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2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质
[基础巩固](25 分钟，60 分)
一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)
1．下列命题中错误的是( )
A．如果平面 α⊥平面 β，那么平面 α 内一定存在直线平行于平面 β
B．如果平面 α 不垂直于平面 β，那么平面 α 内一定不存在直线垂直于平面 β
C．如果平面 α⊥平面 γ，平面 β⊥平面 γ，α∩β＝l，那么 l⊥平面 γ
D．如果平面 α⊥平面 β，那么平面 α 内所有直线都垂直于平面 β
解析：对于命题 A，在平面α 内存在直线 l 平行于平面 α 与平面 β 的交线，则 l 平行
于平面 β，故命题 A 正确．对于命题 B，若平面 α 内存在直线垂直于平面 β，则平面 α 与
平面 β 垂直，故命题 B 正确．对于命题 C，设 α∩γ＝m，β∩γ＝n，在平面 γ 内取一点 P
不在 m，n 上，过 P 作直线 a，b，使 a⊥m，b⊥n.∵γ⊥α，a⊥m，则 a⊥α.∴a⊥l，同理有
b⊥l.又 a∩b＝P，a⊂γ，b⊂γ，∴l⊥γ.故命题 C 正确．对于命题 D，设 α∩β＝l，则 l⊂
α，l⊂β.故在 α 内存在直线不垂直于平面 β，即命题 D 错误．故选 D.
答案：D
2．直线 a⊥平面 α，b∥α，则 a 与 b 的关系为( )
A．a⊥b，且 a 与 b 相交 B．a⊥b，且 a 与 b 不相交
C．a⊥b D．a 与 b 不一定垂直
解析：∵b∥α，∴b 平行于 α 内的某一条直线，设为 b′，
∵a⊥α，且 b′⊂α，∴a⊥b′，
∴a⊥b，但 a 与 b 可能相交，也可能异面．
答案：C
3．已知直线 l 垂直于直线 AB 和 AC，直线 m 垂直于直线 BC 和 AC，则直线 l，m 的位置
关系是( )
A．平行 B．异面
C．相交 D．垂直
解析：因为直线 l 垂直于直线 AB 和 AC，所以 l 垂直于平面 ABC，同理，直线 m 垂直于
平面 ABC，根据线面垂直的性质定理得 l∥m.
答案：A
4．已知平面 α，β 和直线 m，l，则下列命题中正确的是( )- 2 -
A．若 α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则 l⊥β
B．若 α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则 l⊥β
C．若 α⊥β，l⊂α，则 l⊥β
D．若 α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则 l⊥β
解析：A 项中缺少了条件 l⊂α，故 A 错误．B 项中缺少了条件 α⊥β，故 B 错误．C 项
中缺少了条件 α∩β＝m，l⊥m，故 C 错误．D 项具备了面面垂直的性质定理中的全部条件，
故 D 正确．
答案：D
5．PO⊥平面 ABC，O 为垂足，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝5，PA＝PB＝PC＝10，
则 PO 的长等于( )
A．5 B．5 2
C．5 3 D．20
解析：∵PA＝PB＝PC，
∴P 在面 ABC 上的射影 O 为△ABC 的外心．
又△ABC 为直角三角形，
∴O 为斜边 BA 的中点．
在△ABC 中，BC＝5，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴PO＝ PC2－(AB
2 )2＝5 3.
答案：C
二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)
6．已知 PA 垂直于平行四边形 ABCD 所在的平面，若 PC⊥BD，则平行四边形 ABCD 一定是
________．
解析：因为 PA⊥平面 ABCD，所以 PA⊥BD，又因为 PC⊥BD，所以 BD⊥平面 PAC，又 AC⊂
平面 PAC，所以 AC⊥BD.
