（1）了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）.
（2）了解数列是自变量为正整数的一类函数.
一、数列的相关概念
1．数列的定义
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项，通常也叫做首项，排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项．所以，数列的一般形式可以写成简记为．
2．数列与函数的关系
数列可以看成定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数，当自变量按照由小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．
由于数列是特殊的函数，因此可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等,此时要注意数列的定义域为正整数集（或其有限子集）这一条件.
3．数列的分类
分类标准
名称
含义
按项的
个数
有穷数列
项数有限的数列，如数列1，2，3，4，5，7，8，9，10
无穷数
项数无限的数列，如数列1，2，3，4，…
列
按项的变化趋势
递增数列
从第2项起，每一项都大于它的前一项，如数列1，3，5，7，9，…
递减数列
从第2项起，每一项都小于它的前一项，如数列10，9，8，7，6，5，…
常数列
各项都相等的数列，如数列2，2，2，2，…
摆动数列
从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，如1，2，1，2
按项的有界性
有界数列
任一项的绝对值都小于某一正数，如－1，1，－1，1，－1，1，…
无界数列
不存在某一正数能使任一项的绝对值小于它，如2，4，6，8，10，…
二、数列的表示方法
（1）列举法：将数列中的每一项按照项的序号逐一写出，一般用于“杂乱无章”且项数较少的情况．
（2）解析法：主要有两种表示方法，
①通项公式：如果数列的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即．
②递推公式：如果已知数列的第一项(或前几项)，且任一项与它的前一项 (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
（3）图象法：数列是特殊的函数，可以用图象直观地表示．数列用图象表示时，可以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标描点画图．由此可知，数列的图象是无限个或有限个孤立的点．
三、数列的前n项和与通项的关系
数列的前n项和通常用表示，记作，则通项．
若当时求出的也适合时的情形，则用一个式子表示，否则分段表示．
考向一 已知数列的前几项求通项公式
1．常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．
具体策略：
①分式中分子、分母的特征；
②相邻项的变化特征；
③拆项后的特征；
④各项的符号特征和绝对值特征；
⑤化异为同．对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；
⑥对于符号交替出现的情况，可用或处理．
根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想.
2．常见的数列的通项公式：
（1）数列1，2，3，4，…的通项公式为；
（2）数列2，4，6，8，…的通项公式为；
（3）数列1，4，9，16，…的通项公式为；
（4）数列1，2，4，8，…的通项公式为；
（5）数列1，，，，…的通项公式为；
（6）数列，，，，…的通项公式为．
3．根据图形特征求数列的通项公式，首先要观察图形，寻找相邻的两个图形之间的变化，其次要把这些变化同图形的序号联系起来，发现其中的规律，最后归纳猜想出通项公式．
典例1 写出下面数列的一个通项公式.
（1）8,98,998,9998, …;
（2）,,,,…;
（3）1,6,12,20,….
（3）容易看出第2,3,4项满足规律:项的序号×(项的序号+1).
而第1项却不满足,因此考虑分段表示，
即数列的一个通项公式为.
典例2 如图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖_______块．（用含n的代数式表示）
【答案】4n+8
1．已知，给出4个表达式：①，②，③，④.其中能作为数列：0，1，0，1，0，1，0，1，…的通项公式的是
A．①②③ B．①②④
C．②③④ D．①③④
考向二 利用与的关系求通项公式
已知求的一般步骤：
（1）先利用求出；
（2）用替换中的n得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式；
（3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写.
利用求通项公式时，务必要注意这一限制条件，所以在求出结果后，要看看这两种情况能否整合在一起．
典例3 在数列中，，，数列的前项和（，为常数）.
（1）求实数，的值；
（2）求数列的通项公式.
典例4 已知数列的前项和为，且满足，，．
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式．
【解析】（1）∵, ,∴．
2．设数列满足.
（1）求及的通项公式;
（2）求数列的前项和.
考向三 由递推关系式求通项公式
递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项.高考对递推公式的考查难度适中，一般是通过变换转化成特殊的数列求解.
已知数列的递推公式求通项公式的常见类型及解法如下：
（1）：常用累加法，即利用恒等式求通项公式．
（2）：常用累乘法，即利用恒等式求通项公式．
（3）（其中为常数，）：先用待定系数法把原递推公式转化为，其中，进而转化为等比数列进行求解．
（4）：两边同时除以，然后可转化为类型3，利用待定系数法进行求解；两边同时除以，然后可转化为类型1，利用累加法进行求解．
（5）：把原递推公式转化为，解法同类型3．
（6）：把原递推公式两边同时取对数，然后可转化为类型3，利用待定系数法进行求解．
（7）：把原递推公式两边同时取倒数，然后可转化为类型3，利用待定系数法进行求解．
（8）：易得，然后分n为奇数、偶数两种情况分类讨论即可．
（9）：易得，然后分n为奇数、偶数两种情况分类讨论即可．
典例5 已知数列{an}中,a1=1,an=n(an+1-an)(n∈).求数列{an}的通项公式.
典例6 在数列中，，.
（1）设，求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
①-②得
．
∴．
∴．
3．在数列中，，，，为常数，．
（1）求的值；
（2）设，求数列的通项公式.
考向四 数列的性质
数列可以看作是一类特殊的函数，所以数列具备函数应有的性质，在高考中常考查数列的单调性、周期性等.
