1．空间向量及其运算
（1）了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.
（2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.
（3）掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.
2．空间向量的应用
（1）理解直线的方向向量与平面的法向量.
（2）能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.
（3）能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）.
（4）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.
一、空间直角坐标系及有关概念
1．空间直角坐标系
定义
以空间一点为原点，具有相同的单位长度，给定正方向，建立两两垂直的数轴：x轴、y轴、z轴，建立了一个空间直角坐标系
坐标原点
点O
坐标轴
x轴、y轴、z轴
坐标平面
通过每两个坐标轴的平面
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系，如图所示.
2．空间一点M的坐标
（1）空间一点M的坐标可以用有序实数组来表示，记作，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标.
（2）建立了空间直角坐标系后，空间中的点M与有序实数组可建立一一对应的关系．
3．空间两点间的距离公式、中点公式
（1）距离公式
①设点，为空间两点，
则两点间的距离.
②设点，
则点与坐标原点O之间的距离为.
（2）中点公式
设点为，的中点，则.
4．空间向量的有关概念
名称
定义
空间向量
在空间中，具有大小和方向的量
单位向量
长度(或模)为1的向量
零向量
长度(或模)为0的向量
相等向量
方向相同且模相等的向量
二、空间向量的有关定理及运算
1.共线向量定理
对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.
牢记两个推论：
（1）对空间任意一点O，点P在直线AB上的充要条件是存在实数t，使或（其中）.
（2）如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使，其中向量叫做直线l的方向向量，该式称为直线方程的向量表示式.
2.共面向量定理
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使.
牢记推论：空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使；或对空间任意一点O，有.
3.空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量.
注意：（1）空间任意三个不共面的向量都可构成基底.
（2）基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示.
（3）不能作为基向量.
4.空间向量的运算
（1）空间向量的加法、减法、数乘及数量积运算都可类比平面向量.
（2）空间向量的坐标运算
设，则，
，，
，
，
，
.
三、利用空间向量解决立体几何问题
1.直线的方向向量和平面的法向量
（1）直线的方向向量就是指和这条直线平行(或共线)的向量，记作，显然一条直线的方向向量可以有无数个.
（2）若直线，则该直线的方向向量即为该平面的法向量，平面的法向量记作,有无数多个，任意两个都是共线向量.
平面法向量的求法：设平面的法向量为.在平面内找出（或求出）两个不共线
的向量，根据定义建立方程组，得到，通过赋值，取其中一组解，得到平面的法向量.
2.利用空间向量表示空间线面平行、垂直
设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为.
（1）线线平行：若，则；
线面平行：若，则；
面面平行：若，则.
（2）线线垂直：若，则；
线面垂直：若，则；
面面垂直：若，则.
3.利用空间向量求空间角
设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为.
（1）直线所成的角为，则，计算方法：；
（2）直线与平面所成的角为，则，计算方法：；
（3）平面所成的二面角为，则，
如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝．
如图②③，分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大
小θ满足|cosθ|＝，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．
4.利用空间向量求距离
（1）两点间的距离
设点，为空间两点，
则两点间的距离.
（2）点到平面的距离
如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为.
考向一 空间直角坐标系
对于空间几何问题，可以通过建立空间直角坐标系，把空间中的点用有序实数组(即坐标)表示出来,通过坐标的代数运算解决空间几何问题，实现了几何问题(形)与代数问题(数)的结合.
典例1 如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为________.
【答案】
【解析】 如图所示，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，因为的坐标为，所以,所以.
1．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C中点，求M、N两点间的距离．
考向二 共线、共面向量定理的应用
1.判断两非零向量平行，就是判断是否成立，若成立则共线，若不成立则不共线.
2.证明空间三点P、A、B共线的方法：
①(λ∈R)；
②对空间任一点O，(t∈R)；
③对空间任一点O，．
3.证明空间四点P、M、A、B共面的方法：
①；
②对空间任一点O，；
③对空间任一点O，(x＋y＋z＝1)；
④(或或).
典例2 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且=2，F在体对角线A1C上，且.求证：E,F,B三点共线.
【解析】设=a,=b,=c.
∵=2,,
∴b,(-)=(+-)=a+b-c.
∴a-b-c=(a-b-c).
又++=-b-c+a=a-b-c,
∴.
∴E,F,B三点共线.
2．如图，已知、、、、、、、、为空间中的个点，且，，，，，，.
求证：（1）、、、四点共面，、、、四点共面；
（2）；
（3）.
考向三 利用向量法证明平行问题
1.证明线线平行：证明两条直线的方向向量平行.
