（1）了解圆锥曲线的简单应用.
（2）理解数形结合的思想.
一、直线与圆锥曲线的位置关系
1．曲线的交点
在平面直角坐标系xOy中，给定两条曲线，已知它们的方程为，求曲线的交点坐标，即求方程组的实数解.
方程组有几组实数解，这两条曲线就有几个交点.若方程组无实数解，则这两条曲线没有交点.
2．直线与圆锥曲线的交点个数的判定
设直线，圆锥曲线，把二者方程联立得到方程组，消去得到一个关于的方程.
（1）当时，
方程有两个不同的实数解，即直线与圆锥曲线有两个交点；
方程有两个相同的实数解，即直线与圆锥曲线有一个交点；
方程无实数解，即直线与圆锥曲线无交点.
（2）当a=0时，方程为一次方程，若b≠0，方程有一个解，此时直线与圆锥曲线有一个交点；
若b=0,c≠0，方程无解，此时直线与圆锥曲线没有交点.
3．直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线相交时，直线与椭圆有两个公共点，与双曲线、抛物线有一个或两个公共点.
（1）直线与椭圆有两个交点相交；直线与椭圆有一个交点相切；直线与椭圆没有交点相离.
（2）直线与双曲线有两个交点相交.
当直线与双曲线只有一个公共点时，除了直线与双曲线相切外，还有可能是直线与双曲线相交，此时直线与双曲线的渐近线平行.
直线与双曲线没有交点相离.
（3）直线与抛物线有两个交点相交.
当直线与抛物线只有一个公共点时，除了直线与抛物线相切外，还有可能是直线与抛物线相交，此时直线与抛物线的对称轴平行或重合.
直线与抛物线没有交点相离.
二、圆锥曲线中弦的相关问题
1．弦长的求解
（1）当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解；
（2）当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与圆锥曲线C相交于两个不同的点，则弦长.
（3）当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长.
2．中点弦问题
（1）AB为椭圆的弦，，弦中点M(x0，y0)，则AB所在直线的斜率为，弦AB的斜率与弦中点M和椭圆中心O
的连线的斜率之积为定值.
（2）AB为双曲线的弦，，弦中点M(x0，y0)，则AB所在直线的斜率为，弦AB的斜率与弦中点M和双曲线中心O的连线的斜率之积为定值.
（3）在抛物线中，以M(x0，y0) 为中点的弦所在直线的斜率.
考向一 直线与圆锥曲线位置关系的判断及应用
1．判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.
2．依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时,联立方程并消元，得到一元方程,此时注意观察方程的二次项系数是否为0,若为0,则方程为一次方程；若不为0,则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解.
典例1 已知椭圆，直线:y＝x＋m．
(1)若与椭圆有一个公共点，求的值；
(2)若与椭圆相交于P,Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m的值．
典例2 已知抛物线的焦点为，抛物线的焦点为．
（1）若过点的直线与抛物线有且只有一个交点，求直线的方程；
（2）若直线与抛物线交于，两点，求的面积．
【解析】（1）由题意知抛物线的焦点为，抛物线的焦点为，
所以，，
1．已知直线与双曲线．当k为何值时，直线与双曲线：
（1）有两个公共点；
（2）有一个公共点；
（3）没有公共点．
考向二 直线与圆锥曲线的弦长问题
直线与圆锥曲线的弦长问题有三种解法：
（1）过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题．
（2）将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长．
（3）它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系.
典例3 已知抛物线：（），焦点为，直线交抛物线于，两点，为的中点，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）若，求的最小值．
∴，
即，∴，
∴，，
典例4 已知椭圆：（）的右焦点为，且椭圆上一点到其两焦点，的距离之和为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线：（）与椭圆交于不同的两点，，且，若点满足，求的值．
【解析】（1）由已知得，则，
又，
∴，
∴椭圆的方程为．
（2）由得 ①.
