- 1 -
3.3.3 点到直线的距离 3.3.4 两条平行直线间的距离
[基础巩固](25 分钟，60 分)
一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)
1．点(1,2)到直线 y＝2x＋1 的距离为( )
A.
5
5 B.
2 5
5
C. 5 D．2 5
解析：直线 y＝2x＋1 即 2x－y＋1＝0，由点到直线的距离公式得 d＝
|2 × 1－2＋1|
22＋－12 ＝
5
5 ，故选 A.
答案：A
2．已知点(3，m)到直线 x＋ 3y－4＝0 的距离等于 1，则 m 等于( )
A. 3 B．－ 3
C．－
3
3 D. 3或－
3
3
解析：由
|3＋ 3m－4|
2 ＝1，解得 m＝ 3或－
3
3 ，故选 D.
答案：D
3．已知两点 A(3,2)和 B(－1,4)到直线 mx＋y＋3＝0 的距离相等，则实数 m 的值为( )
A．－6 或
1
2 B．－
1
2或 1
C．－
1
2或
1
2 D．0 或
1
2
解析：
|3m＋2＋3|
m2＋12 ＝
|－m＋4＋3|
m2＋12 ，即|3m＋5|＝|7－m|，解得 m＝－6 或
1
2.
答案：A
4．到直线 3x－4y＋1＝0 的距离为 3，且与此直线平行的直线方程是( )
A．3x－4y＋4＝0
B．3x－4y＋4＝0 或 3x－4y－2＝0
C．3x－4y＋16＝0
D．3x－4y＋16＝0 或 3x－4y－14＝0
解析：在直线 3x－4y＋1＝0 上取点(1,1)．设与直线 3x－4y＋1＝0 平行的直线方程为 3x- 2 -
－4y＋m＝0，则
|3 × 1－4 × 1＋m|
32＋－42 ＝3，解得 m＝16 或 m＝－14，即所求直线方程为 3x－4y
＋16＝0 或 3x－4y－14＝0.
答案：D
5．过点 P(0,1)且和 A(3,3)，B(5，－1)距离相等的直线的方程是( )
A．y＝1
B．2x＋y－1＝0
C．y＝1 或 2x＋y－1＝0
D．2x＋y－1＝0 或 2x＋y＋1＝0
解析：∵kAB＝
3－－1
3－5 ＝－2，过 P 与 AB 平行的直线方程为 y－1＝－2(x－0)，
即：2x＋y－1＝0，又 AB 的中点 C(4,1)，∴PC 的方程为 y＝1.
答案：C
二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)
6．直线 5x＋12y＋3＝0 与直线 10x＋24y＋5＝0 的距离是________．
解析：直线 10x＋24y＋5＝0 可化为 5x＋12y＋
5
2＝0，
所以两平行直线间的距离 d＝
|3－
5
2 |
52＋122＝
1
26.
答案：
1
26
7．已知点 P 为 x 轴上一点，且点 P 到直线 3x－4y＋6＝0 的距离为 6，则点 P 的坐标为
________．
解析：设 P(a,0)，则有
|3a－4 × 0＋6|
32＋－42 ＝6，解得 a＝－12 或 8，∴点 P 的坐标为(－
12,0)或(8,0)．
答案：(－12,0)或(8,0)
8．与直线 7x＋24y＝5 平行且距离等于 3 的直线方程为__________________．
解析：由题意设所求直线方程为 7x＋24y＋c＝0，则有
|c－－5|
72＋242 ＝3，解得 c＝70
或 c＝－80.即所求直线方程为 7x＋24y＋70＝0 或 7x＋24y－80＝0.
答案：7x＋24y＋70＝0 或 7x＋24y－80＝0
三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)
9．已知直线 l 经过点 P(－2,5)，且斜率为－
3
4.
(1)求直线 l 的方程；- 3 -
(2)若直线 m 与 l 平行，且点 P 到直线 m 的距离为 3，求直线 m 的方程．
解析：(1)由直线方程的点斜式，得 y－5＝－
3
4(x＋2)，
整理得所求直线方程为 3x＋4y－14＝0.
(2)由直线 m 与直线 l 平行，可设直线 m 的方程为 3x＋4y＋C＝0，
由点到直线的距离公式得
|3 × －2＋4 × 5＋C|
32＋42 ＝3，
即
|14＋C|
5 ＝3，
解得 C＝1 或 C＝－29，
故所求直线方程为 3x＋4y＋1＝0 或 3x＋4y－29＝0.