1．数列的周期性
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
2．数列的单调性
（1）数列单调性的判断方法：
①作差法：数列是递增数列；
数列是递减数列；
数列是常数列．
②作商法：当时，数列是递增数列；
数列是递减数列；
数列是常数列．
当时，数列是递减数列；
数列是递增数列；
数列是常数列．
（2）数列单调性的应用：
①构造函数，确定出函数的单调性，进而可求得数列中的最大项或最小项．
②根据可求数列中的最大项；根据可求数列中的最小项．当解不唯一时，比较各解对应的项的大小即可．
（3）已知数列的单调性求解某个参数的取值范围，一般有两种方法：
①利用数列的单调性构建不等式，然后将其转化为不等式的恒成立问题进行解决，也可通过
分离参数将其转化为最值问题处理；
②利用数列与函数之间的特殊关系，将数列的单调性转化为相应函数的单调性，利用函数的性质求解参数的取值范围，但要注意数列通项中n的取值范围．
典例7 已知数列，其通项公式为 ，判断数列的单调性．
典例8 已知正项数列的前项和为，且对任意恒成立.
（1）证明：；
（2）求数列的通项公式；
（3）若，数列是递增数列，求的取值范围.
【解析】（1）由，
得，
两式相减得.
又，所以，即，
当时，，得，也满足，
所以.
4．在数列中,,若,则的值为
A． B．
C． D．
5．已知数列的前项和满足：.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前项和为，试问当为何值时，最小？并求出最小值.
1．在数列1,2,,…中,是这个数列的第
A．16项 B．24项
C．26项 D．28项
2．数列,,,,…的一个通项公式是
A．an=(-1)n+1 B．an=(-1)n
C．an=(-1)n+1 D．an=(-1)n
3．若数列中,,则的值为
A． B．
C． D．
4．若数列的前项和,则它的通项公式是
A． B．
C． D．
5．如图，给出的3个三角形图案中圆的个数依次构成一个数列的前3项，则这个数列的一个通项公式是
A． B．
C． D．
6．在数列中==则＝
A． B．
C． D．
7．已知数列的通项为，则数列的最大值为
A． B．
C． D．不存在
8．已知函数=,若数列{}满足=,且{}是递增数列,则实数a的取值范围是
A． B．
C． D．
9．传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras,约公元前570年—公元前500年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩上画点或用小石子来表示数.根据下列四个图形及相应的正方形的个数的变化规律,第n个图形中有_________个正方形.
10．若数列满足，则___________．
11．已知数列的前项和为,且=，则 ．
12．已知{an}是递增数列，且对任意的自然数n(n≥1)，都有恒成立，则实数λ的取值范围为__________.
13．已知首项为2的数列的前项和为，且，若数列满足，则数列中最大项的值为__________．
14．已知数列{an}的通项公式为an=3n2-28n.
(1)写出数列的第4项和第6项;
(2)-49是否为该数列的一项?如果是,是哪一项?68是否为该数列的一项呢?
15．已知数列{an}的通项公式an=n2-7n-8.
（1）数列中有多少项为负数?
（2）数列{an}是否有最小项?若有,求出其最小项.
16．已知数列的前项和满足．
（1）求，，的值；
（2）已知数列满足，，求数列的通项公式．
17．已知数列满足，其前n项和，求其通项公式．
18．设数列的前项和为，点 均在函数的图象上.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
1．（2018新课标全国Ⅰ理科）记为数列的前项和，若，则_________．
2．（2015江苏）数列满足且,则数列的前10项和为 .
3．（2015新课标全国Ⅰ理科）为数列{}的前n项和.已知an>0,.
（1）求{an}的通项公式；
（2）设.求数列{bn}的前n项和.
变式拓展
1．【答案】A
【解析】①②③逐一写出为0，1，0，1，0，1，0，1，…，④逐一写出为，不满足，故选A.
2．【解析】（1）令，则.
（2）由（1），知，
设数列的前项和为，
则.
3．【解析】（1）将代入，得，
4．【答案】B
【解析】由题意得,,,,,所以数列是周期为4的周期数列，所以.选B．
5．【解析】（1）由已知，可得
当时，，可解得或，
当时，由已知可得，
考点冲关
1．【答案】C
【解析】数列1,2,,…可化为 ,,…,则由,解得
2．【答案】C
【解析】对于选项A,当n=2时,a2=,不满足题意,所以A不正确;
对于选项B,当n=1时,a1=,不满足题意,所以B不正确;
对于选项D,当n=2时,a2=,不满足题意,所以D不正确;
当n=1,2,3,4时,an=(-1)n+1均满足题意,C正确.
3．【答案】C
【解析】因为,所以,所以,所以,即奇数项、偶数项构成的数列均为常数列,又,所以
7．【答案】C
【解析】=，但，则取不到，又=，=，a7＜a8，∴数列{an}的最大项为a8．故选C．
8．【答案】B
【解析】因为{}是递增数列,所以函数单调递增.当时,=单调递增,可得,解得;当时,=单调递增,可得，所以.而
{}是递增数列,所以=，解得，所以,即实数a的取值范围是.故选B.
9．【答案】
【解析】设数列为，由图知，所以由此猜想：,故填.
10．【答案】
11．【答案】
【解析】n=1时,
时,,
所以.
12．【答案】(-3,+∞)
【解析】由{an}为递增数列,得an+1-an=(n+1)2+λ(n+1)-n2-λn=2n+1+λ>0恒成立,即λ>-2n-1在n≥1时恒成立,令f(n)=-2n-1,n∈,则f(n)max=-3.
只需λ>f(n)max=-3即可.故实数λ的取值范围为(-3,+∞).
13．【答案】43
【解析】∵，∴当时，，
当时，，
两式相减可得，
时也适合，
∴当时，最大，最大值为43，故答案为43.
14．【解析】(1)a4=3×16-28×4=-64,a6=3×36-28×6=-60.
(2)令3n2-28n=-49,解得n=7或n=(舍去),
∴n=7,即-49是该数列的第7项.
令3n2-28n=68,解得n=或n=-2.
∵∉N*,-2∉N*,
∴68不是该数列的项.
15．【解析】（1）令an
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