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4.3.1 空间直角坐标系 4.3.2 空间两点间的距离公式
[基础巩固](20 分钟，40 分)
一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)
1．点 M(0,3,0)在空间直角坐标系中的位置是在( )
A．x 轴上 B．y 轴上
C．z 轴上 D．xOz 平面上
解析：因为点 M(0,3,0)的横坐标、竖坐标均为 0，纵坐标不为 0，所以点 M 在 y 轴上．
答案：B
2．点 P(1,4，－3)与点 Q(3，－2,5)的中点坐标是( )
A．(4,2,2) B．(2，－1,2)
C．(2,1,1) D．(4，－1,2)
解析：设点P 与点 Q 的中点坐标为(x，y，z)，则 x＝
1＋3
2 ＝2，y＝
4－2
2 ＝1，z＝
－3＋5
2
＝1.
答案：C
3．在空间直角坐标系中，已知点 P(1， 2， 3)，过 P 作平面 yOz 的垂线 PQ，则垂足 Q
的坐标为( )
A．(0， 2，0) B．(0， 2， 3)
C．(1,0， 3) D．(1， 2，0)
解析：根据空间直角坐标系的概念知，yOz 平面上点 Q 的 x 坐标为 0，y 坐标、z 坐标与
点 P 的 y 坐标 2，z 坐标 3分别相等，∴Q(0， 2， 3)．
答案：B
4．已知 M(4,3，－1)，记 M 到 x 轴的距离为 a，M 到 y 轴的距离为 b，M 到 z 轴的距离为
c，则( )
A．a>b>c B．c>b>a
C．c>a>b D．b>c>a
解析：借助长方体来思考，a、b、c 分别是三条面对角线的长度．
∴a＝ 10，b＝ 17，c＝5.
答案：B
5．已知 A 点坐标为(1,1,1)，B(3,3,3)，点 P 在 x 轴上，且|PA|＝|PB|，则 P 点坐标为
( )- 2 -
A．(0,0,6) B．(6,0,1)
C．(6,0,0) D．(0,6,0)
解析：设 P(x,0,0)，|PA|＝ x－12＋1＋1，|PB|＝ x－32＋9＋9，由|PA|＝
|PB|，得 x＝6.
答案：C
二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)
6．如图，长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，已知 A1(a,0，c)，C(0，b,0)，则点 B1 的坐标为________．
解析：由题中图可知，点 B1 的横坐标和竖坐标与点 A1 的横坐标和竖坐标相同，点 B1 的
纵坐标与点 C 的纵坐标相同，所以点 B1 的坐标为(a，b，c)．
答案：(a，b，c)
7．在空间直角坐标系中，点(4，－1,2)关于原点的对称点的坐标是________．
解析：空间直角坐标系中关于原点对称的点的坐标互为相反数，故点(4，－1,2)关于原
点的对称点的坐标是(－4,1，－2)．
答案：(－4,1，－2)
8．点 P(－1,2,0)与点 Q(2，－1,0)的距离为________．
解析：∵P(－1,2,0)，Q(2，－1,0)，
∴|PQ|＝ －1－22＋[2－－1]2＋02＝3 2.
答案：3 2
三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)
9．已知直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，∠BAC＝90°，|AB|＝|AC|＝|AA1|＝4，M 为 BC1 的中
点，N 为 A1B1 的中点，求|MN|.
解析：如右图，以A 为原点，射线 AB，AC，AA1 分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空
间直角坐标系，
则 B(4,0,0)，C1(0,4,4)，A1(0,0,4)，B1(4,0,4)，因为 M 为 BC1 的中点，N 为 A1B1 的中
点，所以由空间直角坐标系的中点坐标公式得 M(
4＋0
2 ，
0＋4
2 ，
0＋4
2 )，N(
0＋4
2 ，
0＋0
2 ，
4＋4
2 )，- 3 -
即 M(2,2,2)，N(2,0,4)．
所以由两点间的距离公式得
|MN|＝ 2－22＋2－02＋2－42＝2 2.
