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2.1.1-2.2 空间中直线与直线之间的位置关系
[基础巩固](25 分钟，60 分)
一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)
1．一条直线与两条异面直线中的一条相交，则它与另一条的位置关系是( )
A．异面
B．平行
C．相交
D．可能相交、平行、也可能异面
解析：一条直线与两条异面直线中的一条相交，它与另一条的位置关系有三种：平行、
相交、异面，如下图所示．
答案：D
2．空间两个角 α，β 的两边分别对应平行且方向相同，若 α＝50°，则 β 等于( )
A．50° B．130°
C．40° D．50°或 130°
解析：由等角定理知 β 与 α 相等，故选 A.
答案：A
3.
如图，在空间四边形 ABCD 中，E，F 分别为 AB，BC 的中点，G，H 分别在边 CD，DA 上，
且满足 CG＝
1
2GD，DH＝2HA，则四边形 EFGH 为( )
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．梯形
解析：因为 E，F 分别为 AB，BC 的中点，- 2 -
所以 EF 綊
1
2AC，
又
DH
HA＝
2
1，
DG
GC＝
2
1，
所以
DH
HA＝
DG
GC，所以 HG 綊
2
3AC，
所以 EF∥HG 且 EF≠HG，
所以四边形 EFGH 为梯形．
答案：D
4．若直线 l1 和 l2 是异面直线，l1 在平面 α 内，l2 在平面 β 内，l 是平面 α 与平面 β
的交线，则下列命题正确的是( )
A．l 与 l1，l2 都不相交
B．l 与 l1，l2 都相交
C．l 至多与 l1，l2 中的一条相交
D．l 至少与 l1，l2 中的一条相交
解析：由直线 l1 和 l2 是异面直线可知 l1 与 l2 不平行，故 l1，l2 中至少有一条与 l 相
交．
答案：D
5．在正方体 ABCD－A1B1C1D1 的所有面对角线中，与 AB1 成异面直线且与 AB1 成 60°的有
( )
A．1 条 B．2 条
C．3 条 D．4 条
解析：
如图，△AB1C 是等边三角形，所以每个内角都为 60°，所以面对角线中，所有与 B1C 平
行或与 AC 平行的直线都与 AB1 成 60°角．所以异面的有 2 条．
又△AB1D1 也是等边三角形，同理满足条件的又有 2 条，共 4 条，故选 D.
答案：D
二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)
6.- 3 -
如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M，N 分别为棱 C1D1，C1C 的中点，有以下四个结论：
①直线 AM 与 CC1 是相交直线；
②直线 AM 与 BN 是平行直线；
③直线 BN 与 MB1 是异面直线；
④直线 AM 与 DD1 是异面直线．
其中正确的结论为________．(注：把你认为正确的结论的序号都填上)
解析：直线 AM 与 CC1 是异面直线，直线 AM 与 BN 也是异面直线，所以①②错误．点 B，
B1，N 在平面 BB1C1C 中，点 M 在此平面外，所以 BN，MB1 是异面直线．同理 AM，DD1 也是异面
直线．
答案：③④
7．已知正方体 ABCD－A′B′C′D′中：
(1)BC′与 CD′所成的角为__________________________；
(2)AD 与 BC′所成的角为__________________________．
解析：连结 BA′，则 BA′∥CD′，连结 A′C′，
则∠A′BC′就是 BC′与 CD′所成的角．由△A′BC′为正三角形．
∴∠A′BC′＝60°，
由 AD∥BC，∴AD 与 BC′所成的角就是∠C′BC.
易知∠C′BC＝45°.
答案：(1)60° (2)45°
8．如图，点 P，Q，R，S 分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线 PQ 与 RS
是异面直线的一个图是________(填序号)．
解析：①中 PQ∥RS，②中 RS∥PQ，④中 RS 和 PQ 相交．- 4 -
答案：③
三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)
9．在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M，N 分别为棱 A1A，C1C 的中点，求证：四边形 MBND1
为平行四边形．
证明：取 B1B 的中点 P，连接 C1P，MP.
