（1）能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.
（2）能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.
（3）掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.
一、两条直线的位置关系
斜截式
一般式
与相交
与垂直
与平行
且
或
与重合
且
注意：（1）当两条直线平行时，不要忘记它们的斜率不存在时的情况；（2）当两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况．
二、两条直线的交点
对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
与的交点坐标就是方程组的解．
（1）方程组有唯一解与相交，交点坐标就是方程组的解；
（2）方程组无解；
（3）方程组有无数解与重合．
三、距离问题
（1）平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|＝．
（2）点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝．
（3）两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离d＝．
四、对称问题
（1）中心对称：点为点与的中点，中点坐标公式为．
（2）轴对称：若点关于直线l的对称点为，则．
考向一 两直线平行与垂直的判断及应用
由两直线平行或垂直求参数的值：在解这类问题时，一定要“前思后想”.“前思”就是在解题前考虑斜率不存在的可能性，是否需要分情况讨论；“后想”就是在解题后，检验答案的正确性，看是否出现增解或漏解.
典例1 若直线与直线平行，则的值为
A． B．
C． D．2
【答案】B
【解析】直线化为，因为与直线平行，
，解得，故选B.
【名师点睛】本题主要考查两直线平行的充要条件，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题.直接根据两直线平行的充要条件，列出关于的方程求解即可.
1．“”是“直线和直线垂直”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考向二 两直线的相交问题
1．两直线交点的求法
求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为点的坐标，即交点的坐标.
2．求过两直线交点的直线方程的方法
求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程.
典例2 已知直线l经过直线2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交点P,且垂直于直线2x+3y+5=0,求直线l的方程.
【答案】直线l的方程为3x-2y-4=0.
因为直线l与直线2x+3y+5=0垂直,所以·(-)=-1,解得λ=1.
故直线l的方程为3x-2y-4=0.
2．已知直线和直线相交于点P(2,3)，则经过点P1(a1，b1)和P2(a2，b2)的直线方程是________.
考向三 距离问题
1.求两点间的距离，关键是确定两点的坐标，然后代入公式即可，一般用来判断三角形的形状等.
2.解决点到直线的距离有关的问题，应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在.
3.求两条平行线间的距离，要先将直线方程中x，y的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解.也可以转化成点到直线的距离问题.
典例3 （1）若点A(2，3)，B(－4，5)到直线l的距离相等，且直线l过点P(－1,2)，则直线l的方程为_________；
（2）若直线m被两直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为，则直线m的倾斜角θ(θ 为锐角)为_________．
【答案】（1）x＋3y－5＝0或x＝－1；（2）15°或75°
3．若动点分别在直线上移动，则的中点到原点的距离的最小值是
A． B．
C． D．
考向四 对称问题
解决对称问题要抓住以下两点：
（1）已知点与对称点的连线与对称轴垂直；（2）以已知点和对称点为端点的线段的中点在对称轴上．
典例4 已知直线l:3x-y+3=0,求:
（1）点P(4,5)关于直线l的对称点的坐标;
（2）直线x-y-2=0关于直线l对称的直线方程.
【答案】（1）(-2,7)；（2）7x+y+22=0.
【解析】设P(x,y)关于直线l:3x-y+3=0的对称点为P'(x',y').
∵kPP'·kl=−1,
4．光线通过点，在直线上反射，反射光线经过点.
（1）求点关于直线对称点的坐标；
（2）求反射光线所在直线的一般式方程．
考向五 直线过定点问题
求解含有参数的直线过定点问题，有两种方法：
（1）任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解.
（2）分项整理，含参数的并为一项，不含参数的并为一项，整理成等号右边为零的形式，然后令含参数的项和不含参数的项分别为零，解方程组所得的解即为所求定点.
典例5 求证：不论m取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标．
【答案】详见解析.
5．已知点，点，直线l：（其中）．
（1）求直线l所经过的定点P的坐标；
（2）若分别过A，B且斜率为的两条平行直线截直线l所得线段的长为，求直线的方程．
1．过两直线3x＋y−1=0与x＋2y−7=0的交点且与第一条直线垂直的直线方程是
A．x−3y＋7=0 B．x−3y＋13=0
C．3x−y＋7=0 D．3x−y−5=0
2．已知为实数,直线,,则“”是“”的
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知倾斜角为α的直线l与直线x+2y-3=0垂直,则cos(-2α)的值为
A． B．-
C．2 D．-
4．若直线l1:x+ay+6=0与l2:(a-2)x+3y+2a=0平行,则两直线间的距离为
A．2 B．2
C． D．
5．直线与直线垂直，垂足为，则
A． B．
C． D．
6．若点到直线的距离为，则
A． B．
C． D．
7．设两条直线的方程分别为，，已知a，b是方程的两个实根，且，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是
A．， B．，
C．， D．，
8．设直线与直线的交点为，分别为上任意两点，点为的中点，若，则的值为
A． B．
C． D．
9．已知三条直线，，不能构成三角形，则实数的取值集合为
A． B．
C． D．
10．已知点P(m,n)到点A(0,4)和B(-8,0)的距离相等,则()m+()n的最小值为
A．-3 B．3
C．16 D．4
11．若直线与直线互相垂直，则实数 .
