考点12 导数的应用
1．导数在研究函数中的应用
（1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.
（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.
2．生活中的优化问题
会利用导数解决某些实际问题.
一、导数与函数的单调性
一般地，在某个区间(a,b)内：
（1）如果，函数f (x)在这个区间内单调递增;
（2）如果，函数f (x)在这个区间内单调递减;
（3）如果，函数f (x)在这个区间内是常数函数．
注意：（1）利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号；
（2）在某个区间内，()是函数f (x)在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件.例如，函数在定义域上是增函数，但.
（3）函数f (x)在(a,b)内单调递增(减)的充要条件是()在(a,b)内恒成立，且在(a,b)的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，在区间内的个别点处有,不影响函数f (x)在区间内的单调性.
二、利用导数研究函数的极值和最值
1．函数的极值
一般地，对于函数y=f (x)，
（1）若在点x=a处有f ′(a)=0，且在点x=a附近的左侧，右侧，则称x=a为f (x)的极小值点，叫做函数f (x)的极小值.
（2）若在点x=b处有=0，且在点x=b附近的左侧，右侧，则称x=b为f (x)的极大值点，叫做函数f (x)的极大值．
（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.
2．函数的最值
函数的最值，即函数图象上最高点的纵坐标是最大值，图象上最低点的纵坐标是最小值，对于最值，我们有如下结论：一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.
设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为：
（1）求在内的极值；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
3．函数的最值与极值的关系
（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言；
（2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；
（3）函数f (x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；
（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.
三、生活中的优化问题
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.导数是求函数最值问题的有力工具.
解决优化问题的基本思路是：
考向一 利用导数研究函数的单调性
1．利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式（）在给定区间上恒成立．一般步骤为：
（1）求f ′(x)；
（2）确认f ′(x)在(a,b)内的符号；
（3）作出结论，时为增函数，时为减函数．
注意：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．
2．在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义域为实数集可以省略不写.在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点.
3．由函数的单调性求参数的取值范围的方法
（1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上(或)(在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；
（2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是(或)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；
（3）若已知在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围.
4．利用导数解决函数的零点问题时，一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有一个零点，再利用导数判断在所给区间内的单调性，由此求解.
典例1 已知函数，其中.
（1）函数的图象能否与轴相切?若能，求出实数，若不能，请说明理由；
（2）讨论函数的单调性.
（2）由于，
当时，，当时，，单调递增，
当时，，单调递减；
当时，由得或，
①当时，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当，，单调递增；
②当时，，单调递增；
③当时，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增.
综上，当时，在上是减函数，在上是增函数；
当时，在上是增函数，在上是减函数；
当时，在上是增函数；
当时，在上是增函数，在上是减函数.
典例2 设函数.
（1）讨论的导函数的零点的个数；
（2）证明：当时，.
（2）由（1），可设在上的唯一零点为.
当时，;当时，.
故在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得最小值，最小值为.
由于，所以（当且仅当，即时，等号成立）.
故当时，.
1．已知函数.
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围.
考向二 利用导数研究函数的极值和最值
1．函数极值问题的常见类型及解题策略
（1）函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．
（2）求函数极值的方法：
①确定函数的定义域．
②求导函数．
③求方程的根．
④检查在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果在这个根的左、右两侧符号不变，则在这个根处没有极值．
（3）利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数，求方程的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围.
2．求函数f (x)在[a,b]上最值的方法
（1）若函数f (x)在[a,b]上单调递增或递减，f (a)与f (b)一个为最大值，一个为最小值．
（2）若函数f (x)在区间(a,b)内有极值，先求出函数f (x)在区间(a,b)上的极值，与f (a)、f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
（3）函数f (x)在区间(a,b)上有唯一一个极值点时，这个极值点就是最大(或最小)值点．
注意：（1）若函数中含有参数时，要注意分类讨论思想的应用.
（2）极值是函数的“局部概念”，最值是函数的“整体概念”，函数的极值不一定是最值，函数的最值也不一定是极值.要注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定.
3．利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法：
（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，恒成立，只需即可；恒成立，只需即可.
（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.
典例3 已知函数．
（1）当时，试判断函数的单调性；
（2）若，求证：函数在上的最小值小于．
（2）由（1）知在上单调递增，
因为，所以，
所以存在，使得，即，即，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，令，，则恒成立，
所以函数在上单调递减，所以，
所以，即当时，
故函数在上的最小值小于．
典例4 已知函数，.