∵直线与椭圆交于不同的两点、，∴，得，
设、，
则，，
当时，，
此时，线段的中垂线方程为，即，
令，得．
当时，，
此时，线段的中垂线方程为，即．
令，得．
综上所述，的值为或．
2．直线与双曲线相交于A，B两点．
（1）当时，求线段AB的长；
（2）若以AB为直径的圆经过坐标原点，求实数a的值．
考向三 圆锥曲线中的定点、定值问题
定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明.解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究.同时，也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定点、定值问题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等.
典例5 如图，已知点E(m,0)(m＞0)为抛物线y2＝4x内一个定点，过E作斜率分别为k1，k2的两条直线交抛物线于点A，B，C，D，且M，N分别是AB，CD的中点．
（1）若m＝1，k1k2＝－1，求△EMN面积的最小值；
（2）若k1＋k2＝1，求证：直线MN过定点．
典例6 已知椭圆E:与y轴的正半轴相交于点M,点F1,F2为椭圆的焦点,且是边长为2的等边三角形,若直线l:y=kx+2与椭圆E交于不同的两点A,B.
（1）直线MA,MB的斜率之积是否为定值?若是,请求出该定值,若不是,请说明理由；
（2）求的面积的最大值.
【解析】（1）因为是边长为2的等边三角形,所以2c=2,b=c,a=2,
所以a=2,b=,
所以椭圆E:+=1,点M(0,).
将直线l:y=kx+2代入椭圆E的方程,整理得(3+4k2)x2+16kx+36=0. (*)
设A(x1,y1),B(x2,y2),则由(*)式可得Δ=(16k)2-4(3+4k2)×36=48(4k2-9)>0,
所以k∈(-∞,-)∪(,+∞),x1+x2=,x1x2=.
则直线MA,MB的斜率之积为kMA·kMB=
,
3．已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率，虚轴长为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若直线与双曲线相交于两点（均异于左、右顶点），且以为直径的圆过双曲线的左顶点，求证：直线过定点，并求出定点的坐标.
4．已知椭圆的离心率为，右焦点与抛物线的焦点重合，左顶点为，过的直线交椭圆于两点，直线与直线交于两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）试计算是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由.
1．直线=与椭圆=的位置关系为
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
2．已知直线与双曲线的右支有两个交点，则的取值范围为
A． B．
C． D．
3．设为抛物线：的焦点，过作倾斜角为30°的直线交于、两点，则
A． B．16
C．32 D．
4．若平行四边形内接于椭圆，直线的斜率，则直线的斜率
A． B．
C． D．
5．过双曲线的右顶点A作倾斜角为135°的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B,C,若,则双曲线的渐近线方程为
A．(+1)x+y=0 B．(+1)y-x=0
C．(+1)x±y=0 D．(+1)y±x=0
6．已知O是坐标原点，F是椭圆+=1的一个焦点，过F且与x轴垂直的直线与椭圆交于M,N两点，则cos∠MON的值为
A． B．
C． D．
7．直线过抛物线的焦点且与抛物线交于两点，若线段的长分别为，则的最小值是
A．10 B．9
C．8 D．7
8．已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点．若的中点坐标为，则的方程为
A． B．
C． D．
9．已知双曲线的一条渐近线截椭圆所得弦长为，则此双曲线的离心率为
A． B．
C． D．
10．过抛物线上的焦点，作直线与抛物线交于，两点，已知，则
A．2 B．3
C． D．
11．若椭圆与直线有公共点，则该椭圆离心率的取值范围是
A． B．
C． D．
12．如图,过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于点A、B,交其准线于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为
A． B．
C． D．y2=x
13．已知椭圆C:+=1,过点M(1,0)的直线l与椭圆C交于点A,B,若=2,则直线l的斜率为
A． B．
C． D．
14．若直线y=kx-1与抛物线y2=4x有且只有一个公共点,则k的值为_________.
15．如图，已知斜率为1的直线l过椭圆C：的下焦点，交椭圆C于A，B两点，则弦AB的长等于__________．
16．如果双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率为___________.
