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2.2.3 直线与平面平行的性质 2.2.4 平面与平面平行的性质
[基础巩固](25 分钟，60 分)
一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)
1．[2019·孝感校级单元测试]如果直线 a 平行于平面 α，则( )
A．平面 α 内有且只有一条直线与 a 平行
B．平面 α 内有无数条直线与 a 平行
C．平面 α 内不存在与 a 垂直的直线
D．平面 α 内有且只有一条与 a 垂直的直线
解析：过直线 a 可作无数个平面与 α 相交，这些交线都与 a 平行，所以在平面 α 内与
直线 a 平行的直线有无数条，故 A 不正确，B 正确．平面内存在与 a 异面垂直的直线，且有无
数条，故 C，D 不正确．
答案：B
2.
如图所示，长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E、F 分别是棱 AA1 和 BB1 的中点，过 EF 的平面 EFGH
分别交 BC 和 AD 于 G、H，则 HG 与 AB 的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行和异面
解析：∵E、F 分别是 AA1、BB1 的中点，∴EF∥AB.又 AB⊄平面 EFGH，EF⊂平面 EFGH，∴AB∥
平面 EFGH.又 AB⊂平面 ABCD，平面 ABCD∩平面 EFGH＝GH，∴AB∥GH.
答案：A
3．已知 a，b 表示两条不同的直线，α，β 表示两个不重合的平面，给出下列四个命题：
①若 α∥β，a⊂α，b⊂β，则 a∥b；②若 a∥b，a∥α，b∥β，则 α∥β；③若
α∥β，a⊂α，则 a∥β；④若 a∥α，a∥β，则 α∥β.
其中正确的个数为 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：对于①，a∥b 或 a 与 b 是异面直线，故①错；对于②，也可能是 α 与 β 相交，- 2 -
故②错；对于④，同样 α 与 β 也可能相交，故④错．只有③对．
答案：A
4．[2019·广州校级课时练]如图，四棱锥 P－ABCD 中，M，N 分别为 AC，PC 上的点，且
MN∥平面 PAD，则( )
A．MN∥PD
B．MN∥PA
C．MN∥AD
D．以上均有可能
解析：四棱锥 P－ABCD 中，M，N 分别为 AC，PC 上的点，且 MN∥平面 PAD，因为 MN⊂平
面 PAC，平面 PAC∩平面 PAD＝PA，由直线与平面平行的性质定理可得，MN∥PA.
答案：B
5．如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形 EFGH 为截面，长方形 ABCD 为底面，
则四边形 EFGH 的形状为( )
A．梯形
B．平行四边形
C．可能是梯形也可能是平行四边形
D．不确定
解析：因为平面与长方体的两组相对的平面分别相交，根据面面平行的性质定理可知，
两组交线分别平行，即 EF∥HG，EH∥FG，所以四边形 EFGH 为平行四边形，故选 B.
答案：B
二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)
6．若空间四边形 ABCD 的两条对角线 AC、BD 的长分别是 8,12，过 AB 的中点 E 作平行于
BD、AC 的截面四边形的周长为________．
解析：截面四边形为平行四边形，则 l＝2×(4＋6)＝20.
答案：20- 3 -
7．如图，在正四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F，G，H 分别是棱 CC1，C1D1，D1D，DC 的中
点，N 是 BC 的中点，点 M 在四边形 EFGH 的边上及其内部运动，则 M 满足条件________时，
有 MN∥平面 B1BDD1.
解析：连接 FH，由题意知，HN∥平面 B1BDD1，FH∥平面 B1BDD1，且 HN∩FH＝H，所以平
面 NHF∥平面 B1BDD1.所以当 M 在线段 HF 上运动时，有 MN∥平面 B1BDD1.故填 M∈线段 HF.
答案：M∈线段 HF.
8．在棱长为 a 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M，N 分别是棱 A1B1，B1C1 的中点，P 是棱 AD
上一点，AP＝
a
3，过 P，M，N 的平面与棱 CD 交于 Q，则 PQ＝________.
解析：由线面平行的性质知 MN∥PQ∥AC，所以
PQ
AC＝
2
3，又 AC＝ 2a，所以 PQ＝
2 2
3 a.
答案：
2 2
3 a
三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)
9．已知 E，F，G，H 为空间四边形 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 上的点，且 EH∥FG.求证：
EH∥BD.
证明：因为 EH∥FG，EH⊄平面 BCD，
FG⊂平面 BCD，
所以 EH∥平面 BCD，
又因为 EH⊂平面 ABD，平面 BCD∩平面 ABD＝BD，
所以 EH∥BD.
