和最小”,即已知ab=t,则,a+b有最小值,当a=b时取等号.应用基本不等式的条件是“一正二定三相等”.‎ ‎9.判别式法:‎ 将函数转化为二次方程:若函数y=f(x)可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程a(y)x2+b(y)x+c(y)=0,则在a(y)≠0时,由于x,y为实数,故必须有Δ=b2(y)-‎ ‎4a‎(y)·c(y)≥0,由此确定函数的值域.‎ 利用判别式求函数值的范围,常用于一些“分式”函数、“无理”函数等,使用此法要特别注意自变量的取值范围.‎ ‎10.有界性法:‎ 充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性,求出值域.‎ ‎11.导数法:‎ 利用导数求函数值域时,一种是利用导数判断函数单调性,进而根据单调性求值域;另一种是利用导数与极值、最值的关系求函数的值域.‎ 典例3 求下列函数的值域:‎ ‎(1);‎ ‎(2);‎ ‎(3).‎ ‎【答案】(1)[0,8];(2);(3).‎ ‎【解析】(1),‎ ‎∵≤x≤1,∴≤x−2≤,‎ ‎∴1≤(x−2)2≤9,则0≤(x−2)2≤8.‎ 故函数的值域为[0,8].‎ ‎(2)f(x)的定义域为,‎ 令,得,‎ 故.‎ ‎(3).当且仅当x=2时“=”成立.‎ 故的值域为.‎ ‎3.已知函数f(x)=(x-1)2+1的定义域与值域都是[1,b](b>1),则实数b的值为 .‎ 考向三 求函数的解析式 求函数解析式常用的方法 ‎1.换元法:‎ 已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围;‎ ‎2.配凑法:‎ 由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的表达式;‎ ‎3.待定系数法:‎ 若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法;‎ ‎4.方程组法:‎ 已知关于f(x)与或f(-x)的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程求出f(x).‎ 典例4 已知,则 A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】A ‎【名师点睛】在方法二中,用替换后,要注意的取值范围为,如果忽略了这一点,在求时就会出错.‎ ‎4.已知,则的表达式为 A. B. ‎ C. D.‎ 考向四 分段函数 分段函数是一类重要的函数,常作为考查函数知识的最佳载体,以其考查函数知识容量大而成为高考的命题热点,多以选择题或填空题的形式呈现,重点考查求值、解方程、零点、解不等式、函数图象及性质等问题,难度一般不大,多为容易题或中档题. 分段函数问题的常见类型及解题策略:‎ ‎1.求函数值:‎ 弄清自变量所在区间,然后代入对应的解析式,求“层层套”的函数值,要从最内层逐层往外计算.‎ ‎2.求函数最值:‎ 分别求出每个区间上的最值,然后比较大小.‎ ‎3.求参数:‎ ‎“分段处理”,采用代入法列出各区间上的方程或不等式.‎ ‎4.解不等式:‎ 根据分段函数中自变量取值范围的界定,代入相应的解析式求解,但要注意取值范围的大前提.‎ ‎5.求奇偶性、周期性:‎ 利用奇函数(偶函数)的定义判断,而周期性则由周期性的定义求解.‎ 典例5 已知,则+等于 A.-2   B.4‎ C.2     D.-4‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵=,==f=,∴+=4.故选B.‎ ‎【名师点睛】分段函数的应用:‎ 设分段函数.‎ ‎(1)已知x0,求f(x0):‎ ‎①判断x0的范围,即看x0∈I1,还是x0∈I2;‎ ‎②代入相应解析式求解.‎ ‎(2)已知f(x0)=a,求x0:‎ ‎①当x0∈I1时,由f1(x0)=a,求x0;‎ ‎②验证x0是否属于I1,若是则留下,反之则舍去;‎ ‎③当x0∈I2时,由f2(x0)=a,求x0,判断是否属于I2,方法同上;‎ ‎④写出结论.‎ ‎(3)解不等式f(x)>a:‎ 或.‎ ‎5.已知函数f(x)=,若f(1)=f(-1),则实数a的值等于 A.1 B.2‎ C.3 D.4‎ 典例6 已知函数,若,则实数的取值范围是 A. B. ‎ C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】函数在上为减函数,函数的图象开口向下,对称轴为,所以函数在区间上为减函数,且.‎ 所以函数在上为减函数.由得,解得.故选A.‎ ‎【思路点拨】判断分段函数两段的单调性,当时,为指数函数,可判断函数在上为减函数;第二段函数的图象开口向下,对称轴为,可得函数在区间上为减函数.时,两段函数值相等.进而得函数在上为减函数.根据单调性将不等式变为,从而解得即可 ‎【名师点睛】(1)分段函数的单调性,应考虑各段的单调性,且要注意分解点出的函数值的大小;‎ ‎(2)抽象函数不等式,应根据函数的单调性去掉“”,转化成解不等式,要注意函数定义域的运用.‎ ‎6.已知函数,则下列结论正确的是 A.f(x)是偶函数 B.f(x)是增函数 C.f(x)是周期函数 D.f(x)的值域为[-1,+∞)‎ ‎1.函数的定义域为 A. B. ‎ C. D.‎ ‎2.设函数,若,则 A.1 B. ‎ C.3 D.1或 ‎3.如图为函数的图象,则该函数可能为 ‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎4.若函数y=f(x)的定义域是[0,2],则函数g(x)=的定义域是 A.[0,1] B.[0,1)‎ C.[0,1)∪(1,4] D.(0,1)‎ ‎5.已知函数的值域是,则实数的取值范围是 A. B. ‎ C. D.‎ ‎6.已知函数满足,则 A. B. ‎ C. D.‎ ‎7.已知,记表示不超过的最大整数,如,则的值域为 A. B. ‎ C. D.‎ ‎8.函数的值域为__________.‎ ‎9.已知函数,,则__________.‎ ‎10.设函数则使得成立的的取值范围是__________.‎ ‎1.(2017年高考山东卷理科)设函数的定义域为,函数的定义域为,则 A.(1,2) B. ‎ C.(−2,1) D.[−2,1)‎ ‎2.(2017年高考天津卷理科)已知函数设,若关于x的不等式 在R上恒成立,则a的取值范围是 A. B.‎ C. D.‎ ‎3.(2018年高考江苏卷)函数的定义域为________.‎ ‎4.(2018年高考浙江卷)已知λ∈R,函数f(x)=,当λ=2时,不等式f(x)

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