理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.
·公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内.
·公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.
·公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
·公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
·定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.
一、平面的基本性质及应用
1．平面的基本性质
名称
图形
文字语言
符号语言
公理1
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内
Al，Bl，且Aα，Bα⇒l⊂α
公理2
过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使Aα，Bα，Cα
公理2的推论
推论1
经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面
若点直线a，则A和a确定一个平面
推论2
经过两条相交直线，有且只有一个平面
⇒有且只有一个平面，使，
推论3
经过两条平行直线，有且只有一个平面
⇒有且只有一个平面，使，
公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
Pα，且Pβ⇒α∩β=l，Pl，且l是唯一的
公理4
———l1
———l2
———l
平行于同一条直线的两条直线互相平行
l1∥l，l2∥l⇒l1∥l2
2．等角定理
（1）自然语言：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.
（2）符号语言： 如图（1）、（2）所示，在∠AOB与∠A′O′B′中，，则或.
图（1） 图（2）
二、空间两直线的位置关系
1．空间两直线位置关系的分类
空间中两条直线的位置关系有以下两种分类方式：
（1）从有无公共点的角度分类：
（2）从是否共面的角度分类：
【注意】异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.
2．异面直线所成的角
（1）异面直线所成角的定义
如图,已知两异面直线a,b,经过空间任一点O,分别作直线a′∥a,b′∥b,相交直线a′，b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）.
（2）异面直线所成角的范围
异面直线所成的角必须是锐角或直角，异面直线所成角的范围是.
（3）两条异面直线垂直的定义
如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a,b,记作a⊥b.
三、空间直线与平面、平面与平面的位置关系
1．直线与平面、平面与平面位置关系的分类
（1）直线和平面位置关系的分类
①按公共点个数分类：
②按是否平行分类：
③按直线是否在平面内分类：
（2）平面和平面位置关系的分类
两个平面之间的位置关系有且只有以下两种：
（1）两个平面平行——没有公共点；
（2）两个平面相交——有一条公共直线.
2．直线与平面的位置关系的符号表示和图形表示
图形语言
符号语言
公共点
直线与平面相交
1个
直线与平面平行
0个
直线在平面内
无数个
平面与平面平行
0个
平面与平面相交
无数个
3．常用结论
（1）唯一性定理
①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
②过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
③过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
④过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
（2）异面直线的判定方法
经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．
考向一 平面的基本性质及应用
（1）证明点共线问题，就是证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是公理3.常用方法有：
①首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3知这些点都在这两个平面的交线上；
②选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上.
（2）证明三线共点问题，一般先证明待证的三条直线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该点.常结合公理3，证明该点在不重合的两个平面内，故该点在它们的交线（第三条直线）上，从而证明三线共点.
（3）证明点或线共面问题，主要有两种方法：
①首先由所给条件中的部分线（或点）确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内；
②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合.
典例1 （1）在下列命题中，不是公理的是
A．平行于同一个平面的两个平面相互平行
B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内
D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
（2）给出以下四个命题：
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；
③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面.
其中正确命题的个数是
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】（1）A （2）B
1．如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AA1的中点.
求证：（1）E,C,D1,F四点共面；
（2）CE,D1F,DA三线共点.
考向二 空间线面位置关系的判断
两条直线位置关系判断的策略：
(1)异面直线的判定常用到的是反证法，先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．
(2)点、线、面之间的位置关系可借助正方体为模型，以正方体为主线，直观感知并认识空间点、线、面的位置关系，准确判定线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直．
(3)对于异面直线的条数问题，可以根据异面直线的定义逐一排查.
典例2 如图，在正方体中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：
①直线AM与CC1是相交直线； ②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线； ④直线AM与DD1是异面直线．
其中正确的结论为
A．③④ B．①②
C．①③ D．②④
【答案】A
故选A．
2．若直线l与平面α相交，则
A．平面α内存在直线与l异面
B．平面α内存在唯一一条直线与l平行
C．平面α内存在唯一一条直线与l垂直
D．平面α内的直线与l都相交
典例3 如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,B1C1的中点.问:
（1）AM和CN是否是异面直线?说明理由.
（2）D1B和CC1是否是异面直线?说明理由.
3．如图，平面,且，求证:b,c是异面直线.
考向三 异面直线所成的角
求异面直线所成的角的常见策略：
(1)求异面直线所成的角常用平移法．
平移法有三种类型，利用图中已有的平行线平移，利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移，利用补形平移．
(2)求异面直线所成角的步骤
①一作：即根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；
②二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；
③三求：解三角形，求出作出的角．
如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.
(3)判定空间两条直线是异面直线的方法
①判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．
②反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．
典例4 如图，四棱锥中，，，和都是等边三角形，则异面直线和所成角的大小为
A． B．
C． D．
【答案】A
则，所以，故选A.
【方法点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征及空间中异面直线所成角的求解，其中根据空间几何体的结构特征，把空间中异面直线和所成的角转化为平面角，放置在三角形中，利用解三角形的知识求解是解答本题的关键，着重考查了转化与化归思想和学生的推理、运算能力，试题属于基础题.
4．如图,已知棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1,设M,N分别是A1B1,BC的中点.
