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2.3.1 直线与平面垂直的判定
[基础巩固](25 分钟，60 分)
一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)
1．已知直线 l⊥α，α∥β，则( )
A．l∥β B．lβ
C．l⊥β D．以上均有可能
解析：由于 α∥β，则平面 β 内存在两条相交直线 m，n 分别平行于平面 α 内两条相
交直线 a，b，又 l⊥α，则 l⊥a，l⊥b，所以 l⊥m，l⊥n，所以 l⊥β.
答案：C
2．直线 l⊥平面 α，直线 m⊂α，则 l 与 m 不可能( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．垂直
解析：若 l∥m，则 l⊄α，∵m⊂α，∴l∥α，这与已知 l⊥α 矛盾，所以直线 l 与 m
不可能平行．
答案：A
3．已知直线 a、b 和平面 α，下列推理中错误的是( )
A.Error!⇒a⊥b B.Error!⇒b⊥α
C.Error!⇒a∥α 或 a⊂α D.Error!⇒a∥b
解析：当a∥α，b∥α 时，a 与 b 可能平行，也可能相交或异面，即 D 推理错误．故选
D.
答案：D
4．ABCD－A1B1C1D1 为正方体，下列结论错误的是( )
A．BD∥平面 CB1D1 B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面 CB1D1 D．AC1⊥BD1
解析：正方体中 BD∥B1D1，可知选项 A 正确；
由 BD⊥AC，BD⊥CC1 可得 BD⊥平面 ACC1；- 2 -
从而 BD⊥AC1，即选项 B 正确；
由以上可得 AC1⊥B1D1，同理 AC1⊥D1C，
因此 AC1⊥平面 CB1D1，即选项 C 正确；
由于四边形 ABC1D1 不是菱形，
所以 AC1⊥BD1 不正确．选 D.
答案：D
5．如图所示，若斜线段 AB 是它在平面 α 上的射影 BO 的 2 倍，则 AB 与平面 α 所成的
角是( )
A．60° B．45°
C．30° D．120°
解析：∠ABO 即是斜线 AB 与平面 α 所成的角，
在 Rt△AOB 中，AB＝2BO，
所以 cos∠ABO＝
1
2，
即∠ABO＝60°.
答案：A
二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)
6．在三棱锥 P－ABC 中，最多有________个直角三角形．
解析：不妨设 PA⊥AB，PA⊥AC，则△APB，△PAC 为直角三角形，由线面垂直的判定定
理，可得 PA⊥面 ABC，由线面垂直的定义，可知 PA⊥BC，若∠ABC＝90°，则 BC⊥AB，∴BC⊥
面 PAB，即∠PBC＝90°，∴△ABC，△PBC 为直角三角形，故直角三角形最多有 4 个．
答案：4
7．有下列四种说法，正确的序号是________．
①过空间一点有且只有一条直线与已知平面垂直；②已知两条不重合的直线 m，n 和平
面 α，若 m⊥n，m⊥α，则 n∥α；③a，b，l 表示三条不同的直线，α 表示平面，若 a⊂α，
b⊂α，l⊥a，l⊥b，则 l⊥α；④若直线 a 不平行于平面 α，则直线 a 垂直于平面 α.
解析：①正确；对于②，若直线 n⊂α，也可满足 m⊥n，m⊥α，此时 n∥α 不正确；对- 3 -
于③，只有 a，b 相交时，才成立，否则不成立；④显然错误，因为不平行时可以相交，而垂
直只是相交的一种特殊情况．故只有①正确．
答案：①
8．在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝ 2，BC＝AA1＝1，则 BD1 与平面 A1B1C1D1 所成的角
的大小为________．
解析：如图所示，连接 B1D1，则 B1D1 是 BD1 在平面 A1B1C1D1 上的射影，则∠BD1B1 是 BD1
与平面 A1B1C1D1 所成的角．
在 Rt△BD1B1 中，
tan∠BD1B1＝
BB1
B1D1＝
1
3＝
3
3 ，
则∠BD1B1＝30°.
答案：30°
三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)
9．如图，在四棱锥 S－ABCD 中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面 SAB 为等边三角形，AB＝BC＝
2，CD＝SD＝1.求证：SD⊥平面 SAB.
证明：∵AB∥CD，BC⊥CD，AB＝BC＝2，CD＝1，
∴底面 ABCD 为直角梯形，
AD＝ 2－12＋22＝ 5.
∵侧面 SAB 为等边三角形，∴SA＝SB＝AB＝2.
又 SD＝1，∴AD2＝SA2＋SD2，
∴SD⊥SA.
连接 BD，则 BD＝ 22＋12＝ 5，∴BD2＝SD2＋SB2，
∴SD⊥SB.
又 SA∩SB＝S，∴SD⊥平面 SAB.- 4 -
10．如图所示，已知 AB 为圆 O 的直径，且 AB＝4，点 D 为线段 AB 上一点，且 AD＝
1
3DB，
点 C 为圆 O 上一点，且 BC＝ 3AC.点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D，PD＝DB.
(1)求证：CD⊥平面 PAB；
(2)求直线 PC 与平面 PAB 所成的角．
解析：(1)证明：连接 CO，由 3AD＝DB 知，点 D 为 AO 的中点．
又因为 AB 为圆 O 的直径，所以 AC⊥CB.