17．直线与椭圆分别交于点，，线段的中点为，设直线的斜率为，直线的斜率为，则的值为__________．
18．过抛物线C:y2=x上一点A(1,1)作两条互相垂直的直线，分别交抛物线于P,Q(异于点A)
两点,则直线PQ恒过定点_________.
19．已知椭圆的离心率，焦距是．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于、两点，，求的值．
20．已知抛物线上的点P到点的距离与到直线的距离之差为，过点的直线交抛物线于两点.
（1）求抛物线的方程；
（2）若的面积为，求直线的方程.
21．设、分别为双曲线的左、右项点，双曲线的实轴长为，焦点到渐近线的距离为．
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线与双曲线的右支交于、两点，且在双曲线的右支上存在点使，求的值及点的坐标．
22．已知抛物线上的点到焦点的距离为．
（1）求，的值；
（2）设，是抛物线上分别位于轴两侧的两个动点，且，其中为坐标原点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
23．已知点在双曲线（，）上，且双曲线的一条渐近线的方程是．
（1）求双曲线的方程；
（2）若过点且斜率为的直线与双曲线有两个不同的交点，求实数的取值范围；
（3）设（2）中直线与双曲线交于两个不同的点，若以线段为直径的圆经过坐标原点，求实数的值．
24．已知椭圆以，为焦点，且离心率.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点、，求的取值范围；
（3）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为、，是否存在直线，满足（2）中的条件且使得向量与垂直？如果存在，写出的方程；如果不存在，请说明理由.
25．已知抛物线的焦点以及椭圆的上、下焦点及左、右顶点均在圆上．
（1）求抛物线和椭圆的标准方程；
（2）过点的直线交抛物线于不同的两点，交轴于点，已知，，求证：为定值．
26．已知椭圆的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系，直线与以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M是椭圆的上顶点，过点M分别作直线MA、MB交椭圆于A、B两点，设两直线的斜率分别为k1、k2，且，证明：直线AB过定点．
1．（2018新课标全国Ⅰ理科）设抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于，两点，则
A．5 B．6
C．7 D．8
2．（2018新课标全国Ⅱ理科）已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为
A． B．
C． D．
3．（2018新课标全国Ⅰ理科）已知双曲线，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为，．若为直角三角形，则
A． B．3
C． D．4
4．（2018新课标全国Ⅲ理科）已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则________________．
5．（2018新课标全国Ⅱ理科）设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．
（1）求的方程；
（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．
6．（2018新课标全国Ⅰ理科）设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为．
（1）当与轴垂直时，求直线的方程；
（2）设为坐标原点，证明：．
7．（2018新课标全国Ⅲ理科）已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．
（1）证明：；
（2）设为的右焦点，为上一点，且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．
8．（2018北京理科）已知抛物线经过点．过点的直线与抛物线有两个不同的交点，，且直线交轴于，直线交轴于．
（1）求直线的斜率的取值范围；
（2）设为原点，，，求证：为定值．
9．（2018江苏）如图，在平面直角坐标系中，椭圆过点，焦点，圆O的直径为．
（1）求椭圆C及圆O的方程；
（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．
①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；
②直线l与椭圆C交于两点．若的面积为，求直线l的方程．
10．（2018天津理科）设椭圆(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，点A的坐标为，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线l：与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q．
若(O为原点)，求k的值．
11．（2017新课标全国Ⅲ理科）已知抛物线C：y2=2x，过点（2，0）的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．
（1）证明：坐标原点O在圆M上；
（2）设圆M过点，求直线l与圆M的方程．
12．（2017新课标全国I理科）已知椭圆C：，四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．
（1）求C的方程；
（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点．
变式拓展
2．【解析】由消去y得．
设，，则，．
（1）
．
当时，．
（2）由题意知，OA⊥OB，则，即，
即，即，解得．
所以当以AB为直径的圆经过坐标原点时，a的值为或．
3．【解析】（1）设双曲线的标准方程为，
由已知得
又，解得，
所以双曲线的标准方程为.