10．已知直线 l1：mx＋8y＋n＝0 与 l2：2x＋my－1＝0 互相平行，且 l1，l2 之间的距离
为 5，求直线 l1 的方程．
解析：∵l1∥l2，∴
m
2＝
8
m≠
n
－1，
∴Error!或Error!
(1)当 m＝4 时，直线 l1 的方程为 4x＋8y＋n＝0，
把 l2 的方程写成 4x＋8y－2＝0，
∴
|n＋2|
16＋64＝ 5，解得 n＝－22 或 n＝18.
故所求直线的方程为 2x＋4y－11＝0 或 2x＋4y＋9＝0.
(2)当 m＝－4 时，直线 l1 的方程为 4x－8y－n＝0，
l2 的方程为 2x－4y－1＝0，
∴
|－n＋2|
16＋64＝ 5，解得 n＝－18 或 n＝22.
故所求直线的方程为 2x－4y＋9＝0 或 2x－4y－11＝0.
[能力提升](20 分钟，40 分)
11．求直线 x＋2y－1＝0 关于直线 x＋2y＋1＝0 对称的直线方程( )
A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y＋3＝0
C．x＋2y－2＝0 D．x＋2y＋2＝0
解析：解法一 设对称直线方程为 x＋2y＋c＝0
∵
|1＋1|
1＋4＝
|c－1|
1＋4
∴|c－1|＝2，∴c＝3 或－1(舍)
解法二 设对称直线方程为 x＋2y＋c＝0- 4 -
取直线 x＋2y－1＝0 上一点 A(1,0)，直线 x＋2y＋1＝0 上一点 B(－1,0)，A 关于 B 对称
点 C(－3,0)代入 x＋2y＋c＝0 得 c＝3.
答案：B
12 ． 平 行 于 直 线 3x ＋ 4y － 2 ＝ 0 ， 且 与 它 的 距 离 是 1 的 直 线 方 程 为
______________________．
解析：设所求直线方程为 3x＋4y＋c＝0(c≠－2)，则 d＝
|－2－c|
32＋42 ＝1，∴c＝3 或 c＝－
7，
即所求直线方程为 3x＋4y＋3＝0 或 3x＋4y－7＝0.
答案：3x＋4y＋3＝0 或 3x＋4y－7＝0
13．已知△ABC 中，A(2，－1)，B(4,3)，C(3，－2)．
(1)求 BC 边上的高所在直线的一般式方程；
(2)求△ABC 的面积．
解析：(1)由斜率公式，得 kBC＝5，
所以 BC 边上的高所在直线方程为 y＋1＝－
1
5(x－2)，
即 x＋5y＋3＝0.
(2)由两点间的距离公式，得|BC|＝ 26，BC 边所在的直线方程为 y＋2＝5(x－3)，即 5x
－y－17＝0，
所以点 A 到直线 BC 的距离 d＝
|5 × 2＋1－17|
52＋－12 ＝
6
26，
故 S△ABC＝
1
2×
6
26× 26＝3.
14．已知点 P(2，－1)．
(1)求过 P 点且与原点距离为 2 的直线 l 的方程；
(2)求过 P 点且与原点距离最大的直线 l 的方程，最大距离是多少？
解析：(1)①当 l 的斜率 k 不存在时显然满足要求，
∴l 的方程为 x＝2；
②当 l 的斜率 k 存在时，设 l 的方程为 y＋1＝k(x－2)，
即 kx－y－2k－1＝0.
由点到直线距离公式得
|－2k－1|
1＋k2 ＝2，
∴k＝
3
4，∴l 的方程为 3x－4y－10＝0.
故所求 l 的方程为 x＝2 或 3x－4y－10＝0.
(2)易知过 P 点与原点 O 距离最大的直线是过 P 点且与 PO 垂直的直线，由 l⊥OP 得 klkOP- 5 -
＝－1，所以 kl＝－
1
kOP＝2.
由直线方程的点斜式得 y＋1＝2(x－2)，
即 2x－y－5＝0.
即直线 2x－y－5＝0 是过 P 点且与原点 O 距离最大的直线，
最大距离为
|－5|
5 ＝ 5.
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