- 1 -
2.3.2 平面与平面垂直的判定
[基础巩固](25 分钟，60 分)
一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)
1．在空间四边形 ABCD 中，AB＝BC，AD＝CD，E 为对角线 AC 的中点，下列判断正确的是
( )
A．平面 ABD⊥平面 BDC B．平面 ABC⊥平面 ABD
C．平面 ABC⊥平面 ADC D．平面 ABC⊥平面 BED
解析：由已知条件得 AC⊥DE，AC⊥BE，于是有 AC⊥平面 BED，又 AC⊂平面 ABC，所以有
平面 ABC⊥平面 BED 成立．
答案：D
2．设 m，n 是不同的直线，α，β 是不同的平面，已知 m∥α，n⊥β，下列说法正确
的是( )
A．若 m⊥n，则 α⊥β B．若 m∥n，则 α⊥β
C．若 m⊥n，则 α∥β D．若 m∥n，则 α∥β
解析：若m⊥n，则 α 与 β 可以平行或相交，故 A，C 错误；若 m∥n，则 α⊥β，D 错，
选 B.
答案：B
3．如图，已知 PA 垂直于△ABC 所在平面，且∠ABC＝90°，连接 PB，PC，则图形中互
相垂直的平面有( )
A．一对 B．两对
C．三对 D．四对
解析：由 PA⊥平面 ABC 得平面 PAB⊥平面 ABC，
平面 PAC⊥平面 ABC，且 PA⊥BC，
又∠ABC＝90°，
所以 BC⊥平面 PAB，
从而平面 PBC⊥平面 PAB.故选 C.- 2 -
答案：C
4.
如图所示，在三棱锥 P－ABC 中，PA⊥平面 ABC，∠BAC＝90°，则二面角 B－PA－C 的大
小为( )
A．90° B．60°
C．45° D．30°
解析：∵PA⊥平面 ABC，BA，CA⊂平面 ABC，
∴BA⊥PA，CA⊥PA，因此，∠BAC 即为二面角 B－PA－C 的平面角．又∠BAC＝90°，故
选 A.
答案：A
5．如图，设 P 是正方形 ABCD 外一点，且 PA⊥平面 ABCD，则平面 PAB 与平面 PBC、平面
PAD 的位置关系是( )
A．平面 PAB 与平面 PBC、平面 PAD 都垂直
B．它们两两垂直
C．平面 PAB 与平面 PBC 垂直，与平面 PAD 不垂直
D．平面 PAB 与平面 PBC、平面 PAD 都不垂直
解析：∵PA⊥平面 ABCD，BC，AD⊂平面 ABCD，
∴PA⊥BC，PA⊥AD.
又∵BC⊥AB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面 PAB.
∵BC⊂平面 PBC，∴平面 PBC⊥平面 PAB.
由 AD⊥PA，AD⊥AB，PA∩AB＝A，得 AD⊥平面 PAB.
∵AD⊂平面 PAD，∴平面 PAD⊥平面 PAB.显然平面 PAD 与平面 PBC 不垂直．故选 A.
答案：A
二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)
6．已知四棱锥 P－ABCD 中，ABCD 为正方形，PA⊥平面 ABCD，则平面 PBD 与平面 PAC 的
位置关系是________________________．- 3 -
解析：因为 PA⊥平面 ABCD，所以 PA⊥BD，在正方形 ABCD 中，BD⊥AC.又 AC∩PA＝A，
所以 BD⊥平面 PAC.又 BD⊂平面 PBD，所以平面 PBD⊥平面 PAC.
答案：平面 PBD⊥平面 PAC
7．正四棱锥的底面边长为 2，侧棱长为 3，则侧面与底面所成二面角的大小为
________．
解析：如图，设 S 在底面内的射影为 O，
取 AB 的中点 M，
连接 OM，SM，
则∠SMO 为所求二面角的平面角，
在 Rt△SOM 中，
OM＝
1
2AD＝1，
SM＝ SA2－
1
4AB2＝ 2，
所以 cos∠SMO＝
OM
SM＝
2
2 ，
所以∠SMO＝45°.
答案：45°
8．已知 a，b，c 为三条不同的直线，α，β，γ 为三个不同的平面，给出下列命题：
①若 α⊥β，β⊥γ，则 α∥γ；②若 a⊂α，b⊂β，c⊂β，a⊥b，a⊥c，则 α⊥β；
③若 a⊥α，b⊂β，a∥b，则 α⊥β.