（2）设，由得，
则，
，
4．【解析】（1）由题意知，右焦点，即，且，
解得，
所以椭圆的方程为.
（2）由（1）知，
当直线的斜率不存在时，即直线的方程为，
易知，所以直线.
令，可知：,
考点冲关
1．【答案】A
【解析】由题意得直线=恒过定点,而点在椭圆=的内部,所以直线与椭圆相交.选A．
2．【答案】D
【解析】∵双曲线的渐近线方程为，∴当﹣1＜k≤1时，直线与双曲线的右支只有1个交点；
当k≤﹣1时，直线与双曲线的右支没有交点.
把代入得，
令，解得k=或k=﹣（舍去）．
∴直线与双曲线的右支有两个交点时，1＜k＜．故选D．
3．【答案】C
【解析】由题意知，AB所在直线的方程为，联立消元得，设，则，
所以，故选C．
4．【答案】B
5．【答案】C
【解析】由题意知直线过点A(a,0),且斜率k=tan 135°=-1,
则直线的方程为x+y-a=0.
将该直线方程分别与两渐近线方程联立,解得B(,),C(,-),
则有,.
因为,所以,
化简得+1,则双曲线的渐近线方程为(+1)x±y=0.故选C.
6．【答案】B
【解析】由题意,a2=4,b2=3,故c===1.
不妨设M(1,y0),N(1,-y0),所以+=1,解得y0=±,
所以|MN|=3,|OM|=|ON|==.
由余弦定理知,故选B.
7．【答案】B
8．【答案】A
【解析】由题意设，所以，整理得；因为的中点坐标为，所以；
因为，所以，所以；
因为，所以．
所以的方程为．故选A．
9．【答案】B
【解析】双曲线的一条渐近线不妨设为：，
则，可得 .
一条渐近线截椭圆所得弦长为，可得，即，解得．故选B．
10．【答案】B
11．【答案】B
【解析】联立方程得，消去y化简得，
由题意得
.
故该椭圆离心率的取值范围是，故选B．
12．【答案】C
是,选C.
13．【答案】C
【解析】由题意可得,直线l的斜率存在且不为0,不妨设直线l:y=k(x-1),
则由消去y化简得,(1+2k2)x2-4k2x+2k2-8=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则由根与系数的关系可得x1+x2=,x1x2=.
因为=2,所以x1+2x2=3,
所以x2=,x1=,
所以x1x2=·,化简得k2=,
解得k=±,故选C.
14．【答案】-1或0
【解析】当k=0时,数形结合知,直线与抛物线有一个公共点;
当k≠0时,将直线方程与抛物线方程联立得,得y2-y-=0,因而Δ=+=0,即k=-1.
从而k=-1或0.
15．【答案】
16．【答案】
【解析】已知双曲线的一条渐近线方程为，
代入抛物线方程，整理得，
∵渐近线与抛物线相切， ，即.
故答案为.
17．【答案】
【解析】设，中点，则，
把点代入椭圆的方程，整理得，
两式相减得，整理得，
即.
18．【答案】(2,-1)
19．【解析】（1）由题意得，所以，
又，所以，，
所以椭圆的方程为．
（2）设，，
将代入，整理得，
所以 ①，，，
又，，
所以，
又，
代入上式，整理得，即，
解得（舍去）或，即，
经验证，能使①成立，
故．
20．【解析】（1）设，
由定义知，，，
故抛物线的方程为.
（2）设，由（1）知.
若直线的斜率不存在，则方程为，
故直线的方程为或.
21．【解析】（1）由实轴长为，得，渐近线方程为，即，
因为焦点到渐近线的距离为，所以，
又，
所以双曲线的方程为．
（2）设，
则，
由，
所以，所以，
又，所以，
所以，所以．
22．【解析】（1）由抛物线的定义得，，解得，
23．【解析】（1）由题意知，，解得．
因此，所求双曲线的方程是，即．
（2）∵直线过点且斜率为，∴直线的方程为．
由得．
∵直线与双曲线有两个不同的交点，∴，
解得．
（3）设直线与双曲线的交点为，由（2）可得，
24．【解析】（1）设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距长分别为、、.