因为 N 为 C1C 的中点，由正方体性质知 C1N 綊 PB，所以四边形 C1PBN 为平行四边形，所
以 C1P 綊 BN，(*)
又因为 M，P 分别为 A1A，B1B 的中点，有 MP 綊 A1B1.
又由正方体性质知 A1B1 綊 C1D1，
所以 MP 綊 C1D1，
所以四边形 D1MPC1 为平行四边形，
所以 C1P 綊 MD1.
由(*)知 MD1 綊 BN，
所以四边形 MBND1 为平行四边形．
10．在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，
(1)求 AC 与 A1D 所成角的大小；
(2)若 E，F 分别为 AB，AD 的中点，求 A1C1 与 EF 所成角的大小．
解析：(1)如图所示，连接 B1C，AB1，由 ABCD－A1B1C1D1 是正方体，
易知 A1D∥B1C，从而 B1C 与 AC 所成的角就是 AC 与 A1D 所成的角(或其补角)．
∵AB1＝AC＝B1C，
∴∠B1CA＝60°.
即 A1D 与 AC 所成的角为 60°.- 5 -
(2)如图所示，连接 BD，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，
AC⊥BD，AC∥A1C1，
∵E，F 分别为 AB，AD 的中点，
∴EF∥BD，∴EF⊥AC.
∴EF⊥A1C1.
即 A1C1 与 EF 所成的角为 90°.
[能力提升](20 分钟，40 分)
11．[2019·江西师大附中月考]已知a 和 b 是成 60°角的两条异面直线，则过空间一点
且与 a、b 都成 60°角的直线共有( )
A．1 条 B．2 条
C．3 条 D．4 条
解析：把 a 平移至 a′与 b 相交，其夹角为 60°.
60°角的补角的平分线 c 与 a、b 成 60°角．
过空间这一点作直线 c 的平行线即满足条件．
又在 60°角的“平分面”上还有两条满足条件，故选 C.
答案：C
12.
[2019·江西新余一中月考]如图所示，在空间四边形 ABCD 中，E，H 分别为 AB，AD 的中
点，F，G 分别是 BC，CD 上的点，且
CF
CB＝
CG
CD＝
2
3，若 BD＝6 cm，梯形 EFGH 的面积为 28 cm2，则
平行线 EH，FG 间的距离为________．
解析：EH＝3，FG＝6×
2
3＝4，
设 EH，FG 间的距离为 h，
则 S 梯形 EFGH＝
EH＋FGh
2 ＝28，得 h＝8 (cm)．
答案：8 cm
13.- 6 -
已知棱长为 a 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M，N 分别是棱 CD，AD 的中点．求证：∠DNM
＝∠D1A1C1.
证明：
如图，连接 AC，在△ACD 中，因为 M，N 分别是 CD，AD 的中点，
所以 MN 是△ADC 的中位线，
所以 MN∥AC，
由正方体的性质得 AC∥A1C1，
所以 MN∥A1C1.
又因为 ND∥A1D1，所以∠DNM 与∠D1A1C1 相等或互补．而∠DNM 与∠D1A1C1 均是直角三角
形的锐角，所以∠DNM＝∠D1A1C1.
14．如图，在空间四边形 ABCD 中，AD＝BC＝2，E，F 分别是 AB、CD 的中点，若 EF＝
3，求异面直线 AD、BC 所成角的大小．
解析：如图，取 BD 的中点 M，连接 EM，FM.
因为 E、F 分别是 AB、CD 的中点，
所以 EM 綊
1
2AD，FM 綊
1
2BC，则∠EMF 或其补角就是异面直线 AD、BC 所成的角．
因为 AD＝BC＝2，所以 EM＝MF＝1，
在等腰△MEF 中，过点 M，作 MH⊥EF 于 H，- 7 -
在 Rt△MHE 中，EM＝1，EH＝
1
2EF＝
3
2 ，
则 sin∠EMH＝
3
2 ，于是∠EMH＝60°，
则∠EMF＝2∠EMH＝120°.
所以异面直线 AD、BC 所成的角为∠EMF 的补角，即异面直线 AD、BC 所成的角为 60°.
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