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2.1.1 平面 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
[基础巩固](25 分钟，60 分)
一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)
1．若点 M 在直线 a 上，a 在平面 α 内，则 M，a，α 间的关系可记为( )
A．M∈a，a∈α B．M∈a，a⊂α
C．M⊂a，a⊂α D．M⊂a，a∈α
解析：根据点与直线、直线与平面之间位置关系的符号表示，可知 B 正确．
答案：B
2．给出下面四个命题：
①三个不同的点确定一个平面；
②一条直线和一个点确定一个平面；
③空间两两相交的三条直线确定一个平面；
④两条平行直线确定一个平面．
其中正确的命题是( )
A．① B．②
C．③ D．④
解析：对于①，三个不共线的点确定一个平面，故错；对于②，一条直线和直线外一个
点确定一个平面，故错；对于③，空间两两相交的三条直线，且不能交于同一点，确定一个
平面，故错；对于④，两条平行直线确定一个平面，正确．
答案：D
3．下面空间图形画法错误的是( )
解析：画立体图时，被平面遮住的部分画成虚线或不画．
答案：D
4．给出以下四个命题：- 2 -
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点 A，B，C，D 共面，点 A，B，C，E 共面，则点 A，B，C，D，E 共面；
③若直线 a，b 共面，直线 a，c 共面，则直线 b，c 共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不
共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确；②如图，两个相交平面有三个公共点 A，B，
C，但 A，B，C，D，E 不共面；③显然不正确；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可
以不在一个平面上，如空间四边形．
答案：B
5．在空间四边形 ABCD 中，在 AB，BC，CD，DA 上分别取 E，F，G，H 四点，如果 GH，EF
交于一点 P，则( )
A．P 一定在直线 BD 上
B．P 一定在直线 AC 上
C．P 在直线 AC 或 BD 上
D．P 既不在直线 BD 上，也不在 AC 上
解析：由题意知 GH⊂平面 ADC.因为 GH，EF 交于一点 P，所以 P∈平面 ADC.同理，P∈平
面 ABC.因为平面 ABC∩平面 ADC＝AC，由公理 3 可知点 P 一定在直线 AC 上．
答案：B
二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)
6．设平面 α 与平面 β 相交于直线 l，直线 a⊂α，直线 b⊂β，a∩b＝M，则点 M 与 l
的位置关系为________．
解析：因为 a∩b＝M，a⊂α，b⊂β，所以 M∈α，M∈β.又平面 α 与平面 β 相交于直
线 l，所以点 M 在直线 l 上，即 M∈l.
答案：M∈l
7．给出以下命题：①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；②三条两两相交的
直线在同一平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个
平面．其中正确命题的个数是________．
解析：空间中和一条直线都相交的两条直线不一定在同一平面内，故①错；若三条直线
相交于一点时，不一定在同一平面内，如长方体一角的三条线，故②错；若两平面相交时，- 3 -
也可有三个不同的公共点，故③错；若三条直线两两平行且在同一平面内，则只有一个平面，
故④错．
答案：0
8．把下列符号叙述所对应的图形的序号填在题后的横线上：
(1)A∉α，a⊂α：________.
(2)α∩β＝a，P∉α，且 P∉β：________.
(3)a⊄α，a∩α＝A：________.
(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O：________.
答案：(1)③ (2)④ (3)① (4)②
三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)
9．完成下列各题：
(1)将下列文字语言转换为符号语言．
①点 A 在平面 α 内，但不在平面 β 内；
②直线 a 经过平面 α 外一点 M；
③直线 l 在平面 α 内，又在平面 β 内(即平面 α 和平面 β 相交于直线 l)．
(2)将下列符号语言转换为图形语言．
①a⊂α，b∩α＝A，A∉a；
②α∩β＝c，a⊂α，b⊂β，a∥c，b∩c＝P.
解析：(1)①A∈α，A∉β.
②M∈a，M∉α.
③α∩β＝l.
(2)①
②
10．在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，点 M、N、E、F 分别是棱 CD、AB、DD1、AA1 上的点，
若 MN 与 EF 交于点 Q，求证：D、A、Q 三点共线．- 4 -
证明：∵MN∩EF＝Q，∴Q∈直线 MN，Q∈直线 EF，
∵M∈直线 CD，N∈直线 AB，CD⊂平面 ABCD，AB⊂平面 ABCD，
∴M、N∈平面 ABCD，∴MN⊂平面 ABCD，
∴Q∈平面 ABCD.
同理，EF⊂平面 ADD1A1，∴Q∈平面 ADD1A1，
又∵平面 ABCD∩平面 ADD1A1＝AD，
∴Q∈直线 AD，即 D，A，Q 三点共线．
[能力提升](20 分钟，40 分)
11．用一个平面截正方体所得的截面图形不可能是( )
A．六边形 B．五边形
C．菱形 D．直角三角形
解析：可用排除法，正方体的截面图形可能是六边形、五边形、菱形，故选 D.
答案：D
12．平面 α，β 相交，在 α，β 内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定
________个平面．
解析：如果这四点在同一平面内，那么确定一个平面；如果这四点不共面，则任意三点
可确定一个平面，所以可确定四个．
答案：1 或 4
13．如图所示，已知直线 a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：直线 a，b，c
和 l 共面．
证明：∵a∥b，∴a，b 确定一个平面 α.
∵A∈a，B∈b，∴A∈α，B∈α.
则 a，b，l 都在平面 α 内，即 b 在 a，l 确定的平面内．
同理可证 c 在 a，l 确定的平面内．
∵过 a 与 l 只能确定一个平面，
∴a，b，c，l 共面于 a，l 确定的平面．- 5 -
14．如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 为 AB 的中点，F 为 AA1 的中点．求证：
CE，D1F，DA 三线交于一点．
证明：连接 EF，D1C，A1B，
因为 E 为 AB 的中点，F 为 AA1 的中点，
所以 EF 綊
1
2A1B.
又因为 A1B 綊 D1C，
所以 EF 綊
1
2D1C，
所以 E，F，D1，C 四点共面，
可设 D1F∩CE＝P.
又 D1F⊂平面 A1D1DA，CE⊂平面 ABCD，
所以点 P 为平面 A1D1DA 与平面 ABCD 的公共点．
又因为平面 A1D1DA∩平面 ABCD＝DA，
所以据公理 3 可得 P∈DA，即 CE，D1F，DA 三线交于一点．
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