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4.1.2 圆的一般方程
[基础巩固](25 分钟，60 分)
一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)
1．如果 x2＋y2－2x＋y＋k＝0 是圆的方程，则实数 k 的取值范围是( )
A．(－∞，5) B.(－∞，
5
4)
C.(－∞，
3
2) D.(3
2，＋∞)
解析：由(－2)2＋12－4k>0，得 k<
5
4.
答案：B
2．经过圆 x2＋2x＋y2＝0 的圆心 C，且与直线 x＋y＝0 垂直的直线方程是( )
A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0
解析：x2＋2x＋y2＝0 可化为(x＋1)2＋y2＝1，
∴圆心为 C(－1,0)．
又所求直线与直线 x＋y＝0 垂直，
∴所求直线的斜率为 1，
故所求直线的方程为 y＝x＋1，
即 x－y＋1＝0.
答案：A
3．方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0 表示的图形是( )
A．两个点 B．四个点
C．两条直线 D．四条直线
解析：方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0，
则Error!即Error!
解得Error!或Error!或Error!或Error!
所以方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0 表示的图形是(2,2)，(－2,2)，(2，－2)，(－2，－2)
四个点．
答案：B
4．已知圆 C：x2＋y2＋mx－4＝0 上存在两点关于直线 x－y＋3＝0 对称，则实数 m 的值- 2 -
为( )
A．8 B．－4
C．6 D．无法确定
解析：圆上存在关于直线 x－y＋3＝0 对称的两点，则直线 x－y＋3＝0 过圆心
(－
m
2，0)，即－
m
2＋3＝0，∴m＝6.
答案：C
5．若圆 x2＋y2－2x－4y＝0 的圆心到直线 x－y＋a＝0 的距离为
2
2 ，则 a 的值为( )
A．－2 或 2 B.
1
2或
3
2
C．2 或 0 D．－2 或 0
解析：配方得(x－1)2＋(y－2)2＝5，圆心为(1,2)，圆心到直线的距离 d＝
|1－2＋a|
2 ＝
2
2 ，所以 a＝2 或 0，故选 C.
答案：C
二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)
6 ． 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 经 过 三 点 (0,0) ， (1,1) ， (2,0) 的 圆 的 方 程 为
________________．
解析：本题主要考查圆的方程．易知以(0,0)，(1,1)，(2,0)为顶点的三角形为等腰直
角三角形，其外接圆的圆心为(1,0)，半径为 1，所以所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝1.
答案：(x－1)2＋y2＝1
7．若 l 是经过点 P(－1,0)和圆 x2＋y2＋4x－2y＋3＝0 的圆心的直线，则 l 在 y 轴上的
截距是________．
解析：圆心C(－2,1)，则直线 l 的斜率 k＝
1－0
－2＋1＝－1，所以直线 l 的方程是 y－0＝－
(x＋1)，即 y＝－x－1，所以 l 在 y 轴上的截距是－1.
答案：－1
8．过圆 x2＋y2－6x＋4y－3＝0 的圆心，且平行于直线 x＋2y＋11＝0 的直线的方程是
________________________．
解析：由题意知圆心为(3，－2)，设所求直线的方程为 x＋2y＋m＝0(m≠11)，将圆心
(3，－2)代入，得 3－4＋m＝0，∴m＝1，故所求直线的方程为 x＋2y＋1＝0.
答案：x＋2y＋1＝0
三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)
9．求经过点 A(6,5)，B(0,1)，且圆心在直线 3x＋10y＋9＝0 上的圆的方程．- 3 -
解析：设圆的方程是 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则其圆心坐标为(－
D
2，－
E
2)，依题意有
Error!
即Error!解得Error!
因此圆的方程是 x2＋y2－14x＋6y－7＝0.
10．若方程 x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0 表示圆，求：
(1)实数 m 的取值范围；
(2)圆心坐标和半径．
解析：(1)据题意知
D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，
即 4m2＋4－4m2－20m>0，解得 m<
1
5，
故 m 的取值范围为(－∞，
1
5).
(2)将方程 x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0 写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，
故圆心坐标为(－m,1)，半径 r＝ 1－5m.
[能力提升](20 分钟，40 分)
11．[2019·北京市综合能力测试]已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1 过点 A(1,0)，则圆 C
的圆心的轨迹是( )
A．点 B．直线
C．线段 D．圆
解析：∵圆 C：(x－a)2＋(y－b)2＝1 过点 A(1,0)，
∴(1－a)2＋(0－b)2＝1，即(a－1)2＋b2＝1，
∴圆 C 的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心，1 为半径长的圆．
答案：D
12．如果圆的方程为 x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆面积最大时，该圆的方程为
____________．
解析：将圆的方程配方，得 (x＋
k
2 )2＋(y＋1)2＝－
3
4k2＋1，∵r2＝1－
3
4k2≤1，∴rmax＝
1，此时 k＝0.
故圆的方程为 x2＋(y＋1)2＝1.
答案：x2＋(y＋1)2＝1
13．求经过点 A(1， 5)和 B(2，－2 2)，且圆心在 x 轴上的圆的方程．
解析：设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．- 4 -
因为圆心在 x 轴上，所以－
E
2＝0，即 E＝0.
又圆过点 A(1， 5)和 B(2，－2 2)，
所以Error!
即Error!解得Error!
故所求圆的方程为 x2＋y2－6x＝0.
14．已知线段 AB 的端点 B 的坐标为(8,6)，端点 A 在圆 C：x2＋y2＋4x＝0 上运动，求线
段 AB 的中点 P 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．
解析：设点P 的坐标为(x，y)，点 A 的坐标为(x0，y0)，由于点 B 的坐标为(8,6)，且 P
为线段 AB 的中点，∴x＝
x0＋8
2 ，
y＝
y0＋6
2 ，
于是有 x0＝2x－8，y0＝2y－6.
∵点 A 在圆 C 上运动，∴点 A 的坐标满足方程 x2＋y2＋4x＝0，
即 x20＋y20＋4x0＝0，
∴(2x－8)2＋(2y－6)2＋4(2x－8)＝0，化简整理，得 x2＋y2－6x－6y＋17＝0，即(x－3)2
＋(y－3)2＝1，
∴点 P 的轨迹是以(3,3)为圆心，1 为半径长的圆．
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