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1.3.2 球的体积和表面积
[基础巩固](25 分钟，60 分)
一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)
1．已知两个球的半径之比为 1：3，那么这两个球的表面积之比为( )
A．1：9 B．1：27
C．1：3 D．1：1
解析：设两球的半径分别为 r1，r2，表面积分别为 S1，S2，
∵r1：r2＝1：3，∴S1：S2＝4πr21：4πr22＝r21：r22＝1：9.故选 A.
答案：A
2．[2019·安徽省合肥市检测]平面α 截球 O 所得截面圆的半径为 1，球心 O 到平面 α
的距离为 2，则此球的体积为( )
A. 6π B．4 3π
C．4 6π D．6 3π
解析：球的半径 R＝ 12＋ 22＝ 3，所以球的体积 V＝
4
3π×( 3)3＝4 3π.
答案：B
3．两球的体积之和是 12π，它们的大圆周长之和是 6π，则大球与小球的半径之差是
( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：设大球半径为 R，小球半径为 r，所以Error!得Error!，所以 R－r＝2－1＝1.
答案：A
4．已知一个正方体的体积是 8，则这个正方体的内切球的表面积是( )
A．8π B．6π
C．4π D．π
解析：设该正方体的棱长为a，内切球的半径为 r，则 a3＝8，∴a＝2，∴正方体的内切
球直径为 2，r＝1，∴内切球的表面积 S＝4πr2＝4π.
答案：C
5．半径为3 36
π的球的体积与一个长、宽分别为 6,4 的长方体的体积相等，则长方体的
表面积为( )- 2 -
A．44 B．54
C．88 D．108
解析：由题意知，球的半径 R＝3 36
π，故球的体积为
4
3πR3＝
4
3π·
36
π＝48，则长方体的
高为 48÷6÷4＝2，故长方体的表面积为 2×(6×4＋4×2＋6×2)＝88.
答案：C
二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)
6．已知三棱锥 P－ABC 中，PA⊥底面 ABC，PA＝3，底面 ABC 是边长为 2 的正三角形，三
棱锥 P－ABC 的体积为________．
解析：依题意有，三棱锥 P－ABC 的体积
V＝
1
3S△ABC·|PA|＝
1
3×
3
4 ×22×3＝ 3.
答案： 3
7．把直径分别为 6 cm,8 cm,10 cm 的三个铁球熔成一个大铁球，则这个大铁球的半径
为________ cm.
解析：设大铁球的半径为 R cm，由
4
3πR3＝
4
3π×(6
2 )3＋
4
3π×(8
2 )3＋
4
3π×
(10
2 )3，得 R3＝216，得 R＝6.
答案：6
8．湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为 6 cm，深为 1
cm 的空穴，则该球半径是________ cm，表面积是________ cm2.
解析：
设球心为 O，OC 是与冰面垂直的一条球半径，冰面截球得到的小圆圆心为 D，AB 为小圆
D 的一条直径，设球的半径为 R，则 OD＝(R－1) cm，
则(R－1)2＋32＝R2，
解之得 R＝5 cm，
所以该球表面积为
S＝4πR2＝4π×52＝100π(cm2)．
答案：5 100π
三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)- 3 -
9．若三个球的表面积之比为 1：4：9，求这三个球的体积之比．
解析：设三个球的半径分别为 R1，R2，R3，
∵三个球的表面积之比为 1：4：9，
∴4πR21：4πR22：4πR23＝1：4：9，即 R21：R22：R23＝1：4：9，
∴R1：R2：R3＝1：2：3，
∴V1：V2：V3＝
4
3πR31：
4
3πR32：
4
3πR33＝R31：R32：R33＝1：8：27.
10．已知球心 O 到过球面上三点 A，B，C 的截面的距离等于球半径的一半，且 AB＝BC＝
CA＝3 cm，求球的体积．
解析：如图所示，设过 A，B，C 三点的截面为圆 O′，连接 OO′，AO，AO′，
因为 AB＝BC＝CA＝3 cm，
所以 O′为正三角形 ABC 的中心，
且 AO′＝
3
3 AB＝ 3 cm.
设球的半径为 R，则 OO′＝
1
2R.
由球的截面性质，知△OO′A 为直角三角形，
所以 AO′＝ OA2－OO′2＝ R2－
1
4R2＝
3
2 R，所以 R＝2 cm.
所以 V 球＝
4
3πR3＝
32
3 π (cm3)．
[能力提升](20 分钟，40 分)
11．已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆
柱的体积为( )
A．π B.
3π
4
C.
π
2 D.
π
4
解析：设圆柱的底面半径为 r，球的半径为 R，且 R＝1，
由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，
r，R 及圆柱的高的一半构成直角三角形．- 4 -
∴r＝ 12－(1
2 )2＝
3
2 .
∴圆柱的体积为 V＝πr2h＝
3
4π×1＝
3π
4 .
故选 B.
答案：B
12．长方体的共顶点的三个侧面面积分别为 3、 5、 15，则它的外接球的表面积为
________．
解析：设长方体的有公共顶点的三条棱的长分别为x、y、z，则由已知得Error!解得Error!
所以球的半径 R＝
1
2 x2＋y2＋z2＝
3
2.所以 S 球＝4πR2＝9π.
答案：9π
13．有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，
第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．
解析：设正方体棱长为 a，三个球的半径依次为 R1，R2，R3，则有 2R1＝a，R1＝
a
2， 2a
＝2R2，R2＝
2
2 a， 3a＝2R3，R3＝
3
2 a，所以 R1：R2：R3＝1： 2： 3.所以 S1：
S2：S3＝R21：R22：R23＝1：2：3.
即这三个球的表面积之比为 1：2：3.
14．一个高为 16 的圆锥内接于一个体积为 972π 的球，在圆锥内又有一个内切球．求：
(1)圆锥的侧面积；
(2)圆锥内切球的体积．
解析：(1)如图所示，作出轴截面，则等腰三角形 SAB 内接于圆 O，而圆 O1 内切于
△SAB.
设圆 O 的半径为 R，则有
4
3πR3＝972π，
所以 R3＝729，R＝9，
所以 SE＝18.
又因为 SD＝16，所以 ED＝2.
连接 AE，因为 SE 是直径，
所以 SA⊥AE，SA2＝SD·SE＝16×18＝288，- 5 -
所以 SA＝12 2.
因为 AB⊥SD，所以 AD2＝SD·DE＝16×2＝32，AD＝4 2.
所以 S 圆锥侧＝π×4 2×12 2＝96π.
(2)设内切球 O1 的半径为 r，
因为△SAB 的周长为 2×(12 2＋4 2)＝32 2，
所以 S△SAB＝
1
2r×32 2＝
1
2×8 2×16，所以 r＝4.
所以内切球 O1 的体积 V 球＝
4
3πr3＝
256
3 π.
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