9.5 多项式的因式分解
一．选择题（共 17 小题）
1．分解因式 b2（x﹣3）+b（x﹣3）的正确结果是（ ）
A．（x﹣3）（b2+b） B．b（x﹣3）（b+1）
C．（x﹣3）（b2﹣b） D．b（x﹣3）（b﹣1）
2．已知多项式 4x2﹣（y﹣z）2 的一个因式为 2x﹣y+z，则另一个因式是（ ）
A．2x﹣y﹣z B．2x﹣y+z C．2x+y+z D．2x+y﹣z
3．下列变形中，属因式分解的是（ ）
A．2x﹣2y＝2（x﹣y） B．（x+y）2＝x2+2xy+y2
C．（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣2y2 D．x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1
4．下列各等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．6a2b＝3a2•2b B．mx+nxy﹣xy＝mx+xy（n﹣1）
C．am﹣a＝a（m﹣1） D．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1
5．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．12a2b＝3a•4ab B．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9
C．4x2+8x﹣1＝4x（x+2）﹣1 D． ax﹣ ay＝ a（x﹣y）
6．下列多项式中，没有公因式的是（ ）
A．a（x+y）和（x+y） B．32（a+b）和（﹣x+b）
C．3b（x﹣y）和 2（x﹣y） D．（3a﹣3b）和 6（b﹣a）
7．下列各式中能用完全平方公式分解因式的有（ ）
①a2+2a+4；②a2+2a﹣1；③a2+2a+1；④﹣a2+2a+1；⑤﹣a2﹣2a﹣1；⑥a2﹣2a﹣1．
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
8．下列各式中，可用平方差公式分解因式的是（ ）
A．a2+b2 B．﹣a2﹣b2 C．﹣a2+b2 D．a2+（﹣b）2
9．下列变形是分解因式的是（ ）
A．6x2y2＝3xy•2xy B．m2﹣4＝（m+2）（m﹣2）
C．a2﹣b2+1＝（a+b）（a﹣b）+1 D．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9
10．下列从左到右的变形，其中是因式分解的是（ ）
A．（x+1）2＝x2+2x+1 B．x2﹣10x+25＝（x﹣5）2C．（x+7）（x﹣7）＝x2﹣49 D．x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1
11．﹣6xyz+3xy2﹣9x2y 的公因式是（ ）
A．﹣3x B．3xz C．3yz D．﹣3xy
12．多项式 x3y2﹣2x2y3+4xy4z 的公因式是（ ）
A．xy2 B．4xy C．xy2z D．xyz
13．把多项式 p2（a﹣1）+p（1﹣a）分解因式的结果是（ ）
A．（a﹣1）（p2+p） B．（a﹣1）（p2﹣p）
C．p（a﹣1）（p﹣1） D．p（a﹣1）（p+1）
14．下列多项式能用完全平方公式分解的是（ ）
A．x2﹣2x﹣ B．（a+b）（a﹣b）﹣4ab
C．a2+ab+ D．y2+2y﹣1
15．下列多项式中，可以用平方差公式分解因式的是（ ）
A．x2+1 B．﹣x2+1 C．x2﹣2 D．﹣x2﹣1
16．下列从左到右的变形：
（1）3xy+6y＝3y（x+2）；
（2）a2﹣a+1＝（a﹣1）2；
（3）y3﹣4y＝y（y2﹣4）；
（4）﹣x2﹣9y2＝﹣（x+3y）（x﹣3y）；
其中分解因式正确的有（ ）个．
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
17．在实数范围内分解因式 x5﹣64x 正确的是（ ）
A．x（x4﹣64） B．x（x2+8）（x2﹣8）
C．x（x2+8）（x+2 ）（x﹣2 ） D．x（x+2 ）3（x﹣2 ）
二．填空题（共 12 小题）
18．若 x2﹣ax﹣1 可以分解为（x﹣2）（x+b），则 a＝ ，b＝ ．
19．因式分解：100﹣4a2＝ ．
20．因式分解的主要方法有： ．
21．若多项式 x2﹣x﹣20 分解为（x﹣a）（x﹣b），且 a＞b，则 a＝ ，b＝ ．
22．若 x﹣3y＝5，则 x2﹣3xy﹣15y＝ ．23．x（a+b）+y（a+b）＝ ．
24．因式分解：
a2+a+ ＝ ；
1﹣9y2＝ ．
25．已知 x2﹣y2＝69，x+y＝3，则 x﹣y＝ ．
26．分解因式：a3﹣ab2＝ ；3a2﹣3＝ ．
27．因式分解：（x﹣3）（x+4）+3x＝ ．
28．分解因式：x2﹣5xy+6y2＝ ．
29．在实数范围内分解因式：2x2+3xy﹣y2＝ ．