（1）若曲线与曲线在它们的交点处的公共切线为，求，，的值；
（2）当时，若，，求的取值范围.
【解析】（1）设它们的公共交点的横坐标为，
则 .
，则，①；
，则，②.
由②得，由①得.
将，代入得，∴，.
（2）由，得，
即在上恒成立，
令 ，
则 ，
其中在上恒成立，
∴在上单调递增，在上单调递减，
则，∴.
故的取值范围是.
2．已知函数，其中为实常数.
（1）若是的极大值点，求的极小值；
（2）若不等式对任意，恒成立，求的最小值.
考向三 （导）函数图象与单调性、极值、最值的关系
1．导数与函数变化快慢的关系：如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图象就“平缓”一些.
2．导函数为正的区间是函数的增区间，导函数为负的区间是函数的减区间，导函数图象与x轴的交点的横坐标为函数的极值点.
典例 5 设函数（，，），若函数在处取得极值，则下列图象不可能为的图象是
【答案】D
【解析】，因为函数在处取得极值，所以是的一个根，整理可得，所以，对称轴为.
对于A,由图可得，适合题意；
对于B,由图可得，适合题意；
对于C,由图可得，适合题意；
对于D,由图可得，不适合题意，故选D.
3．已知函数的导函数的图象如图所示，则函数
A．有极大值，没有最大值 B．没有极大值，没有最大值
C．有极大值，有最大值 D．没有极大值，有最大值
考向四 生活中的优化问题
1．实际生活中利润最大，容积、面积最大，流量、速度最大等问题都需要利用导数来求解相应函数的最大值.若在定义域内只有一个极值点，且在极值点附近左增右减，则此时唯一的极大值就是最大值.
2．实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题都需要利用导数求解相应函数的最小值.用料最省、费用最低问题出现的形式多与几何体有关，解题时根据题意明确哪一项指标最省(往往要从几何体的面积、体积入手)，将这一指标表示为自变量x的函数，利用导数或其他方法求出最值，但一定要注意自变量的取值范围．
典例6 如图，点为某沿海城市的高速公路出入口，直线为海岸线，，，是以为圆心，半径为的圆弧型小路.该市拟修建一条从通往海岸的观光专线，其中为上异于的一点，与平行，设.
（1）证明：观光专线的总长度随的增大而减小；
（2）已知新建道路的单位成本是翻新道路的单位成本的2倍.当取何值时，观光专线的修建总成本最低？请说明理由.
【解析】（1）由题意，，所以，
又，
所以观光专线的总长度为 ，，
因为当时，，
所以在上单调递减，
即观光专线的总长度随的增大而减小.
答：当时，观光专线的修建总成本最低.
4．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）．
（1）将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；
（2）讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．
1．已知函数（e是自然对数的底数），则的极大值为
A．2e-1 B．
C．1 D．2ln2
2．已知函数，则的单调递减区间为
A． B．
C．和 D．和
3．函数在闭区间上的最大值，最小值分别是
A． B．
C． D．
4．设定义在上的函数的导函数满足，则
A． B．
C． D．
5．若函数在上有最小值，则的取值范围为
A． B．
C． D．
6．已知函数，函数有两个零点，则实数的取值范围为
A． B．
C． D．
7．已知函数f (x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f ′(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，则下列说法中不正确的序号是________．
①当x＝时函数取得极小值； ②f(x)有两个极值点；
③当x＝2时函数取得极小值； ④当x＝1时函数取得极大值．
8．已知函数．若函数在定义域内不是单调函数，则实数的取值范围是__________．
9．定义在上的函数满足，则当时，与的大小关系为__________.(其中为自然对数的底数)
10．用一张的长方形纸片，经过折叠以后，糊成了一个无盖的长方体形纸盒，则这个纸盒的最大容积是_________.
11．已知函数在处取得极值.
（1）求a、b的值；
（2）若有极大值28，求在上的最小值.
12．如图，有一块半圆形空地，开发商计划建一个矩形游泳池ABCD及其矩形附属设施EFGH，并将剩余空地进行绿化，园林局要求绿化面积应最大化．其中半圆的圆心为O，半径为R，矩形的一边AB在直径上，点C、D、G、H在圆周上，E、F在边CD上，且，设.
（1）记游泳池及其附属设施的占地面积为，求的表达式；
（2）当为何值时，能符合园林局的要求？
13．设函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，且在区间上恒成立，求的取值范围.
14．设.
（1）在上单调，求的取值范围；
（2）已知在处取得极小值，求的取值范围.