10．已知点 P(2,3，－1)，求：
(1)点 P 关于各坐标平面对称的点的坐标；
(2)点 P 关于各坐标轴对称的点的坐标；
(3)点 P 关于坐标原点对称的点的坐标．
解析：(1)设点 P 关于 xOy 坐标平面的对称点为 P′，则点 P′的横坐标、纵坐标与点 P
的横坐标、纵坐标相同，点 P′的竖坐标与点 P 的竖坐标互为相反数．
所以点 P 关于 xOy 坐标平面的对称点 P′的坐标为(2,3,1)．同理，点 P 关于 yOz，xOz
坐标平面的对称点的坐标分别为(－2,3，－1)，(2，－3，－1)．
(2)设点 P 关于 x 轴的对称点为 Q，则点 Q 的横坐标与点 P 的横坐标相同，点 Q 的纵坐标、
竖坐标与点 P 的纵坐标、竖坐标互为相反数．
所以点 P 关于 x 轴的对称点 Q 的坐标为(2，－3,1)．
同理，点 P 关于 y 轴，z 轴的对称点的坐标分别为(－2,3,1)，(－2，－3，－1)．
(3)点 P(2,3，－1)关于坐标原点对称的点的坐标为(－2，－3,1)．
[能力提升](20 分钟，40 分)
11．在空间直角坐标系中，点 M 的坐标是(4,7,6)，则点 M 关于 y 轴对称的点在 xOz 平
面上的射影的坐标为( )
A．(4,0,6) B．(－4,7，－6)
C．(－4,0，－6) D．(－4,7,0)
解析：点 M 关于 y 轴对称的点是 M′(－4,7，－6)，点 M′在 xOz 平面上的射影的坐标
为(－4,0，－6)．
答案：C
12．已知点 P (3
2，
5
2，z)到线段 AB 中点的距离为 3，其中 A(3,5，－7)，B(－2,4,3)，
则 z＝________.
解析：由中点坐标公式，得线段 AB 中点的坐标为(1
2，
9
2，－2).又点 P 到线段 AB 中点的
距离为 3，所以
(3
2－
1
2 )2＋(5
2－
9
2 )2＋[z－－2]2＝3，
解得 z＝0 或 z＝－4.- 4 -
答案：0 或－4
13．如图，已知长方体 ABCD－A1B1C1D1 的对称中心在坐标原点，交于同一顶点的三个面
分别平行于三个坐标平面，顶点 A(－2，－3，－1)，求其他七个顶点的坐标．
解析：由题意，得点 B 与点 A 关于 xOz 平面对称，
故点 B 的坐标为(－2,3，－1)；
点 D 与点 A 关于 yOz 平面对称，故点 D 的坐标为(2，－3，－1)；
点 C 与点 A 关于 z 轴对称，故点 C 的坐标为(2,3，－1)；
由于点 A1，B1，C1，D1 分别与点 A，B，C，D 关于 xOy 平面对称，
故点 A1，B1，C1，D1 的坐标分别为 A1(－2，－3,1)，B1(－2,3,1)，C1(2,3,1)，D1(2，－
3,1)．
14．已知点 M(3,2,1)，N(1,0,5)，求：
(1)线段 MN 的长度；
(2)到 M，N 两点的距离相等的点 P(x，y，z)的坐标满足的条件．
解析：(1)根据空间两点间的距离公式得
|MN|＝ 3－12＋2－02＋1－52＝2 6，
所以线段 MN 的长度为 2 6.
(2)因为点 P(x，y，z)到 M，N 两点的距离相等，所以 x－32＋y－22＋z－12
＝ x－12＋y－02＋z－52，
化简得 x＋y－2z＋3＝0，
因此，到 M，N 两点的距离相等的点 P(x，y，z)的坐标满足的条件是 x＋y－2z＋3＝0.
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