考点10 函数模型及其应用
（1）了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.
（2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.
一、常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
(为常数，)
反比例函数模型
(为常数且)
二次函数模型
（均为常数，）
指数函数模型
（均为常数，，，）
对数函数模型
（为常数，）
幂函数模型
（为常数，）
二、几类函数模型的增长差异
函数
性质
在(0，＋∞)上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
先慢后快，指数爆炸
先快后慢，增长平缓
介于指数函数与对数函数之间,相对平稳
图象的变化
随x的增大，图象与轴接近平行
随x的增大，图象与轴接近平行
随n值变化而各有不同
值的比较
存在一个，当时，有
三、函数模型的应用
解函数应用题的一般步骤，可分以下四步进行：
（1）认真审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；
（2）建立模型：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
（3）求解模型：求解数学模型，得出数学结论；
（4）还原解答：将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中.
用框图表示如下：
考向一 二次函数模型的应用
在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位.根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题.
典例1 山东省寿光市绿色富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地.上市时，外商李经理按市场价格元/千克在本市收购了千克香菇存放入冷库中.据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计元，而且香菇在冷库中最多保存天，同时，平均每天有千克的香菇损坏不能出售.
（1）若存放天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为元，试写出与之间的函数关系式；
（2）李经理如果想获得利润元，需将这批香菇存放多少天后出售？（提示：利润=销售总金额-收购成本-各种费用）
（3）李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？
【解析】（1）由题意得，与之间的函数关系式为： .
（3）设利润为，则由（2）得，
，
因此当时，.
又因为，
所以李经理将这批香菇存放天后出售可获得最大利润，为元.
1．某公司试销一种新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价500元/件，又不高于800元/件，经试销调查，发现销售量y（件）与销售单价（元/件）可近似看作一次函数的关系（图象如下图所示）．
（1）根据图象，求一次函数的表达式；
（2）设公司获得的毛利润（毛利润＝销售总价－成本总价）为S元,
①求S关于的函数表达式；
②求该公司可获得的最大毛利润，并求出此时相应的销售单价．
考向二 指数函数、对数函数模型的应用
（1）在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示.通常可以表示为(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式.求解时可利用指数运算与对数运算的关系.
（2）已知对数函数模型解题是常见题型，准确进行对数运算及指数与对数的互化即可.
典例2 一片森林原来面积为a,计划每年砍伐一些树,且使森林面积每年比上一年减少p%,10年后森林面积变为.为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的,已知到今年为止,森林面积为.
（1）求p%的值;
（2）到今年为止,该森林已砍伐了多少年?
（3）今后最多还能砍伐多少年?
【解析】（1）由题意得,即,
解得 .
（2）设经过m年，森林面积变为,
则,即，解得m=5,
故到今年为止,已砍伐了5年.
典例3 某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量与时间之间的关系为．已知后消除了的污染物，试求：
（1）后还剩百分之几的污染物．
（2）污染物减少所需要的时间．（参考数据：，，）
【解析】（1）由，可知时，，
当时，，
所以，
当时，，
所以个小时后还剩的污染物．
（2）当时，有，
解得，
所以污染物减少所需要的时间为个小时．
2．盐化某厂决定采用以下方式对某块盐池进行开采：每天开采的量比上一天减少，10天后总量变为原来的一半，为了维持生态平衡，剩余总量至少要保留原来的，已知到今天为止，剩余的总量是原来的．
（1）求的值；
（2）到今天为止，工厂已经开采了几天？
（3）今后最多还能再开采多少天？
考向三 分段函数模型的应用
（1）在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数．如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数．
（2）分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其作为几个不同问题，
将各段的规律找出来，再将其合在一起．要注意各段变量的范围，特别是端点．
（3）构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理，不重不漏．
典例4 某公司利用线上、实体店线下销售产品，产品在上市天内全部售完.据统计，线上日销售量、线下日销售量（单位：件）与上市时间天的关系满足：，产品每件的销售利润为(单位：元)（日销售量线上日销售量线下日销售量）.
（1）设该公司产品的日销售利润为，写出的函数解析式；
（2）产品上市的哪几天给该公司带来的日销售利润不低于元？
【解析】（1）由题意可得：
当时，日销售量为，日销售利润为：；
当时，日销售量为，日销售利润为：；
当时，日销售量为，日销售利润为：.
综上可得：
3．某种商品的市场需求量（万件）、市场供应量（万件）与市场价格（元/件）分别近似地满足下列关系：，．当时的市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量．
（1）求平衡价格和平衡需求量；
（2）若该商品的市场销售量（万件）是市场需求量和市场供应量两者中的较小者，该商品的市场销售额（万元）等于市场销售量与市场价格的乘积．
①当市场价格取何值时，市场销售额取得最大值；
②当市场销售额取得最大值时，为了使得此时的市场价格恰好是新的市场平衡价格，则政府应该对每件商品征税多少元？
考向四 函数模型的比较
根据几组数据，从所给的几种函数模型中选择较好的函数模型时，通常是先根据所给的数据确定各个函数模型中的各个参数，即确定解析式，然后再分别验证、估计，选出较好的函数模型.
