能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.
对等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的通项及前n项和；分析等差、等比数列项之间的关系，往往用到转化与化归的思想方法．
考向一 等差、等比数列的综合应用
解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系，
（1）如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，则要把成等差数列和成等比数列的项分别抽出来，研究这些项与序号之间的关系；
（2）如果两个数列是通过运算综合在一起的，就要从分析运算入手，把两个数列分割开，再根据两个数列各自的特征进行求解．
典例1 已知数列的各项均为整数，，，前12项依次成等差数列，从第11项起依次成等比数列，则
A．8 B．16
C．64 D．128
【答案】B
【解析】设由前12项构成的等差数列的公差为，从第11项起构成的等比数列的公比为，
由，解得或，又数列的各项均为整数，故
，所以，所以，故.
故选B．
【名师点睛】本题综合考查了等比数列与等差数列的通项公式，考查了逻辑推理能力及运算求解能力.利用等差数列、等比数列的通项公式求出公差与公比即可得到所求值.
典例2 已知等差数列中，.
（1）设，求证：数列是等比数列；
（2）求的前项和.
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】（1）设等差数列的公差为，
由，可得，即.
又由，可得.
故，
依题意，，
因为（常数），
故是首项为4，公比的等比数列.
（2）因为的前项和为，
的前项和为，
故的前项和为.
【名师点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的通项公式，以及等差、等比数列的求和的应用，其中熟记等差、等比数列的通项公式和求和公式是解答的关键，着重考查了推理与
运算能力，属于基础题.求解本题时，（1）设的公差为，由题意求得，即可求得数列的通项公式，进而得到数列的通项公式，利用等比数列的定义，即可作出证明；（2）由（1）可得的前项和和的前项和，即可得到数列的前项和.
1．已知公差不为零的等差数列和等比数列满足：，且成等比数列.
（1）求数列和的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
考向二 数列与函数、不等式等的综合应用
1．数列可看作是自变量为正整数的一类函数，数列的通项公式相当于函数的解析式，所以我们可以用函数的观点来研究数列．
解决数列与函数综合问题的注意点：
（1）数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集，而不是某个区间上的连续实数，所以它的图象是一群孤立的点．
（2）转化为以函数为背景的条件时，应注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是非常容易忽视的问题．
（3）利用函数的方法研究数列中相关问题时，应准确构造函数，注意数列中相关限制条件的转化．
2．数列与不等式的综合问题是高考考查的热点．考查方式主要有三种：
（1）判断数列问题中的一些不等关系；
（2）以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；
（3）考查与数列问题有关的不等式的证明问题．
在解决这些问题时，要充分利用数列自身的特点，例如在需要用到数列的单调性的时候，可以通过比较相邻两项的大小进行判断．在与不等式的证明相结合时，注意构造函数，结合函数的单调性来证明不等式．
典例3 已知数列满足=．
（1）求证：数列是等比数列;
（2）若恒成立,求实数的取值范围．
典例4 已知函数满足且.
（1）当时，求的表达式；
（2）设，，求证：…；
（3）设，，为的前项和，当最大时，求的值.
∴数列是一个首项是4，公差为的等差数列，
∴当时，；当时，；当时，.
故当或时，取得最大值，为.
2．已知数列为等比数列，数列为等差数列，且，，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，证明：.
考向三 等差、等比数列的实际应用
1．数列实际应用中的常见模型
①等差模型：增加或减少的量是一个固定的常数，是公差；
②等比模型：后一个量与前一个量的比是一个固定的常数，是公比；
③递推数列模型：题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，由此列递推关系式．
2．解答数列实际应用题的步骤
①审题：仔细阅读题干，认真理解题意；
②建模：将已知条件翻译成数学语言，将实际问题转化为数学问题；
③求解：求出该问题的数学解；
④还原：将所求结果还原到实际问题中．
在实际问题中建立数学模型时，一般有两种途径：①从特例入手，归纳猜想，再推广到一般结论；②从一般入手，找到递推关系，再进行求解．
典例5 某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂,第一年各种经费12万美元,以后每年比上一年增加4万美元,每年销售蔬菜收入50万美元,设f(n)表示前n年的纯利润(f(n)=前n年的总收入-前n年的总支出-投资额).
（1）从第几年开始获得纯利润?