答案：菱形
7．如图，四棱锥 P－ABCD 的底面 ABCD 是边长为 a 的正方形，侧棱 PA＝a，PB＝PD＝ 2
a，则它的五个面中，互相垂直的平面有________对．
解析：由勾股定理逆定理得 PA⊥AD，PA⊥AB，∴PA⊥面 ABCD，PA⊥CD，PA⊥CB.由直线
与平面垂直的判定定理及平面与平面垂直的判定定理易得结论．平面 PAB⊥平面 PAD，平面- 3 -
PAB⊥平面 ABCD，平面 PAB⊥平面 PBC，平面 PAD⊥平面 ABCD，平面 PAD⊥平面 PCD.
答案：5
8．如图，在三棱锥 P－ABC 中，PA⊥底面 ABC，∠BAC＝90°，F 是 AC 的中点，E 是 PC
上的点，且 EF⊥BC，则
PE
EC＝________.
解析：在三棱锥 P－ABC 中，
因为 PA⊥底面 ABC，∠BAC＝90°，所以 AB⊥平面 APC.
因为 EF⊂平面 PAC，所以 EF⊥AB，
因为 EF⊥BC，BC∩AB＝B，
所以 EF⊥底面 ABC，所以 PA∥EF，
因为 F 是 AC 的中点，E 是 PC 上的点，
所以 E 是 PC 的中点，所以
PE
EC＝1.
答案：1
三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)
9．如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M 是 AB 上一点，N 是 A1C 的中点，MN⊥平面
A1DC.
求证：(1)MN∥AD1；
(2)M 是 AB 的中点．
证明：(1)因为四边形 ADD1A1 为正方形，
所以 AD1⊥A1D.
又因为 CD⊥平面 ADD1A1，所以 CD⊥AD1.
因为 A1D∩CD＝D，所以 AD1⊥平面 A1DC.- 4 -
又因为 MN⊥平面 A1DC，所以 MN∥AD1.
(2)连接 ON，在△A1DC 中，
A1O＝OD，A1N＝NC，
所以 ON∥CD∥AB.
所以 ON∥AM.
又由(1)知 MN∥OA，
所以四边形 AMNO 为平行四边形．
所以 ON＝AM.
因为 ON＝
1
2AB，所以 AM＝
1
2AB.
所以 M 是 AB 的中点．
10.
如图，P 是四边形 ABCD 所在平面外一点，四边形 ABCD 是∠DAB＝60°，且边长为 a 的菱
形．侧面 PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面 ABCD.
(1)若 G 为 AD 边的中点，求证：BG⊥平面 PAD；
(2)求证：AD⊥PB.
证明：(1)如图所示，连接 BD.
因为四边形 ABCD 是菱形，且∠DAB＝60°，
所以△ABD 是正三角形，
因为 G 是 AD 的中点，
所以 BG⊥AD.
又因为平面 PAD⊥平面 ABCD，
平面 PAD∩平面 ABCD＝AD，BG⊂平面 ABCD.
所以 BG⊥平面 PAD.
(2)连接 PG.- 5 -
因为△PAD 为正三角形，G 为 AD 的中点，
所以 PG⊥AD.
由(1)知 BG⊥AD，
而 PG∩BG＝G，
PG⊂平面 PBG，
BG⊂平面 PBG，
所以 AD⊥平面 PBG.
又因为 PB⊂平面 PBG，
所以 AD⊥PB.
[能力提升](20 分钟，40 分)
11．[2019·南昌月考]
如图，在四面体 ABCD 中，已知 AB⊥AC，BD⊥AC，那么点 D 在平面 ABC 上的射影 H 必在
( )
A．直线 AB 上
B．直线 BC 上
C．直线 AC 上
D．△ABC 内部
解析：在四面体 ABCD 中，∵AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，∴AC⊥平面 ABD，又 AC⊂平
面 ABC，
∴平面 ABC⊥平面 ABD，又平面 ABC∩平面 ABD＝直线 AB，故点 D 在平面 ABC 上的射影 H
必在直线 AB 上．
答案：A
12．如图所示，三棱锥 P－ABC 的底面在平面 α 上，且 AC⊥PC，平面 PAC⊥平面 PBC，
P，A，B 是定点，则动点 C 运动形成的图形是__________________．- 6 -
解析：因为平面 PAC⊥平面 PBC，
AC⊥PC，AC⊂平面 PAC，平面 PAC∩平面 PBC＝PC.