由 3AC＝BC 知，
∠CAB＝60°，
所以△ACO 为等边三角形．故 CD⊥AO.
因为点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D，所以 PD⊥平面 ABC，
又 CD⊂平面 ABC，所以 PD⊥CD，
由 PD⊂平面 PAB，AO⊂平面 PAB，且 PD∩AO＝D，得 CD⊥平面 PAB.
(2)由(1)知∠CPD 是直线 PC 与平面 PAB 所成的角，
又△AOC 是边长为 2 的正三角形，
所以 CD＝ 3
在 Rt△PCD 中，PD＝DB＝3，CD＝ 3，
所以 tan∠CPD＝
CD
PD＝
3
3 ，∠CPD＝30°，
即直线 PC 与平面 PAB 所成的角为 30°.
[能力提升](20 分钟，40 分)- 5 -
11．[2019·淮安一中月考]在四面体 P－ABC 中，PA＝PB＝PC＝AB＝BC＝CA，D，E，F 分
别为 AB，BC，CA 的中点，下列结论中不成立的是( )
A．BC∥平面 PDF
B．BC⊥平面 PAE
C．DF⊥平面 PAE
D．AE⊥平面 APC
解析：因为 D，F 分别为 AB，AC 的中点，
所以 DF∥BC，故 BC∥平面 PDF，故 A 项正确．
又 AB＝AC，PB＝PC，E 为 BC 的中点，
所以 AE⊥BC，PE⊥BC，所以 BC⊥平面 PAE，
又 DF∥BC，所以 DF⊥平面 PAE，故 B、C 项正确．
由于 AE 与 AP 不垂直(否则，等腰三角形 PAE 将有两个直角)，故 AE 与平面 APC 不垂
直．选 D.
答案：D
12．已知点 O 为三棱锥 P－ABC 的顶点 P 在平面 ABC 内的射影，若 PA＝PB＝PC，则 O 为
△ABC 的________心；若 PA⊥BC，PB⊥AC，则 O 为△ABC 的________心；若 P 到三边 AB，BC，
CA 的距离都相等且点 O 在△ABC 的内部，则 O 为△ABC 的________心．
解析：因为 PA＝PB＝PC，
所以 OA＝OB＝OC，O 是△ABC 的外心；
若 PA⊥BC，又 PO⊥平面 ABC，
所以 BC⊥PO.
所以 BC⊥平面 PAO.
所以 BC⊥AO.
同理 AC⊥OB.
所以 O 是△ABC 的垂心．
若 P 到 AB，BC 边的距离相等，则易知 O 到 AB，BC 边的距离也相等，从而可判定 O 是△ABC
的内心．
答案：外 垂 内
13.- 6 -
如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA⊥平面 ABCD，AP＝AB＝2， BC＝
2 2，E，F 分别是 AD，PC 的中点．求证：PC⊥平面 BEF.
证明：连接 PE，EC.
∵PA⊥平面 ABCD.
∴PA⊥AD，PA⊥AB.
在 Rt△PAE，Rt△CDE 中，
PA＝AB＝CD，AE＝DE，
∴PE＝CE，即△PEC 是等腰三角形．
又 F 是 PC 的中点，∴EF⊥PC.
又 BP＝ AP2＋AB2＝2 2＝BC，F 是 PC 的中点，
∴BF⊥PC.
又 BF∩EF＝F，∴PC⊥平面 BEF.
14．如图，在四棱锥 P－ABCD 中，AD⊥平面 PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝
4，PD＝2.
(1)求异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值；
(2)求证：PD⊥平面 PBC；
(3)求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值．
解析：(1)如图所示，由于 AD∥BC，故∠DAP 或其补角即为异面直线 AP 与 BC 所成的
角．
因为 AD⊥平面 PDC，直线 PD⊂平面 PDC，所以 AD⊥PD.- 7 -
在 Rt△PDA 中，由已知，得 AP＝ AD2＋PD2＝ 5，
故 cos∠DAP＝
AD
AP＝
5
5 .
所以，异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值为
5
5 .
(2)证明：因为 AD⊥平面 PDC，PD⊂平面 PDC，所以 AD⊥PD.
又 BC∥AD，所以 PD⊥BC，又 PD⊥PB，BC∩PB＝B，所以 PD⊥平面 PBC.
(3)过点 D 作 AB 的平行线交 BC 于点 F，连接 PF，则 DF 与平面 PBC 所成的角等于 AB 与
平面 PBC 所成的角．
因为 PD⊥平面 PBC，故 PF 为 DF 在平面 PBC 内的射影，所以∠DFP 为直线 DF 和平面 PBC
所成的角．
由于 AD∥BC，DF∥AB，
故四边形 DABF 为平行四边形，故 BF＝AD＝1，
由已知，得 CF＝BC－BF＝2.
又 AD⊥DC，AD∥BC，故 BC⊥DC.
在 Rt△DCF 中，可得 DF＝ CD2＋CF2＝2 5，在 Rt△DPF 中，可得 sin∠DFP＝
PD
DF＝
5
5 .
所以，直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值为
5
5 .
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