（1）理解等比数列的概念.
（2）掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.
（3）了解等比数列与指数函数的关系.
一、等比数列
1．等比数列的概念
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．
注意：（1）等比数列的每一项都不可能为0；
（2）公比是每一项与其前一项的比，前后次序不能颠倒，且公比是一个与无关的常数.
2．等比中项
如果在与中间插入一个数，使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项，此时．
3．等比数列的通项公式及其变形
首项为，公比为的等比数列的通项公式是．
等比数列通项公式的变形：．
4．等比数列与指数函数的关系
等比数列的通项公式还可以改写为，当且时，是指数函数，是指数型函数，因此数列的图象是函数的图象上一些孤立的点．
当或时，是递增数列；
当或时，是递减数列；
当时，为常数列；
当时，为摆动数列，所有的奇数项（偶数项）同号，奇数项与偶数项异号．
二、等比数列的前n项和公式
首项为，公比为的等比数列的前项和的公式为
（1）当公比时，因为，所以是关于n的正比例函数，则数列的图象是正比例函数图象上的一群孤立的点．
（2）当公比时，等比数列的前项和公式是，即，设，则上式可写成的形式，则数列的图象是函数图象上的一群孤立的点．
由此可见，非常数列的等比数列的前n项和是一个关于n的指数型函数与一个常数的和，且指数型函数的系数与常数项互为相反数．
三、等比数列及其前n项和的性质
若数列是公比为的等比数列，前n项和为，则有如下性质：
（1）若，则；若，则．
推广：若，则
．
（2）若成等差数列，则成等比数列．
（3）数列仍是公比为的等比数列；
数列是公比为的等比数列；
数列是公比为的等比数列；
若数列是公比为的等比数列，则数列是公比为的等比数列．
（4）成等比数列，公比为．
（5）连续相邻项的和（或积）构成公比为或的等比数列．
（6）当时，；当时，．
（7）．
（8）若项数为，则，若项数为，则．
（9）当时，连续项的和（如）仍组成等比数列（公比为，）．注意：这里连续m项的和均非零．
考向一 等比数列的判定与证明
等比数列的判定与证明常用的方法：
（1）定义法：为常数且数列是等比数列．
（2）等比中项法：数列是等比数列．
（3）通项公式法：数列是等比数列．
（4）前项和公式法：若数列的前项和
，则该数列是等比数列．
其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中．
注意：
（1）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．
（2）只满足的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要.
典例1 已知数列满足.
（1）证明：是等比数列；
（2）求.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【名师点睛】本题考查了数列中递推公式的应用，通过构造数列证明等比数列，分项求和等知识点.形如（），在构造数列时，可在等式两边同时加上构成等比数列.
（1）利用递推公式可以得到的表达式，两个式子相减即可得到与的表达式；构造数列{}，即可证明{}为等比数列.
（2）利用{}为等比数列，可求得{}的通项公式；将{}分为等比数列和等差数列两个部分分别求和，再相加即可得出奇数项的和.
1．数列的前项和为，已知.
（1）试写出；
（2）设，求证：数列是等比数列；
（3）求出数列的前项和及数列的通项公式.
考向二 等比数列的基本运算
等比数列基本量的计算是解等比数列题型时的基础方法，在高考中常有所体现，多以选择题或填空题的形式呈现，有时也会出现在解答题的第（1）问中，属基础题.
（1）等比数列的基本运算方法：
①等比数列由首项与公比确定，所有关于等比数列的计算和证明，都可围绕与进行．
②对于等比数列问题，一般给出两个条件，就可以通过解方程(组)求出与，对于五个基本量，如果再给出第三个条件就可以“知三求二”．
（2）基本量计算过程中涉及的数学思想方法：
①方程思想．等比数列的通项公式和前n项和公式联系着五个基本量，“知三求二”是一类最基本的运算，通过列方程(组)求出关键量和q，问题可迎刃而解．
②分类讨论思想．等比数列的前项和公式为，所以当公比未知或是代数式时，要对公比分和进行讨论.此处是常考易错点，一定要引起重视．
③整体思想．应用等比数列前n项和公式时，常把，当成整体求解.