10．正方形 ABCD 与正方形 ABEF 所在的平面相交于 AB，在 AE、BD 上各有一点 P、Q，且- 4 -
AP＝DQ，求证：PQ∥平面 BCE.
证明：证法一(线线平行⇒线面平行) 如图 1 所示，
作 PM∥AB，交 BE 于 M，作 QN∥AB 交 BC 于 N，连接 MN.
∵正方形 ABCD 和正方形 ABEF 有公共边 AB，∴AE＝BD.
又 AP＝DQ，∴PE＝QB，又 PM∥AB∥QN，∴
PM
AB＝
PE
AE＝
QB
BD，
QN
DC＝
BQ
BD，
∴
PM
AB＝
QN
DC，又 AB 綊 DC，∴PM∥QN 且 PM＝QN，
∴四边形 PMNQ 为平行四边形，∴PQ∥MN，
又 MN⊂平面 BCE，PQ⊄平面 BCE，∴PQ∥平面 CBE.
证法二(面面平行⇒线面平行) 如图 2，在平面 ABEF 内过点 P 作 PM∥BE 交 AB 于点 M，
连接 QM，又 PM⊄平面 BCE，BE⊂平面 BCE，∴PM∥平面 BCE，
AP
PE＝
AM
MB.又 AE＝BD，AP＝DQ，∴PE
＝BQ，∴
AP
PE＝
DQ
BQ，∴
AM
MB＝
DQ
QB，∴MQ∥AD，又 AD∥BC，∴MQ∥BC，MQ⊄平面 BCE，BC⊂平面 BCE，
∴MQ∥平面 BCE，又 PM∩MQ＝M，∴平面 PMQ∥平面 BCE，又 PQ⊂平面 PMQ，∴PQ∥平面 BCE.
[能力提升](20 分钟，40 分)
11．在空间四边形 ABCD 中，E，F，G，H 分别是 AB，BC，CD，DA 上的点，当 BD∥平面 EFGH
时，下列结论正确的是( )
A．E，F，G，H 一定是各边的中点
B．G，H 一定是 CD，DA 的中点
C．BE：EA＝BF：FC，且 DH：HA＝DG：GC
D．AE：EB＝AH：HD，且 BF：FC＝DG：GC
解析：由 BD∥平面 EFGH，得 BD∥EH，BD∥FG，则 AE：EB＝AH：HD，且 BF：FC＝- 5 -
DG：GC.
答案：D
12．如图，P 是△ABC 所在平面外一点，平面 α∥平面 ABC，α 分别交线段 PA，PB，PC
于 A′ ， B′ ， C′ ， 若 PA′ ： AA′ ＝ 2 ： 3 ， 则 △A′B′C′ 与 △ABC 面 积 的 比 为
________．
解析：由题意知，△A′B′C′∽△ABC，从而
S △ A′B′C′
S △ ABC ＝(PA′
PA )2＝(2
5 )2＝
4
25.
答案：4：25
13.
如图，已知 P 是▱ABCD 所在平面外一点，M，N 分别是 AB，PC 的中点，平面 PAD∩平面 PBC
＝l.
(1)求证：l∥BC；
(2)MN 与平面 PAD 是否平行？试证明你的结论．
解析：(1)证明：因为 BC∥AD，BC⊄平面 PAD，AD⊂平面 PAD，
所以 BC∥平面 PAD.
又因为 BC⊂平面 PBC，平面 PBC∩平面 PAD＝l，
所以 l∥BC.
(2)平行．取 PD 的中点 E，连接 AE，NE，
可以证得 NE 綊 AM.
所以四边形 AMNE 为平行四边形，
所以 MN∥AE.- 6 -
又因为 AE平面 PAD，MN平面 PAD，
所以 MN∥平面 PAD.
14.
如图所示，四边形 EFGH 为空间四边形 ABCD 的一个截面，若截面为平行四边形．
(1)求证：AB∥平面 EFGH，CD∥平面 EFGH；
(2)若 AB＝4，CD＝6，求四边形 EFGH 周长的取值范围．
解析：(1)证明：∵四边形 EFGH 为平行四边形，∴EF∥HG.
∵HG⊂平面 ABD，EF⊄平面 ABD，∴EF∥平面 ABD.
∵EF⊂平面 ABC，平面 ABD∩平面 ABC＝AB，
∴EF∥AB，AB⊄平面 EFGH，EF⊂平面 EFGH.
∴AB∥平面 EFGH.同理可证，CD∥平面 EFGH.
(2)设 EF＝x(0
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