15．已知函数．
（1）若曲线的切线经过点，求的方程；
（2）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．
1．（2017新课标全国Ⅱ理科）若是函数的极值点，则的极小值为
A． B．
C． D．1
2．（2017浙江）函数y=f(x)的导函数的图象如图所示，则函数y=f(x)的图象可能
是
3．（2017新课标全国Ⅲ理科）已知函数有唯一零点，则a=
A． B．
C． D．1
4．（2018新课标全国Ⅰ理科）已知函数，则的最小值是_____________．
5．（2017浙江）已知函数f(x)=（x–）（）．
（1）求f(x)的导函数；
（2）求f(x)在区间上的取值范围．
6．（2018新课标全国Ⅰ理科）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若存在两个极值点，证明：．
7．（2018新课标全国Ⅲ理科）已知函数．
（1）若，证明：当时，；当时，；
（2）若是的极大值点，求．
8．（2018新课标全国Ⅱ理科）已知函数．
（1）若，证明：当时，；
（2）若在只有一个零点，求．
9．（2018江苏）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设OC与MN所成的角为．
（1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；
（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
变式拓展
1．【解析】（1），，，.
，在处的切线方程为，即.
（2），
在上单调递减，在上恒成立，即在上恒成立，记，
恒成立，且显然不是常数函数，在上单调递减，
，，
实数的取值范围是.
（2）不等式即为，
所以.
①若，则，.
当，时取等号；
②若，则，.
由（1）可知在上为减函数.
所以当时，.
因为，所以.
于是.
3．【答案】A
【解析】由题意，函数的图象可知，
当时，函数先增后减；当时，函数先减后增，
所以函数有极大值，没有最大值，故选A．
（2）因为V(r)＝(300r－4r3)，故V′(r)＝(300－12r2)．
令，解得r1＝5，r2＝－5(因为r2＝－5不在定义域内，舍去)．
当r∈(0,5)时，，故V(r)在(0,5)上为增函数；
当r∈(5,)时，V′(r)＜0，故V(r)在(5,)上为减函数．
由此可知，在r＝5处取得最大值，此时h＝8.
即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．
考点冲关
1．【答案】D
【解析】，
，令得，
故的极大值为，选D．
2．【答案】C
【解析】由题得，解不等式得x＜e.
∵x＞0，x≠1，∴0＜x＜1和1＜x＜e.∴函数的单调递减区间为和.
3．【答案】D
【解析】由，得x=±1，当时，；当时，，
当x＞1时，，故的极小值、极大值分别为，，而，
，故函数在[-3，0]上的最大值、最小值分别是3、-17.
4．【答案】A
【解析】由定义在上的函数的导函数满足，则，即，
设，则，所以函数在上为单调递增函数，
则，即，所以，故选A．
5．【答案】A
【解析】∵函数，∴，
当时，，即函数在上为减函数；
当时，，即函数在上为增函数.
∴.
∵函数在上有最小值，∴.故选A．
6．【答案】C
【解析】当时，设，则，
易知当时，，即是减函数，∴时，，
又时，且，而时，是增函数，．
有两个零点，即的图象与直线有两个交点，所以，故选C．
7．【答案】①
【解析】由图可知1为极大值点，2是极小值点，故②③④正确，①错.
9．【答案】
【解析】由题得，即，所以函数在R上单调递减，
因为m>0,所以，故填.
10．【答案】
【解析】设剪下的四个正方形的边长为，则经过折叠以后，糊成的长方体形纸盒是一个底面是长为，宽为长方形，其面积为，长方体的高为，体积为,，由 得函数在上单调递增，由得函数在上单调递减，所以这个纸盒的最大容积是.
11．【解析】（1）因为，所以.
由于在点处取得极值，故有，即
，化简得，解得.
（2）由（1）知，.
令，得.
当时，，故在上为增函数；
当时，，故在上为减函数；
当时，，故在上为增函数.
由此可知在处取得极大值，在处取得极小值.
由题设条件知，得，
此时，
因此在上的最小值为.
12．【解析】（1）由题意，，，且为等边三角形，
所以，，，
，．
（2）要符合园林局的要求，只要最小，
由（1）知，，
令，即，解得或（舍去），
令 .
当时，是单调减函数，当时，是单调增函数，所以当时，取得最小值.
故当满足时，符合园林局要求.
13．【解析】（1）函数的定义域为，，
当时，，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；
当时，，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；
当时，， 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增；
当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增.