所以 AC⊥平面 PBC.
又 BC⊂平面 PBC，所以 AC⊥BC，所以∠ACB＝90°.
所以动点 C 运动形成的图形是以 AB 为直径的圆(除去 A，B 两点)．
答案：以 AB 为直径的圆(除去 A，B 两点)
13.
如图，在四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝
BC，E 是 PC 的中点．
证明：(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面 ABE.
证明：(1)在四棱锥 P－ABCD 中，
∵PA⊥底面 ABCD，CD⊂平面 ABCD，∴PA⊥CD.
又∵AC⊥CD，且 PA∩AC＝A，
∴CD⊥平面 PAC.而 AE⊂平面 PAC，∴CD⊥AE.
(2)由 PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得 AC＝PA.
∵E 是 PC 的中点，∴AE⊥PC.
由(1)知 AE⊥CD，且 PC∩CD＝C，
∴AE⊥平面 PCD.
而 PD⊂平面 PCD，∴AE⊥PD.
∵PA⊥底面 ABCD，AB⊂平面 ABCD，∴PA⊥AB.
又∵AB⊥AD，且 PA∩AD＝A，
∴AB⊥平面 PAD，而 PD⊂平面 PAD，∴AB⊥PD.
又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面 ABE.- 7 -
14．如图，直角△ABC 中，∠ACB＝90°，BC＝2AC＝4，D，E 分别是 AB，BC 边的中点，
沿 DE 将△BDE 折起至△FDE，且∠CEF＝60°.
(1)求四棱锥 F－ACED 的体积；
(2)求证：平面 ADF⊥平面 ACF.
解析：(1)∵D，E 分别是 AB，BC 边的中点，∴DE∥AC 且 DE＝
1
2AC＝1，又 AC⊥BC，
∴DE⊥BC.依题意得，DE⊥EF，BE＝EF＝2.
于是Error!⇒DE⊥平面 CEF.
∵DE⊂平面 ACED，∴平面 ACED⊥平面 CEF.
过 F 点作 FM⊥EC 于 M，则
Error!⇒FM⊥平面 ACED，
又∵∠CEF＝60°，CE＝EF，∴△CEF 为正三角形，
∴FM＝ 3，
∴梯形 ACED 的面积 S＝
1
2(AC＋ED)×EC＝
1
2×(2＋1)×2＝3，
∴四棱锥 F－ACED 的体积 V＝
1
3Sh＝
1
3×3× 3＝ 3.
(2)证法一 如图，设线段 AF，CF 的中点分别为 N，Q，连接 DN，NQ，EQ，则 NQ∥AC，NQ
＝
1
2AC，
又由(1)知 DE∥AC 且 DE＝
1
2AC，
∴DE 綊 NQ，∴四边形 DEQN 是平行四边形，∴DN∥EQ.
由(1)知△CEF 是等边三角形，
∴EQ⊥FC.
由(1)知 DE⊥平面 CEF，
又 EQ⊂平面 CEF，
∴DE⊥EQ，∴AC⊥EQ.
于是Error!⇒EQ⊥平面 ACF.
∴DN⊥平面 ACF.- 8 -
又∵DN⊂平面 ADF，∴平面 ADF⊥平面 ACF.
证法二 连接 BF，
由(1)知△CEF 是边长为 2 的等边三角形．
∵BE＝EF，∠CEF＝60°，∴∠EBF＝
1
2∠CEF＝30°，
∴∠BFC＝90°，即 BF⊥FC.
又∵DE⊥平面 BCF，DE∥AC，∴AC⊥平面 BCF.
∵BF⊂平面 BCF，∴AC⊥BF.
又∵FC∩AC＝C，∴BF⊥平面 ACF.
又∵BF⊂平面 ADF，∴平面 ADF⊥平面 ACF.
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