典例2 已知是等比数列，且，，则等于
A． B．24
C． D．48
【答案】B
【解析】由题意知，则，
所以，故选B．
典例3 各项都是正数的等比数列中，，，成等差数列，则的值为
A． B．
C． D．或
【答案】B
【名师点睛】该题考查的是数列的有关问题，涉及的知识点有：
三个数成等差数列的条件，等比数列的性质等，注意题中的隐含条件.
2．已知等比数列的前n项和为，且，，则
A． B．
C． D．
考向三 求解等比数列的通项及前n项和
1．求等比数列的通项公式，一般先求出首项与公比，再利用求解．但在某些情况下，利用等比数列通项公式的变形可以简化解题过程．求解时通常会涉及等比数列的设项问题，常用的设项方法为：
（1）通项法．设数列的通项公式来求解；
（2）对称设元法：若所给等比数列的项数为且各项符号相同，则这个数列可设为，…，，，，…，；
若所给等比数列的项数为，则这个数列可设为，…，，…，.
2．当时，若已知，则用求解较方便；若已知，则用求解较方便.
3．（1）形如的递推关系式，利用待定系数法可化为 ，当时，数列是等比数列；由，两式相减，得当
时，数列是公比为的等比数列．
（2）形如的递推关系式，除利用待定系数法直接化归为等比数列外，也可以两边同时除以，进而化归为等比数列．
典例4 若等比数列的前项和为,且5，则等于
A．5 B．16
C．17 D．25
【答案】C
【解析】当公比时，故公比不为1，
当公比时，∴，∴，故选C.
【名师点睛】本题重点考查了等比数列的前n项和，注意对公比的分类讨论，这是一个易错点,同时注意首项与公比均不为零.解决本题时，对公比进行分类讨论，利用前n项和公式及条件，求出，从而得到结果.
典例5 已知等比数列的各项均为正数，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足：，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
3．设等比数列{}的各项都为正数，数列{}满足，且.
（1）求数列{}的通项；
（2）求数列{}的前n项和Tn.
考向四 等比数列的性质的应用
等比数列的性质是高考考查的热点之一，利用等比数列的性质求解可使题目减少运算量，题型以选择题或填空题为主，难度不大，属中低档题，主要考查通项公式的变形、等比中项的应用及前n项和公式的变形应用等.
注意：（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．
（2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用.
典例6 在等比数列中，是方程的根，则
A． B．2
C．1 D．
【答案】A
【解析】由等比数列的性质知，故，故选A.
典例7 已知等比数列的前n项和为，若，，则_______．
【答案】140
【解析】方法1：由，，易得公比，
根据等比数列前n项和的性质，可得，即，解得，
又，所以，．
方法2：根据等比数列前n项和的性质，可得，即，解得，
所以．
方法3：根据等比数列前n项和的性质，可知，，成等比数列，
则，即，解得．
4．已知各项均为正数的等比数列中, ,,则等于
A． B．
C． D．
考向五 数列的新定义问题
数列新定义问题能充分考查对信息的阅读、提取及转化能力，综合性强，难度较高，在实际问题中往往需要对题目进行阅读，再借助定义进行转化即可进行求解．对于此类问题，应先弄清问题的本质，然后根据等差数列、等比数列的性质以及解决数列问题时常用的方法即可解决．
典例8 若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点在函数的图象上，其中n为正整数．
（1）证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列；
（2）设（1）中“平方递推数列”的前n项之积为，求；
（3）在（2）的条件下，记，设数列的前n项和为，求使成立的n的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）．
（2）由（1）知，
则
（3）由（2）知，，
又，
所以，即，
又，
所以，
故使成立的n的最小值为．
5．在数列中，，一个7行8列的数表中，第行第列的元素为 ，则该数表中所有不相等元素之和为
A． B．
C． D．
1．设是等比数列的前项和,,则公比
A． B．
C．1或 D．1或
2．已知为等比数列，，则
A．7 B．5
C． D．
3．已知等比数列中,，为方程的两根，则的值为
A．16 B．8
C． D．
4．等比数列中，，则数列的前8项和等于
A．6 B．5
C．4 D．3
5．等比数列的前项和、前项和、前项和分别为，，，则
A． B．
C． D．
6．已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则等于
A． B．
C． D．
7．设，则等于
A． B．
C． D．
8．已知各项均不为0的等差数列满足，数列为等比数列，且，则
A．4 B．8
C．16 D．25
9．已知等比数列的公比为，前项和是，则“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
10．《张丘建算经》中有如下叙述：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里，问末日行几何．”其大意为：“现有一匹马行走速度越来越慢，每天行走的距离是前一天的一半，连续行走天，共走了里，问最后一天行走的距离是多少？”依据上述记载，计算第天行走的距离大约是
（结果采用四舍五入，保留整数）
A．里 B．里
C．里 D．里
11．设是等比数列的前项和，，若，则的最小值为
A． B．
C．20 D．
12．若数列的前项和满足，则的值为__________.