（1）求MN与A1C1所成角的正切值;
（2）求B1D与A1C1所成角的大小.
1．在正方体中，与成异面直线的棱共有
A．条 B．条
C．条 D．条
2．下面四个条件中，能确定一个平面的条件是
A．空间中任意三点 B．空间中两条直线
C．一条直线和一个点 D．两条平行直线
3．已知直线平面,直线平面,则
A． B．异面
C．相交 D．无公共点
4．若直线aα,给出下列结论：
①α内的所有直线与a异面； ②α内的直线与a都相交；
③α内存在唯一的直线与a平行； ④α内不存在与a平行的直线
其中成立的个数是
A．0 B．1
C．2 D．3
5．如图,在四面体中,若直线和相交,则它们的交点一定
A．在直线上 B．在直线上
C．在直线上 D．都不对
6．在空间中,下列命题正确的是
A．若平面内有无数条直线与直线l平行,则
B．若平面内有无数条直线与平面平行,则
C．若平面内有无数条直线与直线l垂直,则
D．若平面内有无数条直线与平面垂直,则
7．给出下列四种说法:
①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点； ②一条直线和一个点确定一个平面；
③若四点不共面, 则每三点一定不共线； ④三条平行线确定三个平面．
正确说法的个数为
A．1 B．2
C．3 D．4
8．已知为异面直线,平面平面，直线满足,则
A．且 B．且
C．与相交,且交线垂直于 D．与相交,且交线平行于
9．若空间中四条两两不同的直线，满足，，，则下列结论一定正确的是
A． B．
C．与既不垂直也不平行 D．与的位置关系不确定
10．在如图所示的正方体中分别是棱的中点,则异面直线与所成角的余弦值为
A． B．
C． D．
11．已知在正方体中（如图），平面，且与不平行，则下列一定不可能的是
A．l与AD平行 B．l与AB异面
C．l与CD所成的角为30° D．l与BD垂直
12．在空间四边形中，分别是的中点.若，且与所成的角为，则四边形的面积为
A． B．
C． D．
13．我国古代《九章算术》里，记载了一个例子：今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺，问积几何？”该问题中的羡除是如图所示的五面体，其三个侧面皆为等腰梯形，两个底面为直角三角形，其中尺，尺，尺，间的距离为尺，间的距离为尺，则异面直线与所成角的正弦值为
A． B．
C． D．
14．如图是正四面体的平面展开图，分别是的中点，在这个正四面体中：①与平行；②与为异面直线；③与成60°角；④与垂直.以上四个命题中，正确命题的个数是
A．1 B．2
C．3 D．4
15．若直线和平面平行,且直线,则两直线和的位置关系为 _____ .
16．如图所示，是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，给出下列结论：
①A、M、O三点共线；②A、M、O、A1不共面；③A、M、C、O共面；④B、B1、O、M共面．
其中正确结论的序号为____________．
17．已知m,n是两条不同的直线，,β是两个不同的平面,给出下列命题:
①若⊥β,∩β=m,n⊥m,则n⊥α或n⊥β;
②若α∩β=m,n//α,n//β,则n//m ;
③若m不垂直于平面α,则m不可能垂直于α内的无数条直线;
④若m⊥α,n⊥β, α//β,则m//n .
其中正确的是__________.(填上所有正确的序号)
18．在四面体中,分别是的中点,若所成的角为,且,则的长度为__________.
19．如图，已知四棱锥中，底面为菱形，分别是的中点，在上，且.
证明:点四点共面.
20．已知空间四边形ABCD中,E,H分别是边AB,AD的中点,F,G分别是边BC,CD的中点.
(1)求证:BC与AD是异面直线;
(2)求证:EG与FH相交.
21．如图,等腰直角三角形ABC中,∠A＝90°,BC＝,DA⊥AC,DA⊥AB,若DA＝1,且E为DA的中点.求异面直线BE与CD所成角的余弦值.
1．（2018新课标全国Ⅱ理科）在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为
A． B．
C． D．
2．（2017新课标全国Ⅱ理科）已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为
A． B．
C． D．
3．（2015安徽理科）已知，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题正确的是
A．若，垂直于同一平面，则与平行
B．若，平行于同一平面，则与平行
C．若，不平行，则在内不存在与平行的直线
D．若，不平行，则与不可能垂直于同一平面
4．（2016新课标全国Ⅰ理科）平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，//平面CB1D1，平面ABCD=m，平面ABB1 A1=n，则m，n所成角的正弦值为
A． B．
C． D．
5．(2017新课标全国Ⅲ理科) a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；
②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；
③直线AB与a所成角的最小值为45°；
④直线AB与a所成角的最大值为60°.
其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）
6．（2015浙江理科）如图，三棱锥中，，点分别是的中点，则异面直线，
所成的角的余弦值是 ．
7．（2016上海理科）将边长为1的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧.
（1）求三棱锥的体积；
（2）求异面直线与所成的角的大小.
变式拓展
1．【解析】（1）如图,连接EF,CD1,BA1.
因为E,F分别是AB,AA1的中点,所以EF∥BA1.
又BA1∥CD1,所以EF∥CD1.
所以E,C,D1,F四点共面.
（2）因为EF∥CD1,EF
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