12．若直线与直线关于直线对称，则直线恒过定点________．
13．若直线与直线的倾斜角相等，则实数 .
14．已知，，若直线与直线互相垂直，则的最大值是__________．
15．若直线与直线之间的距离是，则_________.
16．设是函数图象上的动点，当点到直线的距离最小时，_________.
17．一条光线从)发出，到轴上的点后，经轴反射通过点，则反射光线所在直线的斜率为________．
18．已知l1,l2是分别经过A(2,1),B(0,2)两点的两条平行直线,当l1,l2之间的距离最大时,直线l1的方程是 .
19．已知直线与相交于点
（1）求交点的坐标；
（2）设直线，分别求过点且与直线平行和垂直的直线方程.
20．已知直线.
（1）若，求实数的值；
（2）当时，求直线与之间的距离.
21．已知的三个顶点为、、.
（1）求过点A且平行于BC的直线方程；
（2）求过点B且与A、C距离相等的直线方程.
22．已知两条直线l1:ax-by+4=0和l2:(a-1)x+y-b=0.
（1）若l1⊥l2,且l1过点(-3,-1),求实数a,b的值.
（2）是否存在实数a,b,使得l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等?并说明理由.
23．已知两条直线l1:(a-1)x-2y+b=0,l2:ax+(b-4)y+3=0,其中a>0.若l1⊥l2,且l1过点(1,3).
（1）求l1,l2的方程;
（2）若光线沿直线l1射入,遇到直线x=0后反射,求反射光线所在的直线方程.
24．已知三条直线l1:2x−y+a=0(a>0)，直线l2:4x−2y−1=0和直线l3:x+y−1=0，且l1和l2的距离是.
（1）求a的值.
（2）能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：
①P是第一象限的点；
②P点到l1的距离是P点到l2的距离的；
③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是?
若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由.
变式拓展
【名师点睛】本题主要考查充分条件与必要条件，两条直线垂直与斜率的关系，属于简单题. 对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1）；（2）
，这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.
2．【答案】2x＋3y＝1
【解析】因为P(2,3)在直线l1和l2上，所以，则点和的坐标是方程2x＋3y＝1的解，所以经过点和的直线方程是2x＋3y＝1.
3．【答案】A
【解析】因为,所以的中点的轨迹为直线：，即，
因此到原点的距离的最小值是，故选A.
4．【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）设点关于直线l的对称点为，则，
解得，即点关于直线l的对称点为．
（2）由于反射光线所在直线经过点和，
所以反射光线所在直线的方程为即.
5．【答案】（1）直线l过定点；（2）或．
则所求直线为或．
【名师点睛】本题考查了直线方程过定点问题，平行线间距离及夹角问题，主要是依据图象判断各条直线的位置关系，属于中档题.
（1）根据直线过定点，化简直线方程，得到关于 的表达式，令系数与常数分别为0即可求得过定点的坐标.
（2）根据平行线间距离公式，求得平行线间距离；由倾斜角与直线的夹角关系，求得直线的方程.
考点冲关
1．【答案】B
【解析】由，得，即交点为(−1,4)．∵第一条直线的斜率为−3，
且与所求直线垂直，∴所求直线的斜率为.∴由点斜式方程得所求直线方程是y−4=(x＋1)，即x−3y＋13=0.
2．【答案】A
【名师点睛】（1）本题主要考查充要条件的判断，考查两直线平行的等价条件，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
（2）本题也可以利用下面的结论解答，直线和直线平行，则且两直线不重合,求出参数的值后要代入检验看两直线是否重合.
3．【答案】B
【解析】由题意可知tan α=2,所以cos(-2α)=cos(1 008π+-2α)=-sin 2α=-=-=-.
4．【答案】C
【解析】由l1∥l2知,≠,解得a=-1,所以l1:x-y+6=0,l2:x-y+=0,两条平行直线l1与l2间的距离d=.故选C.
5．【答案】B
【解析】∵直线与直线垂直，∴，∴，
∴直线即为．
将点的坐标代入上式可得，解得．
将点的坐标代入方程得，解得．
∴．
故选B．
【名师点睛】本题考查两直线的位置关系及其应用，考查学生的应用意识及运算能力，解题的关键是灵活运用所学知识解题，即明确点是两直线的交点．根据两直线垂直可得，然后将点的坐标代入直线可得，同理可得，于是可得的值．
6．【答案】B
【解析】由题意得.故选B.