13．已知数列是等比数列，且，则________________．
14．若数列的前项和满足.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）设，求数列的前项和.
15．已知公比为整数的正项等比数列满足：，．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
1．（2017新课标全国II理科）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯
A．1盏 B．3盏
C．5盏 D．9盏
2．（2017江苏）等比数列的各项均为实数，其前项和为，已知，则________．
3．（2017新课标全国Ⅲ理科）设等比数列满足a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3，则a4 =___________．
4．（2018新课标全国I理科）记为数列的前项和，若，则_________．
变式拓展
1．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）；.
【点睛】本题为数列常见考题，属于高考高频考点，常涉及：
①利用递推公式，已知数列的前几项利用赋值法求出后面；
②对递推关系式变形，证明某数列为等比（差）数列；
③根据所证明的数列成等比（差）数列，求出第n项；
④已知数列的前n项和，求第n项.这些都是数列常规问题，考查面较大.
对于本题，当数列提供与之间的递推关系时，借助首项的值，利用赋值法，可求出第二项及以后的项，并求出前几项的和，证明某数列是等比数列，就是证明第n+1项与第n
项的比是一个常数，这个分析给证明提供一个暗示，有了证明的目标，从递推关系式向着这个目标进行等价变形，就可得出所要证明的式子，达到证明的目的；利用所证明的等比数列求出通项公式得出，进而求出通项.
2．【答案】D
【名师点睛】该题考查的是有关等比数列的问题，涉及的知识点有等比数列项之间的关系，等比数列的通项公式和等比数列的求和公式的应用，在解题的过程中，注意认真运算.对于本题，设出等比数列的公比为，利用等比数列的性质，根据已知等式求出的值，进而求出的值，表示出与，即可求出结果.
3．【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）因为{}为等比数列，
所以由可得，
由可得，
因为>0,
所以，可得
所以.
（2）因为=，
所以数列{}为等比数列，且首项为4，公比为16，
从而.
4．【答案】C
【解析】因为等比数列中，,
，所以由等比数列的性质可知成等比数列，所以，因为等比数列中各项均为正数，所以，因为，，成等比数列，所以，可得.
故选C．
【名师点睛】本题主要考查等比数列中连续三项积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用.由等比数列的性质求得，再由等比数列的性质可得，从而可得结果.
5．【答案】C
【解析】该数表中的第i行第j列的元素（2i﹣1）（2j﹣1）+2i﹣1+2j﹣1=2i+j﹣1 （i=1，2，…，7；j=1，2，…，8），其数据如下表所示：
i j
1
2
3
4
5
6
7
8
1
22﹣1
23﹣1
24﹣1
25﹣1
26﹣1
27﹣1
2
23﹣1
24﹣1
25﹣1
26﹣1
27﹣1
28﹣1
3
24﹣1
25﹣1
26﹣1
27﹣1
28﹣1
29﹣1
4
25﹣1
26﹣1
27﹣1
28﹣1
29﹣1
210﹣1
5
26﹣1
27﹣1
28﹣1
29﹣1
210﹣1
211﹣1
6
27﹣1
28﹣1
29﹣1
210﹣1
211﹣1
7
28﹣1
29﹣1
210﹣1
211﹣1
由表可知，该数表中所有不相等元素之和为22﹣1+23﹣1++=−14=.
故答案为C.
【名师点睛】（1）本题主要考查等比数列求和，意在考查学生对这些知识的掌握能力.（2）解答本题时，要注意审题，本题求的是“所有不相等元素的和”.
