- 1 -
2.2.1 直线与平面平行的判定 2.2.2 平面与平面平行的判定
[基础巩固](25 分钟，60 分)
一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)
1．下列命题正确的是( )
A．一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内的任意一条直线平行
B．平行于同一个平面的两条直线平行
C．与两个相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个平面
D．平面外两条平行直线中的一条与这个平面平行，则另一条也与这个平面平行
解析：对于 A，平面内还存在直线与这条直线异面，错误；对于 B，这两条直线还可以
相交、异面，错误；对于 C，这条直线还可能在其中一个平面内，错误．故选 D.
答案：D
2．使平面 α∥平面 β 的一个条件是( )
A．存在一条直线 a，a∥α，a∥β
B．存在一条直线 a，a⊂α，a∥β
C．存在两条平行直线 a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
D．α 内存在两条相交直线 a，b 分别平行于 β 内的两条直线
解析：A，B，C 中的条件都不一定使 α∥β，反例分别为图①②③(图中 a∥l，b∥l)；
D 正确，因为 a∥β，b∥β，又 a，b 相交，从而 α∥β.
答案：D
3．在正方体 EFGH－E1F1G1H1 中，下列四对截面彼此平行的是( )
A．平面 E1FG1 与平面 EGH1
B．平面 FHG1 与平面 F1H1G
C．平面 F1H1E 与平面 FHE1
D．平面 E1HG1 与平面 EH1G
解析：根据面面平行的判定定理，可知 A 正确．
答案：A- 2 -
4．[2019·大连校级检测]如图，△ABC 的边 BC 在平面 α 内，EF 是△ABC 的中位线，则
( )
A．EF 与平面 α 平行
B．EF 与平面 α 不平行
C．EF 与平面 α 可能平行
D．EF 与平面 α 可能相交
解析：∵EF∥BC，BC⊂α，EF⊄α，∴EF∥平面 α.
答案：A
5．[2019·辽宁省葫芦岛市校级月考]已知在如图所示的长方体ABCD－A1B1C1D1 中，E 为
AA1 的中点，F 为 BB1 的中点，G 为 CC1 的中点，则在该长方体中，与平面 EFG 平行的面有( )
A．1 个 B．2 个
C．3 个 D．4 个
解析：∵长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 为 AA1 的中点，F 为 BB1 的中点，G 为 CC1 的中点，
∴EF∥AB，FG∥BC，
又 EF⊄平面 ABCD，FG⊄平面 ABCD，
∴EF∥平面 ABCD，FG∥平面 ABCD，
又 EF∩FG＝F，
∴由平面与平面平行的判定定理得：
平面 EFG∥平面 ABCD.
同理，平面 EFG∥平面 A1B1C1D1.即在该长方体中，与平面 EFG 平行的平面有 2 个．
答案：B
二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)
6 ． 如 果 直 线 a，b 相 交 ， 直 线 a∥ 平 面 α， 则 直 线 b 与 平 面 α 的 位 置 关 系 是
________．
解析：根据线面位置关系的定义，可知直线 b 与平面 α 的位置关系是相交或平行．
答案：相交或平行- 3 -
7．已知点 S 是正三角形 ABC 所在平面外一点，点 D，E，F 分别是 SA，SB，SC 的中点，
则平面 DEF 与平面 ABC 的位置关系是________．
解析：由 D，E，F 分别是 SA，SB，SC 的中点，知 EF 是△SBC 的中位线，∴EF∥BC.
又∵BC平面 ABC，EF平面 ABC，∴EF∥平面 ABC.
同理 DE∥平面 ABC.又∵EF∩DE＝E，
∴平面 DEF∥平面 ABC.
答案：平行
8．已知正三棱柱 ABC－A1B1C1 中，G 是 A1C1 的中点，过点 G 的截面与侧面 ABB1A1 平行，
若侧面 ABB1A1 是边长为 4 的正方形，则截面周长为________．
解析：
如图，取 B1C1 的中点 M，BC 的中点 N，AC 的中点 H，连接 GM，MN，HN，GH，则
GM∥HN∥AB，MN∥GH∥AA1，所以有 GM∥平面 ABB1A1，MN∥平面 ABB1A1.又 GM∩MN＝M，所以平
面 GMNH∥平面 ABB1A1，即平面 GMNH 为过点 G 且与平面 ABB1A1 平行的截面．易得此截面的周长
为 4＋4＋2＋2＝12.