（2）若五年后,该台商为开发新项目,决定出售该厂,现有两种方案：①年平均利润最大时,以48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时,以16万美元出售该厂.问哪种方案较合算?
【解析】由题意,知每年的经费构成了以12为首项,4为公差的等差数列,
则f(n)=50n-[12n+×4]-72=-2n2+40n-72.
（1）获得纯利润就是要求f(n)>0,即-2n2+40n-72>0,解得20，所以f(x)在R上单调递增,且f(x)为奇函数.
由条件得,f()=−1,f()=1，∴,从而+=2，
又等差数列的前项和为，所以===2016，
因为f()=−1,f()=1,f(x)在R上单调递增，所以>,即>，
故选D．
【名师点睛】本题解题的关键是由题意合理构造函数f(x)=x3+2016x，借助此函数的单调性与奇偶性明确+=2，再利用等差数列的重要性质，问题迎刃而解.
8．【答案】B
9．【答案】
【解析】∵数列是等差数列，数列是等比数列，∴，即；.∴.
故答案为.
10．【答案】(，)
【解析】因为，所以，两式作差得，
数列中，奇数项和偶数项分别为公差等于2的等差数列，又由条件可得，，若数列为递增数列，则只需，解得.故填(，).
【名师点睛】本题也可利用数列的通项公式求解，由题的解法可知数列和数列分别为等差数列，可分别求出其通项公式，然后根据求解，注意分类讨论，即当n为奇（偶）数时，为偶（奇）数.
11．【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【思路点拨】（1）根据条件构造等比数列：
，再根据等比数列的定义给予证明；
（2）先根据等比数列通项公式求得，即得的通项公式，再根据分组求和法得，最后判断是否成立.
12．【答案】（1），；（2）.
【解析】（1）设等比数列的公比为，则.
因为，
所以，
因为，解得.
所以，.
（2）.
设，则.
.
13．【答案】（1）；（2）见解析.
所以.
【名师点睛】本题考查的核心是裂项求和，使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
14．【答案】（1）an=2n−1；（2）.
，
所以．
【名师点睛】本题主要考查等差数列的公差及首项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质、错位相减法的合理运用．
15．【答案】（1）见解析；（2）11.
【解析】（1）设等差数列的公差为，，
，
因为，，
所以，解得或
当时，，，，此时，；
当时，，，，此时，.
（2）若单调递增，则，，，
由不等式解得（且），
所以的最小值为11.
直通高考
1．【答案】B
【名师点睛】构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如
2．【答案】A
【解析】设等差数列的公差为，由a2，a3，a6成等比数列可得，即，整理可得，又公差不为，则，故前6项的和为.故选A．
【名师点睛】（1）等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.（2）数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.
3．【答案】1
【解析】设等差数列的公差和等比数列的公比分别为和，则，求得，那么．
【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）问题,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.
4．【思路分析】（1）根据等差数列和等比数列通项公式及前项和公式列方程求出等差数列的首项和公差及等比数列的公比，即可写出等差数列和等比数列的通项公式；（2）利用错位相减法即可求出数列的前n项和．
故，
，
上述两式相减，得
，
即，
所以数列的前项和为．
【名师点睛】利用等差数列和等比数列通项公式及前项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比，进而写出通项公式及前项和公式，这是等差数列、等比数列的基本要求，数列求和的方法有倒序相加法、错位相减法、裂项相消法和分组求和法等，本题考查的是错位相减法求和．
5．【解析】（1）设数列的公比为，由已知.
所以
【名师点睛】本题主要考查等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的错位相减法.此类题目是数列问题中的常见题型.本题覆盖面广，对考生的计算能力要求较高.解答本题，布列方程组，确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题将数列与解析几何结合起来，适当增大了难度，能较好
地考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.
6．【解析】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.
.
设，
所以，
因此，
又，所以.
【名师点睛】用错位相减法求和应注意的问题：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
7．【解析】本小题主要考查等差数列的通项公式，等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识.考查
【名师点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，数列求和的方法，数列中的指数裂项方
法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
8．【解析】本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与
因为，则，
从而，，对均成立．
因此，取d=0时，对均成立．
下面讨论数列的最大值和数列的最小值（）．
①当时，，
当时，有，从而．
因此，当时，数列单调递增，
故数列的最大值为．
②设，当x>0时，，
所以单调递减，从而
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