（2）若，且在区间上恒成立，等价于在区间上.由（1）中的讨论，知
当时，，函数在区间上单调递减，,
即，从而得；
当时，，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，，
即只需，即，
由于，从而得.
综上，的取值范围为.
（2）由（1）知，
①，在上单调递增，∴时，，单调递减，时，，单调递增，∴在处取得极小值，符合题意；
②时，，又在上单调递增，∴时，，∴时，，∴在上单调递减，在上单调递增，则在处取得极小值，符合题意；
③时，，在上单调递增，∴在上单调递减，又，
∴时，，单调递减，不合题意；
④时，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，∴在处取得极大值，不符合题意.
综上所述，可得.
15．【解析】（1）设切点为，因为，所以.
由斜率知：，即，可得，
即，所以或.
当时，，切线的方程为，即；
当时，，切线的方程为，即.
综上所述，所求切线的方程为或.
（2）由得，代入整理得，
设，
则，
由题意得函数有两个零点．
①当时，，此时只有一个零点．
②当时，由得，由得，即在上为减函数，在上为增函数，而，所以在上有唯一的零点，且该零点在上．
若，则，取，
则，
所以在上有唯一零点，且该零点在上；
若，则，所以在上有唯一零点，
所以时，有两个零点．
③当时，由，得或，
若，则，所以至多有一个零点．
若，则，易知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
又，所以至多有一个零点．
若，则，易知在上单调递增，在和上单调递减，又，所以至多有一个零点．
综上所述，的取值范围为．
直通高考
1．【答案】A
【解析】由题可得，
因为，所以，，故，
令，解得或，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的极小值为，故选A．
【名师点睛】（1）可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f ′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f ′(x)的符号不同；（2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．
2．【答案】D
【解析】原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，因此选D．
【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与轴的交点为，且图象在两侧附近连续分布于轴上下方，则为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数的正负，得出原函数的单调区间．
3．【答案】C
【解析】函数的零点满足，
设，则，
当时，；当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
当时，函数取得最小值，为.
设，当时，函数取得最小值，为，
若，函数与函数没有交点；
若，当时，函数和有一个交点，
即，解得.故选C.
【名师点睛】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用.
4．【答案】
【解析】，所以当时函数单调递减，当时函数单调递增，从而得到函数的递减区间为，函数的递增区间为，所以当时，函数取得最小值，此时，所以，故答案是.
【名师点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值.
5．【解析】（1）因为，，
所以．
（2）由，解得或．
因为
x
（，1）
1
（1，）
（，）
–
0
+
0
–
f（x）
0
又，
所以f（x）在区间上的取值范围是．
【名师点睛】本题主要考查导数两大方面的应用：（一）函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出，由的正负，得出函数的单调区间；（二）函数的最值（极值）的求法：由单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数的极值或最值．
6．【解析】（1）的定义域为，.
（i）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减.
（ii）若，令得，或.
当时，；
当时，.所以在单调递减，在单调递增.
（2）由（1）知，存在两个极值点当且仅当.
由于的两个极值点满足，所以，不妨设，则.由于
，
所以等价于.
设函数，由（1）知，在单调递减，又，从而当时，.
所以，即.
（2）（i）若，由（1）知，当时，，这与是的极大值点矛盾.
（ii）若，设函数.
由于当时，，故与符号相同.
又，故是的极大值点当且仅当是的极大值点.
.
如果，则当，且时，，故不是的极大值点.
如果，则存在根，故当，且
时，，所以不是的极大值点.
如果，则.则当时，；当时，.所以是的极大值点，从而是的极大值点
综上，.
8．【解析】（1）当时，等价于．
设函数，则．
当时，，所以在单调递减．
而，故当时，，即．
（2）设函数．
在只有一个零点当且仅当在只有一个零点．
（i）当时，，没有零点；
（ii）当时，．
当时，；当时，．
所以在单调递减，在单调递增．
故是在的最小值．
①若，即，在没有零点；
②若，即，在只有一个零点；
③若，即，由于，所以在有一个零点，
由（1）知，当时，，所以
．
故在有一个零点，因此在有两个零点．
综上，在只有一个零点时，．
令∠GOK=θ0，则sinθ0=，θ0∈（0，）．
当θ∈[θ0，）时，才能作出满足条件的矩形ABCD，
所以sinθ的取值范围是[，1）．
答：矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[，1）．
令，得θ=，
当θ∈（θ0，）时，，所以f（θ）为增函数；
当θ∈（，）时，，所以f（θ）为减函数，
因此，当θ=时，f（θ）取到最大值．
答：当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
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