考点冲关
1．【答案】C
【解析】由已知，所以，解得或，故选C．
2．【答案】D
【名师点睛】等比数列的基本量运算问题的常见类型及解题策略：
①化基本量求通项．求等比数列的两个基本元素和，通项便可求出，或利用知三求二，用方程求解．
②化基本量求特定项．利用通项公式或者等比数列的性质求解．
③化基本量求公比．利用等比数列的定义和性质，建立方程组求解．
④化基本量求和．直接将基本量代入前项和公式求解或利用等比数列的性质求解．
3．【答案】B
【解析】因为，为方程的两根，所以,且,
因此，
故选B．
【名师点睛】在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．
4．【答案】C
【解析】由等比数列的性质知，所以 ．故选C.
5．【答案】D
【解析】由等比数列的性质可知，等比数列的第一个项和，第二个项和，第三个项和仍然构成等比数列，则有构成等比数列，，即，，故选D．
【名师点睛】本题考查了等比数列的性质以及等比数列前项和，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力，是基础题.解本题时，由等比数列的性质，可知其第一个项和，第二个项和，第三个项和仍然构成等比数列，化简即可得结果.
8．【答案】C
【解析】∵等差数列中，∴，又，∴，
∴．∴在等比数列中，．故选C．
【名师点睛】本题主要考查等差、等比数列中项的下标和的性质，即若 ，则等差数列中有，等比数列中有．利用数列这个性质解题，可简化运算、提高解题的效率．解本题时，先根据等差数列下标和的性质求出，进而得到，再根据等比数列下标和的性质求即可．
9．【答案】D
【解析】由得，∴，∴，解得或．∴“”等价于
“或”．故“”是“”的既不充分也不必要条件．故选D．
【名师点睛】先求出“”的等价条件，再根据题意作出判断．等比数列的单调性除了和公比有关外，还与数列的首项有关．当或时，数列为递增数列；当或时，数列为递减数列．
10．【答案】C
【解析】记该匹马每天行走的距离成等比数列，其公比为，前7项的和为700，此问题可以转化为求数列的第7项，，故选C．
11．【答案】C
【名师点睛】本题考查了等比数列的前项和公式，利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正，即首先要判断参数是否为正；二定，即其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等，即最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.解本题时，利用等比数列的前项和公式求出，由数列的单调性可得，根据基本不等式的性质求解即可.
12．【答案】−81
【解析】，当时，，
当时，，即，
是以首项为−3，公比为3的等比数列，..
故答案为−81.
【名师点睛】掌握与的关系，利用与的关系式求出的通项公式即可得到答案.
13．【答案】
【名师点睛】本题考查了等比数列的定义、通项公式的求法，灵活运用公式进行变形求解，属于中档题.解本题时，根据数列是等比数列，将、分别代入，可以得到数列的公比，从而求得通项公式.
14．【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】（1）当时，，计算得出，
当时，根据题意得，，
所以，即.
，即，
数列是首项为−2，公比为2的等比数列.
（2）由（1）知，，
，
，
，
则.
【名师点睛】本题考查了等比数列的证明，数列求和的常用方法；数列求和的常用方法有：分组求和，用于当数列中相邻两项的和或者差是定值的；错位相减法，用于一个等比数列和等差数列乘到一起；裂项相消法主要用于分式型的通项.
15．【答案】（1）；（2）.
【名师点睛】该问题属于数列的综合问题，属于常考的题型，第一问考查的是有关等比数列的性质以及数列通项公式的求解问题，根据等比数列的通项公式以及性质，结合题中的条件，转化为关于首项和公比的等量关系式，从而求得结果；第二问是典型的数列求和问题——错位相减法，在求解的过程中，一定要注意最后一项应该是减号，以及最后求和的时候要看清项数.
直通高考
1．【答案】B
【名师点睛】用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后将经过数学推理与计算得出的结果放回到实际问题中，进行检验，最终得出结论．
2．【答案】32
【解析】当时，显然不符合题意；
当时，，解得，则．
【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路：①利用基本量，将多元问题简化为一元问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确；②利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．
3．【答案】
【解析】设等比数列的公比为，很明显，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：
，由可得：，代入①可得，由等比数列的通项公式可得．
【名师点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.
4．【答案】
【名师点睛】该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.
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