三．解答题（共 19 小题）
30．已 a2+b2﹣2a+6b+10＝0，求 的值．
31．利用因式分解计算：（1﹣ ）（1﹣ ）（1﹣ ）…（1﹣ ）（1﹣ ）…（1﹣
）
32．如图，在一块边长为 a 厘米的正方形纸板上，在正中央剪去一个边长为 b 厘米的正方形，
当 a＝6.25，b＝3.75 时，请利用因式分解的知识计算阴影部分的面积．
33．已知 x2+x﹣1＝0，求 x3+2x2+3 的值．
34．如果一个自然数能表示为两个自然数的平方差，那么称这个自然数为智慧数，例如：16
＝52﹣32，16 就是一个智慧数，小明和小王对自然数中的智慧数进行了如下的探索：
小明的方法是一个一个找出来的：
0＝02﹣02，1＝12﹣02，3＝22﹣12，
4＝22﹣02，5＝32﹣22，7＝42﹣32，
8＝32﹣12，9＝52﹣42，11＝62﹣52，…
小王认为小明的方法太麻烦，他想到：
设 k 是自然数，由于（k+1）2﹣k2＝（k+1+k）（k+1﹣k）＝2k+1．
所以，自然数中所有奇数都是智慧数．问题：
（1）根据上述方法，自然数中第 12 个智慧数是 ；
（2）他们发现 0，4，8 是智慧数，由此猜测 4k（k≥3 且 k 为正整数）都是智慧数，请你参
考小王的办法证明 4k（k≥3 且 k 为正整数）都是智慧数；
（3）他们还发现 2，6，10 都不是智慧数，由此猜测 4k+2（k 为自然数）都不是智慧数，请
利用所学的知识判断 26 是否是智慧数，并说明理由．
35．已知 a﹣b＝ ，ab＝ ，求﹣2a2b2+ab3+a3b 的值．
36．分解因式
（1）﹣3a2b3+6a3b2c+3a2b
（2）（a+b）2+（a+b）（a﹣3b）．
37．分解因式：
（1）5x2﹣20；
（2）﹣3x2+2x﹣ ．
38．因式分解：x2（x﹣y）+y2（y﹣x）
39．分解下列因式：
（1）a4﹣a2
（2）1﹣4x2+4xy﹣y2．
40．先阅读下列材料，并对后面的题进行解答：（x+2）（x+3）＝x2+5x+6；（x﹣4）（x+1）＝
x2﹣3x﹣4；（y+4）（y﹣2）＝y2+2y﹣8；（y﹣5）（y﹣3）＝y2﹣8y+15；…．（说明：本
材料源于课本练习题）
（1）观察积中的一次项系数、常数项与等号左边的两因式的常数项有何关系？（用语言表
达或者用公式来呈现它们之间关系和规律均可）
（2）巧算填空：
①（m+9）（m﹣11）＝ ；②（a﹣100）（a﹣11）＝ ．
（3）若（x+m）（x+n）＝x2+ax+12（m、n、a 都是整数），请根据（1）问得出的关系和规律
推算出 a 的值．
41．我们把形如： ， ， ， 的正整数叫“轴对称数”，例如：22，131，
2332，40604…
（1）写出一个最小的五位“轴对称数”．（2）设任意一个 n（n≥3）位的“轴对称数”为 ，其中首位和末位数字为 A，去掉首尾
数字后的（n﹣2）位数表示为 B，求证：该“轴对称数”与它个位数字的 11 倍的差能被 10
整除．
（3）若一个三位“轴对称数”（个位数字小于或等于 4）与整数k（0≤k≤5）的和能同时被
5 和 9 整除，求出所有满足条件的三位“轴对称数”．
42．4x2﹣16y2．
43．把下列各式分解因式：
（1）a2﹣14ab+49b2
（2）a（x+y）﹣（a﹣b）（x+y）；
（3）121x2﹣144y2；
（4）3x4﹣12x2．
44．将下列各式分解因式
（1）15a3+10a2；
（2）y2+y+ ；
（3）3ax2﹣3ay2．
45．因式分解
（1）2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）．
（2）16x2﹣64．
（3）﹣4a2+24a﹣36．
（4）（a﹣b）（3a+b）2+（a+3b）2（b﹣a）．
46．请观察以下解题过程：分解因式：x4﹣6x2+1
解：x4﹣6x2+1＝x4﹣2x2﹣4x2+1
＝（x4﹣2x2+1）﹣4x2
＝（x2﹣1）2﹣（2x）2
＝（x2﹣1+2x）（x2﹣1﹣2x）
以上分解因式的方法称为拆项法，请你用拆项法分解因式：a4﹣7a2+9．
47．试用两种不同的方法分解因式分解：x2+6x+5．
48．已知 a，b，c 是三角形三边长，且 b2﹣2bc+c2＝ac﹣ab，试判断三角形形状．参考答案与试题解析
一．选择题（共 17 小题）
1．分解因式 b2（x﹣3）+b（x﹣3）的正确结果是（ ）
A．（x﹣3）（b2+b） B．b（x﹣3）（b+1）
C．（x﹣3）（b2﹣b） D．b（x﹣3）（b﹣1）
【分析】确定公因式是 b（x﹣3），然后提取公因式即可．
【解答】解：b2（x﹣3）+b（x﹣3），
＝b（x﹣3）（b+1）．
故选：B．
【点评】需要注意提取公因式后，第二项还剩因式 1．
2．已知多项式 4x2﹣（y﹣z）2 的一个因式为 2x﹣y+z，则另一个因式是（ ）
A．2x﹣y﹣z B．2x﹣y+z C．2x+y+z D．2x+y﹣z
【分析】可运用平方差公式对所给代数式进行因式分解得到所求的另一个因式．