其中正确的命题是________(填序号)．
解析：如图，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，记平面 ADD1A1 为 α，平面 ABCD 为 β，平面
ABB1A1 为 γ，显然①错误；②只有在直线 b，c 相交的情况下才成立；易知③正确．
答案：③
三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)- 4 -
9．如图，AB 是圆的直径，PA 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点．
求证：平面 PAC⊥平面 PBC.
证明：由 AB 是圆的直径，得 AC⊥BC.
由 PA⊥平面 ABC，BC⊂平面 ABC，得 PA⊥BC.
又 PA∩AC＝A.PA⊂平面 PAC，AC⊂平面 PAC，
所以 BC⊥平面 PAC.
因为 BC⊂平面 PBC，
所以平面 PBC⊥平面 PAC.
10．如图所示，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，PA⊥平面 ABCD，且 PA
＝ 3，AB＝1，BC＝2，AC＝ 3，求二面角 P－CD－B 的大小．
解析：∵AB＝1，BC＝2，AC＝ 3，∴BC2＝AB2＋AC2，
∴∠BAC＝90°，∴∠ACD＝90°，即 AC⊥CD.
又∵PA⊥平面 ABCD，CD⊂平面 ABCD，∴PA⊥CD.
又∵PA∩AC＝A，∴CD⊥平面 PAC.
又∵PC⊂平面 PAC，∴PC⊥CD，
∠PCA 是二面角 P－CD－B 的平面角．
在 Rt△PAC 中，PA⊥AC，PA＝ 3，AC＝ 3，
∴∠PCA＝45°.
故二面角 P－CD－B 的大小为 45°.
[能力提升](20 分钟，40 分)
11．如图，AB 是圆的直径，PA 垂直于圆所在的平面，C 是圆上一点(不同于 A，B)且 PA＝- 5 -
AC，则二面角 P－BC－A 的大小为( )
A．60°
B．30°
C．45°
D．15°
解析：易得BC⊥平面 PAC，所以∠PCA 是二面角 P－BC－A 的平面角，在 Rt△PAC 中，PA
＝AC，所以∠PCA＝45°.故选 C.
答案：C
12.
如图，平面 ABC⊥平面 BDC，∠BAC＝∠BDC＝90°，且 AB＝AC＝a，则 AD＝________.
解析：取 BC 中点 M，则 AM⊥BC，
由题意得 AM⊥平面 BDC，
∴△AMD 为直角三角形，
AM＝MD＝
2
2 a.
∴AD＝
2
2 a× 2＝a.
答案：a
13．如图，E，F 分别为直角三角形 ABC 的直角边 AC 和斜边 AB 的中点，沿 EF 将△AEF
折起到△A′EF 的位置，连接 A′B，A′C，P 为 A′C 的中点．
(1)求证：EP∥平面 A′FB；
(2)求证：平面 A′EC⊥平面 A′BC.
证明：(1)因为 E，P 分别为 AC，A′C 的中点，
所以 EP∥A′A，又 A′A⊂平面 AA′B，- 6 -
而 EP⊄平面 AA′B，
所以 EP∥平面 AA′B，即 EP∥平面 A′FB.
(2)因为 E，F 分别为直角三角形 ABC 的直角边 AC 和斜边 AB 的中点，所以 EF∥BC.因为
BC⊥AC，所以 EF⊥AE，
故 EF⊥A′E，所以 BC⊥A′E.
而 A′E 与 AC 相交，所以 BC⊥平面 A′EC.
又 BC⊂平面 A′BC，所以平面 A′EC⊥平面 A′BC.
14．在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆 O 的直径，EF 是上底面圆 O′的直径，FB 是
圆台的一条母线．已知 EF＝FB＝
1
2AC＝2 3，AB＝BC，求二面角 F－BC－A 的余弦值．
解析：如图所示，连接 OB，OO′，
则四边形 OO′FB 为直角梯形．过点 F 作 FM⊥OB 于点 M，
则有 FM∥OO′.
又 OO′⊥平面 ABC，所以 FM⊥平面 ABC.
可得 FM＝ FB2－BM2＝3.
过点 M 作 MN⊥BC 于点 N，连接 FN.
可得 FN⊥BC，
从而∠FNM 为二面角 F－BC－A 的平面角．
又 AB＝BC，AC 是圆 O 的直径，
所以 MN＝BMsin45°＝
6
2 ，
从而 FN＝
42
2 ，可得 cos∠FNM＝
MN
FN＝
7
7 .
所以二面角 F－BC－A 的余弦值为
7
7 .
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