典例5 某工厂第一季度某产品月生产量依次为10万件，12万件，13万件，为了预测以后每个月的产量，以这3个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量（单位：万件）与月份的关系. 模拟函数；模拟函数.
（1）已知4月份的产量为13.7万件，问选用哪个函数作为模拟函数较好？
（2）受工厂设备的影响，全年的每月产量都不超过15万件，请选用合适的模拟函数预测6月份的产量.
【解析】（1）若用模拟函数1：，
则有，解得，
即，当时，．
若用模拟函数2：，
则有，解得，
即，当时，．
所以选用模拟函数1较好．
（2）因为模拟函数1：是单调增函数，所以当时，生产量远大于他的最高限量；
模拟函数2：也是单调增函数，但生产量，所以不会超过15万件，所以应该选用模拟函数2：好．
当时，，
所以预测6月份的产量为万件.
4．某创业投资公司拟开发某种新能源产品，估计能获得万元到万元的投资利益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金（单位：万元）随投资收益（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过万元，同时奖金不超过收益的．
（1）请分析函数是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因．
（2）若该公司采用函数模型作为奖励函数模型，试确定最小正整数的值．
1．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，之后增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润与时间的关系，可选用
A．一次函数 B．二次函数
C．指数型函数 D．对数型函数
2．已知三个变量随变量变化的数据如下表：
则反映随变化情况拟合较好的一组函数模型是
A． B．
C． D．
3．国家相继出台多项政策控制房地产行业，现在规定房地产行业收入税如下：年收入在280万元及以下的税率为；超过280万元的部分按征税．现有一家公司的实际缴税比例为，则该公司的年收入是
A．万元 B．万元
C．万元 D．万元
4．某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入.若该高校2017年全年投入科研经费1300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长，则该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是( )(参考数据：，，)
A．2020年 B．2021年
C．2022年 D．2023年
5．一个容器装有细沙，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地均速漏出，后剩余的细沙量为，经过后发现容器内还有一半的沙子，则再经过（ ），容器中的沙子只有开始时的八分之一.
A． B．
C． D．
6．
某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元．当销售单价为6元时，日均销售量为480桶．根据数据分析，销售单价在进价基础上每增加1元，日均销售量就减少40桶．为了使日均销售利润最大，销售单价应定为
A．元 B．元
C．元 D．元
7．衣柜里的樟脑丸随着时间推移会挥发而体积变小,若它的体积随时间的变化规律是（为自然对数的底数），其中为初始值.若，则的值约为 ____________.(运算结果保留整数，参考数据：
8．某种产品的产销量情况如图所示，其中：表示产品各年年产量的变化规律；表示产品各年的销售量变化情况.有下叙述：
（1）产品产量、销售量均以直线上升，仍可按原生产计划进行下去；
（2）产品已经出现了供大于求的情况，价格将趋跌；
（3）产品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销售量；
（4）产品的产、销情况均以一定的年增长率递增.
你认为较合理的是 （把你认为合理结论的序号都填上）.
9．精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障.某地政府在对某乡镇企业实施精准扶贫的工作中，准备投入资金将当地农产品进行二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量万件（生产量与销售量相等）与推广促销费万元之间的函数关系为（其中推广促销费不能超过5万元）.已知加工此农产品还要投入成本万元（不包括推广促销费用），若加工后的每件成品的销售价格定为元/件.
（1）试将该批产品的利润万元表示为推广促销费万元的函数；（利润=销售额-成本-推广促销费）
（2）当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？
10．某电动小汽车生产企业，年利润（出厂价投入成本）年销售量.已知上年度生产电动小汽车的投入成本为万元/辆，出厂价为万/辆，年销售量为辆，本年度为打造绿色环保电动小汽车，提高产品档次，计划增加投入成本，若每辆电动小汽车投入成本增加的比例为（），则出厂价相应提高的比例为.同时年销售量增加的比例为.
（1）写出本年度预计的年利润（万元）与投入成本增加的比例的函数关系式；
（2）为了使本年度的年利润最大，每辆车投入成本增加的比例应为多少？最大年利润是多少？
11．在热学中,物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述,如果物体的初始温度是
,经过一定时间后,温度将满足=,其中是环境温度,称为半衰期.现有一杯用195F热水冲的速溶咖啡,放在75F的房间内,如果咖啡降到105F需要20分钟,问降温到95F需要多少分钟?(F为华氏温度单位,答案精确到0.1，参考数据:）
12．习总书记在十九大报告中，提出新时代坚持和发展中国特色社会主义的基本方略，包括“坚持人与自然和谐共生，加快生态文明体制改革，建设美丽中国”. 目前我国一些高耗能低效产业（煤炭、钢铁、有色金属、炼化等）的产能过剩，将严重影响生态文明建设，“去产能”将是一项重大任务.十九大后，某行业计划从 2018 年开始，每年的产能比上一年减少的百分比为 .