【解答】解：原式＝（2x+y﹣z）（2x﹣y+z），
∴另一个因式是 2x+y﹣z．
故选：D．
【点评】本题考查了公式法分解因式，是平方差的形式，所以考虑利用平方差公式分解因
式．
3．下列变形中，属因式分解的是（ ）
A．2x﹣2y＝2（x﹣y） B．（x+y）2＝x2+2xy+y2
C．（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣2y2 D．x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1
【分析】根据因式分解的定义：就是把整式变形成整式的积的形式，即可作出判断．
【解答】解：A、2x﹣2y＝2（x﹣y）是因式分解，故选项正确；
B、（x+y）2＝x2+2xy+y2 结果不是积的形式，不是因式分解，故选项错误；
C、（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣4y2 是整式的乘法，不是因式分解，故选项错误；
D、x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，结果不是积的形式，不是因式分解，故选项错误．
故选：A．
【点评】本题主要考查了因式分解的意义，因式分解是整式的变形，变形前后都是整式，并
且结果是积的形式．4．下列各等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．6a2b＝3a2•2b B．mx+nxy﹣xy＝mx+xy（n﹣1）
C．am﹣a＝a（m﹣1） D．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积形式，可得答案．
【解答】解：A 不是多项式转化成几个整式积形式，故 A 不是因式分解；
B 没把多项式转化成几个整式积的形式，故 B 不是因式分解；
Cam﹣a＝a（m﹣1），故 C 是因式分解；
D 是整式的乘法，故 D 不是因式分解；
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积形式．
5．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．12a2b＝3a•4ab B．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9
C．4x2+8x﹣1＝4x（x+2）﹣1 D． ax﹣ ay＝ a（x﹣y）
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【解答】解：A 不是多项式的转化，故 A 不是因式分解；
B 整式的乘法，故 B 不是因式分解；
C 没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故 C 错误；
D 提取公因式 a，故 D 是因式分解，
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．
6．下列多项式中，没有公因式的是（ ）
A．a（x+y）和（x+y） B．32（a+b）和（﹣x+b）
C．3b（x﹣y）和 2（x﹣y） D．（3a﹣3b）和 6（b﹣a）
【分析】根据公因式是多项式中每项都有的因式，可得答案．
【解答】解：∵32（a+b）与（﹣x+b）没有公因式，
故选：B．
【点评】本题考查了公因式，公因式是多项式中每项都有的因式．
7．下列各式中能用完全平方公式分解因式的有（ ）
①a2+2a+4；②a2+2a﹣1；③a2+2a+1；④﹣a2+2a+1；⑤﹣a2﹣2a﹣1；⑥a2﹣2a﹣1．A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
【分析】根据能运用完全平方公式分解因式的多项式的特点：①必须是三项式，②其中有两
项能写成两个数（或式）的平方和的形式，③另一项是这两个数（或式）的积的 2 倍进
行分析即可．
【解答】解：①a2+2a+4 不是积的 2 倍，故不能用完全平方公式进行分解；
②a2+2a﹣1 不是平方和，故不能用完全平方公式进行分解；
③a2+2a+1 能用完全平方公式进行分解；
④﹣a2+2a+1 不是平方和，故不能用完全平方公式进行分解；
⑤﹣a2﹣2a﹣1 首先提取负号，可得 a2+2a+1，能用完全平方公式进行分解；
⑥a2﹣2a﹣1 不是平方和，故不能用完全平方公式进行分解．
故选：A．
【点评】此题主要考查了能用完全平方公式分解因式的特点，关键是熟练掌握特点．
8．下列各式中，可用平方差公式分解因式的是（ ）
A．a2+b2 B．﹣a2﹣b2 C．﹣a2+b2 D．a2+（﹣b）2
【分析】能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反，对各选项
分析判断后利用排除法．
【解答】解：A、a2+b2 不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式进行因式分解，故本选
