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1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
[基础巩固](25 分钟，60 分)
一、 选择题(每小题 5 分，共 25 分)
1．如图所示，圆锥的底面半径为 1，高为 3，则该圆锥的表面积为( )
A．π B．2π
C．3π D．4π
解析：设圆锥的母线长为 l，则 l＝ 12＋ 32＝2，所以圆锥的表面积为 S＝
π×1×(1＋2)＝3π.
答案：C
2．若棱台的上、下底面面积分别为 4,16，高为 3，则该棱台的体积为( )
A．26 B．28
C．30 D．32
解析：所求棱台的体积 V＝
1
3×(4＋16＋ 4 × 16)×3＝28.
答案：B
3．若圆柱的底面半径为 1，其侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的侧面积是( )
A．4π2 B．3π2
C．2π2 D．π2
解析：依题意，圆柱的母线长 l＝2πr，故 S 侧＝2πrl＝4π2r2＝4π2.
答案：A
4．正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，以顶点 A、C、B1、D1 为顶点的正三棱锥的全面积为 4 3，
则该正方体的棱长为( )
A. 2 B．2
C．4 D．2 2
解析：设正方体棱长为a，侧面的对角线长为 2a，所以正三棱锥 A－CB1D1 的棱长为 2- 2 -
a，其表面积为 4×
3
4 ×( 2a)2＝4 3，可得 a2＝2，即 a＝ 2.
答案：A
5．在△ABC 中，AB＝2，BC＝
3
2，∠ABC＝120°，将△ABC 绕直线 BC 旋转一周，所形成
的几何体的体积是( )
A.
9
2π B.
7
2π
C.
5
2π D.
3
2π
解析：如图，△ABC 绕直线 BC 旋转一周，所形成的几何体是以△ACD 为轴截面的圆锥中
挖去一个以△ABD 为轴截面的圆锥后剩余的部分．
因为 AB＝2，BC＝
3
2，∠ABC＝120°，
所以 AE＝ABsin60°＝ 3，BE＝AB·cos60°＝1，CE＝
5
2.
V1＝
1
3π·AE2·CE＝
5π
2 ，V2＝
1
3π·AE2·BE＝π，
所以 V＝V1－V2＝
3
2π.故选 D.
答案：D
二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)
6．[2019·重庆市巴南区校级月考]已知圆锥的底面半径为 2 cm，高为 1 cm，则圆锥的
侧面面积是________cm2.
解析：根据圆锥的侧面面积公式可得 S 侧＝π×2× 22＋12＝2 5π(cm)2.
答案：2 5π
7．[2019·郑州市校级月考]底面是菱形的直棱柱，它的体对角线的长分别是 7 和 15，
高是 5，则这个直棱柱的侧面面积是________．
解析：依题意得，直棱柱底面的一条对角线长为 152－52＝10 2，底面的另一条对角
线长为 72－52＝2 6.
又菱形的两对角线互相垂直平分，故底面边长为 5 22＋ 62＝2 14，则这
个直棱柱的侧面面积 S 侧＝4×2 14×5＝40 14.- 3 -
答案：40 14
8．[2019·启东市校级检测]如图，已知底面半径为 r 的圆柱被一个平面所截，剩余部
分母线长的最大值为 a，最小值为 b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是________．
解析：将该几何体上部补上一个与该几何体相同的几何体，得到一个圆柱，其体积为π(a
＋b)r2，所以所求几何体的体积为
1
2π(a＋b)r2.
答案：
1
2π(a＋b)r2
三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)
9．已知棱长为 a，各面均为等边三角形的四面体 S－ABC 如图所示，求它的表面积．
解析：
因为四面体 S－ABC 的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何
一个面面积的 4 倍．
不妨求△SBC 的面积，过点 S 作 SD⊥BC，交 BC 于点 D，如图所示．
因为 BC＝SB＝a，SD＝ SB2－BD2＝ a2－(a
2 )2＝
3
2 a，
所以 S△SBC＝
1
2BC·SD＝
1
2a×
3
2 a＝
3
4 a2.
故四面体 S－ABC 的表面积 S＝4×
3
4 a2＝ 3a2.- 4 -
10．如图，在四边形 ABCD 中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2 2，AD＝
2，求四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所成几何体的体积．
解析：如图，过 C 作 CE 垂直于 AD，交 AD 延长线于 E，则所求几何体的体积可看成是由
梯形 ABCE 绕 AE 旋转一
周所得的圆台的体积，减去△EDC 绕 DE 旋转一周所得的圆锥的体积．
所以所求几何体的体积 V＝V 圆台－V 圆锥＝
1
3π×(52＋5×2＋22)×4－
1
3π×22×2＝
148
3
π.
[能力提升](20 分钟，40 分)
11．如图所示，正方体 ABCD－A′B′C′D′的棱长为 4，动点 E，F 在棱 AB 上，且 EF＝
2，动点 Q 在棱 D′C′上，则三棱锥 A′－EFQ 的体积( )
A．与点 E，F 的位置有关
B．与点 Q 的位置有关
C．与点 E，F，Q 的位置都有关
D．与点 E，F，Q 的位置均无关，是定值
解析：因为点 Q 到平面 A′EF 的距离为正方体的棱长 4，A′到 EF 的距离为正方体的棱
长 4，所以 VA′－QEF＝VQ－A′EF＝
1
3×
1
2×2×4×4＝
16
3 ，是定值，因此与点 E，F，Q 的位置均无
关．
答案：D- 5 -
12．如图所示，正方形 ABCD 的边长为 6 cm，BC，CD 的中点分别为 E，F，现沿 AE，EF，
AF 折叠，使 B，C，D 三点重合，构成一个三棱锥，则这个三棱锥的表面积为________．
解析：因为折叠后构成的三棱锥的表面均由原正方形的各部分围成，且没有重叠，因此
这个三棱锥的表面积等于正方形 ABCD 的面积，为 6×6＝36(cm2)．
答案：36 cm2
13．如图是一建筑物的三视图(单位：m)，现需将其外壁用油漆粉刷一遍，已知每平方
米用漆 0.2 kg，问需要油漆多少千克？(无需求近似值)
解析：由三视图知建筑物为一组合体，自上而下分别是圆锥和正四棱柱，并且圆锥的底
面半径为 3 m，母线长为 5 m，正四棱柱的高为 4 m，底面是边长为 3 m 的正方形，圆锥的表面
积为 πr2＋πrl＝9π＋15π＝24π (m2)；四棱柱的一个底面积为 9 m2，正四棱柱的侧面积为
4×4×3＝48 (m2)，所以外壁面积为 24π－9＋48＝(24π＋39) (m2)．
所以需要油漆(24π＋39)×0.2＝(4.8π＋7.8) (kg)．
14．一个直角梯形的两底边长分别为 2 和 5，高为 4，将其绕较长的底所在的直线旋转
一周，求所得旋转体的表面积．
解析：如图，梯形 ABCD 中，
AD＝2，AB＝4，BC＝5.
作 DM⊥BC，垂足为点 M，则 DM＝4，MC＝5－2＝3.
在 Rt△CMD 中，由勾股定理得 CD＝ 32＋42＝5.
在旋转形成的旋转体中，AB 形成一个圆面，AD 形成一个圆柱的侧面，CD 形成一个圆锥- 6 -
的侧面，
设其面积分别为 S1，S2，S3，
则 S1＝π·42＝16π，S2＝2π×4×2＝16π，
S3＝π×4×5＝20π，故此旋转体的表面积为 S＝S1＋S2＋S3＝52π.
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