7．【答案】A
【名师点睛】本题考查了平行线之间的距离的求法，函数的最值的求法，考查了计算能力，注意之间的关系，利用其关系进行转化，属于中档题.
8．【答案】A
【解析】根据题意画出图形，如图所示：
直线与直线的交点为，为的中点，
若，则即解得．
故选A．
9．【答案】D
10．【答案】C
【解析】因为点P(m,n)到点A(0,4)和B(-8,0)的距离相等,所以=
,即2m+n=-6,又()m>0,()n>0,所以()m+()n≥2=
2=2=16,当且仅当,即2m=n=-3时取等号.
11．【答案】
【解析】由题得，,解得.故答案为.
12．【答案】
【解析】直线经过定点，点关于直线对称的点为，∴点在直线上，即直线恒过定点，故答案为.
13．【答案】1
【解析】直线的倾斜角相等，则两直线平行或重合，据此有：，求解关于实数的方程可得：.
14．【答案】
【名师点睛】本题主要考查了两直线垂直的条件以及基本不等式，属于中档题.本题使用
基本不等式时，注意凑项，方便使用基本不等式.
15．【答案】0
【解析】直线与直线之间的距离是，
，解得，（负值舍去），则.
故答案为.
【名师点睛】本题主要考查了两条平行直线间的距离公式，理解题目意思，运用公式来求解即可，较为基础.
16．【答案】
【解析】是函数图象上的动点，则点到直线的距离为 ∴当时，取得最小值．
故答案为．
【名师点睛】本题考查了点到直线的距离公式应用问题，是基础题．由点到直线的距离公式求得的关系式，从而求得距离最小时n的值．
17．【答案】−2
【解析】如图所示：
【名师点睛】本题考查的是反射定律，以镜面反射为背景的问题，实质就是对称问题，求解这类问题一般要转化为求对称点的问题，判断点在直线上，是解题的关键.
18．【答案】2x-y-3=0
【解析】由平面几何知识,得当l1⊥AB时,l1,l2之间的距离最大.∵A(2,1),B(0,2),∴kAB=-,=2.
则直线l1的方程是y-1=2(x-2),即2x-y-3=0.
19．【答案】（1）；（2），.
【解析】（1）由 ，得 ，
.
（2）与平行直线方程，即.
与垂直的直线方程，即.
20．【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由知，解得.
（2）当时，有,解得，
，即，
所求距离为=.
【名师点睛】本题考查直线与直线之间的位置关系.解答本题时要注意：
（1）利用直线垂直，结合斜率之间的关系，建立方程，求解实数的值；
（2）利用直线平行，确定参数的值，利用平行直线之间的距离公式，求值计算.
21．【答案】（1）；（2）或.
【名师点睛】本题考查直线的点斜式，考查平行关系的应用，考查分类讨论思想与逻辑思维能力，属于中档题．
22．【答案】（1）a=2,b=2；（2）不存在.
【解析】（1）由已知可得l2的斜率存在,为k2=1-a.
若k2=0,则1-a=0,a=1.
∵l1⊥l2,
∴直线l1的斜率必不存在,即b=0.
又l1过点(-3,-1),
∴-3a+4=0,即a=(矛盾).
∴此种情况不存在,
∴不存在满足条件的实数a,b，使得l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等.
23．【答案】（1）l1,l2的方程分别为l1:x-2y+5=0,l2:2x+y+3=0；（2）x+2y-5=0.
【解析】（1）∵l1过点(1,3),
∴(a-1)-6+b=0. ①
由l1⊥l2,得(a-1)a-2(b-4)=0. ②
联立①②,得a2+a-6=0⇒a=2或a=-3(舍去),
∴a=2,b=5.
∴l1,l2的方程分别为l1:x-2y+5=0,l2:2x+y+3=0.
（2）由,解得入射点A(0,).
取直线x-2y+5=0上一点B(-5,0),点B关于直线x=0的对称点B1(5,0)必在反射线上,
所以直线AB1的方程即为所求的反射光线所在的直线方程,
由y-0=(x-5),整理得x+2y-5=0.
即反射光线所在的直线方程为x+2y-5=0.
24．【答案】（1）3；（2）P().
【名师点睛】本题考查了直线与直线的平行关系、平行线间的距离、点到直线的距离等，关键计算量比较大，注意不要算错，属于中档题.
（1）根据两条直线是平行关系，利用两条平行线的距离公式即可求得a的值.
（2）根据点到直线的距离公式，讨论当P点满足②与③两种条件下求得参数的取值，并注意最后结果的取舍.
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