2.证明线面平行：
（1）该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；
（2）证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；
（3）证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示.
3.证明面面平行：两个平面的法向量平行.
典例3 如图,已知长方体ABCD－A1B1C1D1中,E、M、N分别是BC、AE、CD1的中点,AD＝AA1＝a,AB＝2a.求证：MN∥平面ADD1A1.
【解析】以D为坐标原点,分别以DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(a,0,0),B(a,2a,0),C(0,2a,0),D1(0,0,a),E(a,2a,0),
∵M、N分别为AE、CD1的中点,
∴M(a,a,0),N(0,a,).∴.
取n＝(0,1,0),显然n⊥平面A1D1DA,且·n＝0,
∴⊥n.
又MN⊄平面ADD1A1，∴MN∥平面ADD1A1.
3．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：
（1）FC1∥平面ADE；
（2）平面ADE∥平面B1C1F.
考向四 利用向量法证明垂直问题
1.线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零．
2.线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示．
3.面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示．
典例4 如图,已知正四棱锥V-ABCD中,E是VC的中点, 正四棱锥的侧面VBC为正三角形.求证:平面VAC⊥平面EBD.
【解析】如图，以V在底面ABCD内的射影O为坐标原点,建立空间直角坐标系O-xyz,
设VB=VC=BC=2a,在中,VO=a,
∴V(0,0,a),A(a,0,0),C(-a,0,0),B(0, a,0),D(0,-a,0),E(a,0,a),
则=(a,a,a),=(0,-2a,0),=(-a,0,-a).
∵·=a2+0-a2=0,·=0,
∴⊥,⊥,即DE⊥VC,BD⊥VC.
∵DE∩BD=D,
∴VC⊥平面EBD.
又平面VAC,
∴平面VAC⊥平面EBD.
典例5 如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.
求证:（1）AE⊥CD;
（2）PD⊥平面ABE.
【解析】（1）易知AB,AD,AP两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系.
设PA=AB=BC=1,则A(0,0,0),B(1,0,0),P(0,0,1).
∵∠ABC=60°,
∴△ABC为正三角形,
∴C(,,0),E(,,).
设D(0,y0,0),由AC⊥CD,得·=0,即(,,0)·(-,y0-,0)=0,解得y0=,
∴D(0,,0),
∴=(,,0).
又=(,,),
∴·=-++0=0,
∴⊥,即AE⊥CD.
（2）方法一：由（1）知=(0,,-1),
∴·=0++×(-1)=0,
∴⊥,即PD⊥AE.
∵=(1,0,0),∴·=0,
∴PD⊥AB.
又AB∩AE=A,
∴PD⊥平面ABE.
方法二：由（1）知=(1,0,0),=(,,).
设平面ABE的法向量为n=(x,y,z),则n·=0,n·=0,得,
令y=2,则z=-,
∴平面ABE的一个法向量为n=(0,2,-).
∵=(0,,-1),显然n,
∴∥n,
∴⊥平面ABE,即PD⊥平面ABE.
4．如图，正方体中，，，分别为，，的中点.
（1）证明：；
（2）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.
考向五 用向量法求空间角
1.用向量法求异面直线所成的角
（1）建立空间直角坐标系；
（2）求出两条直线的方向向量；
（3）代入公式求解，一般地，异面直线AC，BD的夹角β的余弦值为.
2.用向量法求直线与平面所成的角
（1）分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；
（2）通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．
3.用向量法求二面角
求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．
典例6 如图,在五棱锥中,PA⊥平面ABCDE,,∠DEA=
∠EAB=∠ABC=90°.
（1）求二面角的大小;
（2）求直线PC与平面PDE所成角的正弦值.
【解析】由题可知,以AB、AE、AP分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示.
则.
设平面PDE的法向量为,又=(1,0,0),=(0,-2,2).
由,得,令y=1,得.
（1）由于PA⊥平面ABCDE,则平面ADE的一个法向量为=(0,0,2),
于是cos===,
所以=45°,
则二面角的大小为45°.
（2）由于=(2,1,-2),
所以cos===.
故PC与平面PDE所成角的正弦值为.
典例7 如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF＝AB＝BC＝FE＝AD.
（1）求异面直线BF与DE所成角的大小；
（2）证明：平面AMD⊥平面CDE；
（3）求二面角A－CD－E的余弦值.
【解析】如图所示，建立空间直角坐标系A－xyz.
设AB＝1，依题意得B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，E(0,1,1)，F(0,0,1)，M(，1，).