（1）设年后（2018 年记为第 1 年）年产能为 2017 年的倍，请用表示;
（2）若，则至少要到哪一年才能使年产能不超过 2017 的 25%？
参考数据：,.
13．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度（单位：千克/年）是养殖密度（单位：尾/立方米）的函数．当不超过尾/立方米时， 的值为千克/年；当时， 是的一次函数，且当时， ．
（1）当时，求关于的函数的表达式．
（2）当养殖密度为多大时，每立方米的鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值．
1．（2014湖南理科）某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为，第二年的增长率为，则该市这两年生产总值的年平均增长率为
A． B．
C． D．
2．（2015四川理科）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，k，b为常数）.若该食品在0 的保鲜时间是192小时，在22 的保鲜时间是48小时，则该食品在33 的保鲜时间是_________小时.
变式拓展
1．【解析】（1）由题意可得，解得，
所以所求的表达式为．
（2）①由（1）得
．
②由①可知，，其图象开口向下，对称轴为，
所以当时，．
即该公司可获得的最大毛利润为62500元，此时相应的销售单价为750元/件．
（3）设今后最多还能再开采天，则，
即，即，得，
故今后最多还能再开采25天．
3．【解析】（1）令，得，
故，此时．
答：平衡价格是30元，平衡需求量是40万件．
②设政府应该对每件商品征税元，则供应商的实际价格是每件元，
故，
令，得，
由题意可知上述方程的解是，代入上述方程得．
答：政府应该对每件商品征税7.5元．
4．【解析】（1）对于函数模型，
当时,为增函数,
, 所以恒成立,
但当时,,即不恒成立,
故函数模型不符合公司要求.
(2)对于函数模型,即，
当,即时单调递增,
为使对于恒成立,即要,即,
为使对于恒成立, 即要,
即恒成立, 即恒成立,
又,故只需,所以.
综上,,故最小的正整数的值为.
考点冲关
1．【答案】D
【解析】根据基本初等函数的图象与性质可知，一次函数增长的速度不变，不满足题意；
要满足调整后初期利润增长迅速，如果是二次函数，则必须开口向上，而此时在二次函数对称轴的右侧增长的速度是越来越快，没有慢下来的可能，不符合要求；
要满足调整后初期利润增长迅速，如果是指数函数，则底数必是大于1的数，而此时指数函数增长的速度也是越来越快的，也不满足要求；
对于对数函数，当底数大于1时，对数函数增长的速度先快后慢，符合要求，故选D.
2．【答案】B
【解析】从题表格可以看出，三个变量都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量的增长速度最快，呈指数函数变化，变量的增长速度最慢，呈对数型函数变化，故选B.
3．【答案】D
【解析】设该公司的年收入为a万元，则280p%+（a﹣280）（p+2）%=a（p+0.25）%，解得a==320．故选D．
4．【答案】B
【解析】若年是第一年，则第年科研费为，由，可得，得，即年后，到年科研经费超过万元，故选B．
5．【答案】B
【解析】依题意有=,即，两边取对数得
.当容器中只有开始时的八分之一时，有，两边取对数得，所以再经过的时间为24-8=16.故选B．
6．【答案】D
【解析】设定价在进价的基础上增加x元，日销售利润为y元，则y=x[480﹣40（x﹣1）]﹣200，
由于x＞0，且520﹣40x＞0，所以0＜x＜13.
即y=﹣40x2+520x﹣200，0＜x＜13．
所以，当时，y取最大值．
∴销售单价应定为元.故选D.
7．【答案】11
【解析】由题意，设一个樟脑丸的体积变为时，需要经过的时间为，
则，即，所以，
所以.
8．【答案】（2），（3）
【解析】产品产量、销售量均以直线上升，但表示年产量的直线斜率大，上升快，斜率小，上升慢，所以随着的增加，两者差距加大，出现了供大于求的情况，库存积压越来越严重.
9．【解析】（1）由题意知，
∴.
（2）∵，
∴.
当且仅当时，上式取“” ，
∴当时，.
答：当推广促销费投入3万元时，利润最大，最大利润为27万元.
11．【解析】依题意，可令，，，，代入式子得，解得.
又若，代入式子得，则.
∴.
答：降温到95F约需要25.9分钟.
12．【解析】（1）依题意得：，则，则.
（2）设年后年产能不超过2017年的25%，则，即，
即，，则，，
∵，且，
∴的最小值为14.
答：至少要到2031年才能使年产能不超过2017年的25%.
（）依题意并由（1）可得，
当时，为增函数，故；
当时，，
故．
所以，当时，的最大值为．
当养殖密度为尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为千克/立方米．
直通高考
1．【答案】D
【解析】设该市这两年生产总值的年平均增长率为,则有,故选D.
2．【答案】24
【解析】由题意，得，即，
于是当x＝33时，＝24(小时).
微信/支付宝扫码支付