由题设知：.
由，得，则.
∴椭圆的方程为.
（2）过点，斜率为的直线：，即：.
与椭圆的方程联立，消去得①，
由与椭圆有两个不同的交点，知，解得或.
∴的取值范围是.
（3）设、，可知、是①的两根，
∴不存在满足题设条件的.
25．【解析】（1）由的焦点在圆上得，则.
所以抛物线的标准方程为.
由椭圆的上、下焦点及左、右顶点均在圆上，可解得，则，
故椭圆的标准方程为.
（2）设直线的方程为，，，则．
由消去，得，
则，.
由，，得，，
整理得，
故.
故为定值.
26．【解析】（1）易知等轴双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为，
此时直线的方程为，显然过点．
②若直线的斜率存在，设直线的方程为，易知．
设，由得，
则，.（1）
∵，∴，
即，即.
把（1）代入得，则，故.
则直线的方程为，即，
故直线AB过定点．
直通高考
1．【答案】D
2．【答案】D
【解析】因为为等腰三角形，，所以，由的斜率为可得，所以，，由正弦定理得，所以，所以，，故选D．
3．【答案】B
【解析】由题可知双曲线的渐近线的斜率为，且右焦点为，从而可得
，所以直线的倾斜角为或，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，可以得出直线的方程为，分别与两条渐近线和联立，求得，，所以，故选B．
4．【答案】2
【解析】设，，则，所以，所以，取的中点，分别过点，作准线的垂线，垂足分别为，，因为，所以，因为为的中点，所以平行于轴，因为，所以，则，所以．
5．【解析】（1）由题意得，l的方程为．设，
6．【解析】（1）由已知得，l的方程为x=1．
由已知可得，点A的坐标为或，所以AM的方程为或．
（2）当l与x轴重合时，．
当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以．
当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为，，
则，直线MA，MB的斜率之和为．
由得．
将代入得．
所以，则．
从而，故MA，MB的倾斜角互补，所以．
综上，．
7．【解析】（1）设，则．
两式相减，并由得．
由题设知，于是．由题设得，故．
（2）由题意得，设，则．
由（1）及题设得．
又点P在C上，所以，从而，．
于是，同理，
所以，故，即成等差数列．
8．【解析】（1）因为抛物线经过点，
所以，解得，所以抛物线的方程为．
由题意可知直线的斜率存在且不为，设直线的方程为．
由可得．
依题意，解得或．
又，与轴相交，故直线不过点．从而．
9．【解析】（1）因为椭圆C的焦点为，可设椭圆C的方程为．
又点在椭圆C上，所以，解得因此椭圆C的方程为．
因为圆O的直径为，所以其方程为．
（2）①设直线l与圆O相切于，则，
所以直线l的方程为，即．
由消去y，得．（*）
因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，
所以．
因为，所以．因此点P的坐标为．
10．【解析】（1）设椭圆的焦距为2c，由已知有，又由a2=b2+c2，可得2a=3b．
由已知可得，，，由，可得ab=6，
从而a=3，b=2，所以椭圆的方程为．
（2）设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2）．由已知有y1>y2>0，故．又因为，而∠OAB=，故．由，可得5y1=9y2．
由方程组消去x，可得．易知直线AB的方程为x+y–2=0，由方程组消去x，可得．由5y1=9y2，可得5（k+1）=，两边平方，整理得，解得，或．
所以k的值为
11．【解析】（1）设，．
由（1）可得．
所以，解得或．
当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为．
当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半
径为，圆的方程为．
【名师点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况.中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证或说明中点在曲线内部.
12．【解析】（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点．
又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上．
因此，解得，故C的方程为．
而．
由题设，故，
即，解得，
当且仅当时，于是l：，即，
所以l过定点（2，）．
【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况．另外，在设直线方程之前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况，其通法是联立方程，求判别式，利用根与系数的关系，再根据题设关系进行化简．
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