答案：12
三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)
9．[2019·广东佛山质检]如图所示，四棱锥 P－ABCD 的底面是边长为 1 的正方形，E
为 PC 的中点，PF＝2FD，求证：BE∥平面 AFC.
证明：如图，连接 BD，交 AC 于点 O，取 PF 的中点 G，连接 EG，ED，ED 交 CF 于点 M，
连接 MO.
在△PCF 中，E，G 分别为 PC，PF 的中点，- 4 -
则 EG∥FC.
在△EDG 中，MF∥EG，且 F 为 DG 的中点，则 M 为 ED 的中点．
在△BED 中，O，M 分别为 BD，ED 的中点，
则 BE∥MO.
又 MO⊂平面 AFC，BE⊄平面 AFC，
所以 BE∥平面 AFC.
10．在空间四边形 ABCD 中，E，F，G 分别是 BC，CD，AC 的中点．
求证：平面 EFG∥平面 ABD.
证明：因为 E，F 分别是 BC，CD 的中点，
所以 EF∥BD.
又 BD⊂平面 ABD，EF⊄平面 ABD，
所以 EF∥平面 ABD.同理可得 EG∥平面 ABD.
又 EF∩EG＝E，EF，EG平面 EFG，
所以平面 EFG∥平面 ABD.
[能力提升](20 分钟，40 分)
11.
如图，在空间四边形 ABCD 中，E，F 分别为 AB，AD 上的点，且 AEEB＝AFFD＝14，
H，G 分别为 BC，CD 的中点，则( )
A．BD∥平面 EFGH，且四边形 EFGH 是平行四边形
B．EF∥平面 BCD，且四边形 EFGH 是梯形
C．HG∥平面 ABD，且四边形 EFGH 是平行四边形
D．EH∥平面 ADC，且四边形 EFGH 是梯形
解析：由题意，知 EF∥BD，且 EF＝
1
5BD，HG∥BD，且 HG＝
1
2BD，∴EF∥HG，且 EF≠HG，
∴四边形 EFGH 是梯形．又 EF∥平面 BCD，EH 与平面 ADC 不平行，故选 B.- 5 -
答案：B
12．如图所示的四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，P 分别为其所在棱的
中点，能得出 AB∥平面 MNP 的图形是________．(填序号)
解析：①中连接点A 与点 B 上面的顶点，记为 C，则易证平面 ABC∥平面 MNP，所以 AB∥
平面 MNP；④中 AB∥NP，根据空间直线与平面平行的判定定理可以得出 AB∥平面 MNP；②③
中，AB 均与平面 MNP 相交．
答案：①④
13．已知公共边为 AB 的两个全等的矩形 ABCD 和 ABEF 不在同一平面内，P，Q 分别是对
角线 AE，BD 上的点，且 AP＝ DQ 如图所示．求证：PQ∥平面 CBE.
证明：作 PM∥AB 交 BE 于点 M，作 QN∥AB 交 BC 于点 N，连接 MN，如图，
则 PM∥QN，
PM
AB＝
EP
EA，
QN
CD＝
BQ
BD.
∵EA＝BD，AP＝DQ，∴EP＝BQ.
又 AB＝CD，∴PM 綊 QN，
∴四边形 PMNQ 是平行四边形，
∴PQ∥MN.
又 PQ⊄平面 CBE，MN⊂平面 CBE，
∴PQ∥平面 CBE.
14．已知在正方体 ABCD－A′B′C′D′中，M，N 分别是 A′D′，A′B′的中点，在该
正方体中是否存在过顶点且与平面 AMN 平行的平面？若存在，试作出该平面，并证明你的结
论；若不存在，请说明理由．
解析：存在．与平面 AMN 平行的平面有如图所示三种情况：- 6 -
下面以图(1)为例进行证明．
连接 ME，B′D′.
∵四边形 ABEM 是平行四边形，∴BE∥AM.
又 BE⊂平面 BDE，AM⊄平面 BDE，∴AM∥平面 BDE.
∵MN 是△A′B′D′的中位线，∴MN∥B′D′.
∵四边形 BDD′B′是平行四边形，
∴BD∥B′D′，∴MN∥BD.
又 BD⊂平面 BDE，MN⊄平面 BDE，∴MN∥平面 BDE.
又 AM⊂平面 AMN，MN⊂平面 AMN，且 AM∩MN＝M，
∴平面 AMN∥平面 BDE.
微信/支付宝扫码支付