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4.2.1 直线与圆的位置关系
[基础巩固](25 分钟，60 分)一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)
1．[2019·衡水检测]直线 y＝x＋1 与圆 x2＋y2＝1 的位置关系是( )
A．相切 B．相交但直线不过圆心
C．相交且直线过圆心 D．相离
解析：∵圆心到直线的距离 d＝
1
1＋1＝
2
2 0，
解得 k>0.
又 x1＋x2＝－
10k1－k
k2＋1 ，x1x2＝
25kk－2
k2＋1 ，
由斜率公式，得 y1－y2＝k(x1－x2)，
∴|AB|＝ x1－x22＋y1－y22
＝ 1＋k2x1－x22
＝ 1＋k2[x1＋x22－4x1x2]
＝ 1＋k2[100k21－k2
k2＋12 －4·
25kk－2
k2＋1 ]
＝4 5.
两边平方，整理得 2k2－5k＋2＝0，
解得 k＝
1
2或 k＝2 符合题意．
故直线 l 的方程为 x－2y＋5＝0 或 2x－y－5＝0.
方法二 - 4 -
如图所示，|OH|是圆心到直线 l 的距离，|OA|是圆的半径，|AH|是弦长|AB|的一半．
在 Rt△AHO 中，|OA|＝5，
|AH|＝
1
2|AB|
＝
1
2×4 5＝2 5，
∴|OH|＝ |OA|2－|AH|2＝ 5，
∴
|51－k|
k2＋1 ＝ 5，
解得 k＝
1
2或 k＝2.
∴直线 l 的方程为 x－2y＋5＝0 或 2x－y－5＝0.
[能力提升](20 分钟，40 分)
11．已知点 M(a，b)在圆 O：x2＋y2＝1 外，则直线 ax＋by＝1 与圆 O 的位置关系是( )
A．相切 B．相交
C．相离 D．不确定
解析：由点M 在圆外，得 a2＋b2>1，∴圆心 O 到直线 ax＋by＝1 的距离 d＝
1
a2＋b20)及直线 l：x－y＋
3＝0，当直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2 3时，则 a 等于________．
解析：由题可得
|a－2＋3|
12＋－12＝ 4－ 32，得 a＝ 2－1 或 a＝－ 2－1(舍
去)．
答案： 2－1
13．已知直线 kx－y＋6＝0 被圆 x2＋y2＝25 所截得的弦长为 8，求 k 的值．
解析：解法一 设直线kx－y＋6＝0 被圆 x2＋y2＝25 所截得的弦为 AB，其中点为 C，连
接 OC，则△OCB 为直角三角形．因为圆的半径为|OB|＝5，半弦长为
|AB|
2 ＝|BC|＝4，所以圆- 5 -
心到直线 kx－y＋6＝0 的距离为 3，由点到直线的距离公式得
6
k2＋1＝3，解得 k＝± 3.
解法二 设直线 kx－y＋6＝0 被圆 x2＋y2＝25 所截得的弦为 AB，其中 A(x1，y1)，B(x2，
y2)，联立方程组Error!消去 y 得，(1＋k2)x2＋12kx＋11＝0，所以 x1＋x2＝－
12k
1＋k2，x1x2＝
11
1＋k2，
因此|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|＝ 1＋k2· x1＋x22－4x1x2＝
144k2－44k2＋1
1＋k2
＝8，解得 k＝± 3.
14．已知点 P(x，y)在圆 C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0 上．
(1)求
y
x的最大值和最小值；
(2)求 x2＋y2＋2x＋3 的最大值与最小值；
(3)求 x＋y 的最大值与最小值．
解析：方程 x2＋y2－6x－6y＋14＝0 可化为(x－3)2＋(y－3)2＝4.
(1)
y
x表示圆上的点 P 与原点连线的斜率，显然 PO(O 为原点)与圆相切时，斜率最大或最
小．
设切线方程为 y＝kx(由题意知，斜率一定存在)，即 kx－y＝0，由圆心 C(3,3)到切线的
距离等于半径长 2，可得
|3k－3|
k2＋1＝2，解得 k＝
9 ± 2 14
5 ，所以
y
x的最大值为
9＋2 14
5 ，最
小值为
9－2 14
5 .
(2)x2＋y2＋2x＋3＝(x＋1)2＋y2＋2，它表示圆上的点 P 到 E(－1,0)的距离的平方再加 2，
所以当点 P 与点 E 的距离最大或最小时，式子取得最大值或最小值．显然点 E 在圆 C 的外部，
所以点 P 与点 E 距离的最大值为|CE|＋2，点 P 与点 E 距离的最小值为|CE|－2.又| CE|＝
3＋12＋32＝5，所以 x2＋y2＋2x＋3 的最大值为(5＋2)2＋2＝51，最小值为(5－2)2＋2＝
11.
(3)设 x＋y＝b，则 b 表示动直线 y＝－x＋b 在 y 轴上的截距，显然当动直线 y＝－x＋b
与圆(x－3)2＋(y－3)2＝4 相切时，b 取得最大值或最小值．此时圆心 C(3,3)到切线 x＋y＝b
的距离等于圆的半径长 2，则
|3＋3－b|
12＋12 ＝2，即|b－6|＝2 2，解得 b＝6±2 2，所以 x＋y
的最大值为 6＋2 2，最小值为 6－2 2.
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