（1）＝(－1,0,1)，＝(0，－1,1)，
于是cos〈，〉＝＝＝，
所以异面直线BF与DE所成角的大小为60°.
（2）由＝(，1，)，＝(－1,0,1)，＝(0,2,0)，可得·＝0，·＝0.
因此，CE⊥AM，CE⊥AD.
又AD∩AM＝A，
故CE⊥平面AMD.
而CE⊂平面CDE，
所以平面AMD⊥平面CDE.
（3）设平面CDE的法向量为u＝(x，y，z)，则，于是，
令x＝1，可得u＝(1,1,1).
又由题设，可知平面ACD的一个法向量为v＝(0,0,1).
所以cos〈u，v〉＝＝＝.
因为二面角A－CD－E为锐角，
所以其余弦值为.
5．如图，在斜三棱柱中，底面是边长为的正三角形，，，.
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的正弦值.
考向六 用向量法求空间距离
1.空间中两点间的距离的求法
两点间的距离就是以这两点为端点的向量的模．因此，要求两点间的距离除使用距离公式外，还可转化为求向量的模.
2. 求点P到平面α的距离的三个步骤：
（1）在平面α内取一点A，确定向量的坐标．
（2）确定平面α的法向量n.
（3）代入公式求解．
典例8 如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=5,AB=12,则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是
A．5 B．
C． D．8
【答案】C
【解析】∵B1C1∥BC,且平面A1BCD1,平面A1BCD1,∴B1C1∥平面A1BCD1，从而点B1到平面A1BCD1的距离为所求距离.
方法一：过点B1作B1E⊥A1B于点E.∵BC⊥平面A1ABB1,且B1E平面A1ABB1,∴BC⊥B1E.
又BC∩A1B=B,∴B1E⊥平面A1BCD1.在中,B1E=,
∴直线B1C1到平面A1BCD1的距离为.
方法二：以D为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则C(0,12,0),D1(0,0,5),
设B(x,12,0),B1(x,12,5)(x≠0),平面A1BCD1的法向量为n=(a,b,c),
由n⊥,n⊥,得n·=(a,b,c)·(-x,0,0)=-ax=0,∴a=0,n·=(a,b,c)·(0,-12,5)=-12b+5c=0,∴b=c,令c=12,则b=5,∴n=(0,5,12)为平面A1BCD1的一个法向量.
又=(0,0,-5),∴点B1到平面A1BCD1的距离d=.
典例9 如图,直三棱柱中,AC=BC=1,AA1=3,∠ACB=90°,D为CC1上的点,二面角的余弦值为.
（1）求证:CD=2;
（2）求点A到平面的距离.
【解析】（1）以C为坐标原点，分别以CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则.设.
m=(1,1,0)是平面的一个法向量,设是平面的法向量.
=(1,0,3-a),=(0,1,-a),由·n=0,·n=0,得,,
取,得,,即.
由题设,知,解得a=2或a=1,
所以DC=2或DC=1.
但当DC=1时,显然二面角为锐角,故舍去.
综上,DC=2.
（2）由（1）,知n=(1,-2,-1)为平面的一个法向量,
又=(0,0,3),所以点A到平面的距离d==.
6．如图，在四棱锥O−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA=2，M，N，R分别为OA，BC，AD的中点，求直线MN与平面OCD的距离及平面MNR与平面OCD的距离.
7．如图，在四棱锥中，底面为正方形，是中点．
（1）求点到平面的距离；
（2）求二面角的余弦值．
考向七 用向量法求立体几何中的探索性问题
1.通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能推导出与条件吻合的数据或事实，说明假设成立，即存在，并可进一步证明；若推导出与条件或实际情况相矛盾的结论，则说明假设不成立，即不存在．
2.探索线段上是否存在点时，注意三点共线条件的应用，这样可减少坐标未知量．
典例10 如下图所示,三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,BC⊥AC,BC=AC=2,AA1=3,D为AC的中点.
（1）求二面角C1-BD-C的余弦值;
（2）在侧棱AA1上是否存在点P,使得CP⊥平面BDC1?并证明你的结论.
【解析】（1）建立如下图所示的空间直角坐标系,
则C1(0,0,0),B(0,3,2),C(0,3,0),A(2,3,0),D(1,3,0),所以(0,3,2),(1,3,0).
设n=(x1,y1,z1)是平面BDC1的法向量,则
所以，令x1=1,得n=(1,,)是平面BDC1的一个法向量,
易知(0,3,0)是平面ABC的一个法向量,
所以cos
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