项错误；
B、﹣a2﹣b2 的两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解，故本选项错误；
C、﹣a2+b2 符合平方差公式的特点，能用平方差公式进行因式分解，故本选项正确；
D、a2+（﹣b）2 不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式进行因式分解，故本选项错
误．
故选：C．
【点评】本题考查的是应用平方差公式进行因式分解的能力，掌握平方差公式的结构特征是
正确解题的关键．
9．下列变形是分解因式的是（ ）
A．6x2y2＝3xy•2xy B．m2﹣4＝（m+2）（m﹣2）
C．a2﹣b2+1＝（a+b）（a﹣b）+1 D．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9
【分析】根据因式分解是把多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【解答】解：A、左边是单项式，不是分解因式，故本选项错误；B、是分解因式，故本选项正确；
C、右边不是积的形式，故本选项错误；
D、是多项式乘法，不是分解因式，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解，因式分解把多项式转化成几个整式积的形式．
10．下列从左到右的变形，其中是因式分解的是（ ）
A．（x+1）2＝x2+2x+1 B．x2﹣10x+25＝（x﹣5）2
C．（x+7）（x﹣7）＝x2﹣49 D．x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1
【分析】因式分解就是把多项式转化成几个整式的积的形式，根据定义即可作出判断．
【解答】解：A、是整式的乘法，故选项错误；
B、正确；
C、是整式的乘法，故选项错误；
D、多项式结果不是整式的积的形式，故选项错误，
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解的意义，属于基础题，解答本题的关键是掌握因式分解的意
义．
11．﹣6xyz+3xy2﹣9x2y 的公因式是（ ）
A．﹣3x B．3xz C．3yz D．﹣3xy
【分析】通过观察可知原式的公因式为﹣3xy，直接提取即可．
【解答】解：﹣6xyz+3xy2﹣9x2y 各项的公因式是﹣3xy．
故选：D．
【点评】此题考查的是提公因式的方法，要注意此题容易忽略公因式的系数的符号．
12．多项式 x3y2﹣2x2y3+4xy4z 的公因式是（ ）
A．xy2 B．4xy C．xy2z D．xyz
【分析】分别找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后即可找出公因式．
【解答】解：多项式 x3y2﹣2x2y3+4xy4z 的公因式是 xy2，
故选：A．
【点评】此题主要考查了找公因式，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项
的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最
低的找出公因式即可．13．把多项式 p2（a﹣1）+p（1﹣a）分解因式的结果是（ ）
A．（a﹣1）（p2+p） B．（a﹣1）（p2﹣p）
C．p（a﹣1）（p﹣1） D．p（a﹣1）（p+1）
【分析】先把 1﹣a 根据相反数的定义转化为﹣（a﹣1），然后提取公因式 p（a﹣1），整理
即可．
【解答】解：p2（a﹣1）+p（1﹣a），
＝p2（a﹣1）﹣p（a﹣1），
＝p（a﹣1）（p﹣1）．
故选：C．
【点评】主要考查提公因式法分解因式，把（1﹣a）转化为﹣（a﹣1）的形式是求解的关
键．
14．下列多项式能用完全平方公式分解的是（ ）
A．x2﹣2x﹣ B．（a+b）（a﹣b）﹣4ab
C．a2+ab+ D．y2+2y﹣1
【分析】能用完全平方公式分解的式子的特点是：三项；两项平方项的符号需相同；有一项
是两底数积的 2 倍．
【解答】解：A、x2﹣2x﹣ 不符合完全平方公式分解的式子的特点，故错误；
B、（a+b））（a﹣b）不符合﹣4ab 完全平方公式分解的式子的特点，故错误；
C、a2+ab+ 符合完全平方公式分解的式子的特点，故正确；
D、y2+2y﹣1 不符合完全平方公式分解的式子的特点，故错误．
故选：C．
【点评】本题考查能用完全平方公式分解的式子的特点．两项平方项的符号需相同；有一项
是两底数积的 2 倍，是易错点．
15．下列多项式中，可以用平方差公式分解因式的是（ ）
A．x2+1 B．﹣x2+1 C．x2﹣2 D．﹣x2﹣1
【分析】根据平方差公式的特点：两个平方项且符号相反，对各选项分析判断后利用排除法
求解．
【解答】解：A、两个平方项的符号相同，故本选项错误；B、两个平方项的符号相反，故本选项正确；
C、2 不可以写成平方项，故错误；
D、两个平方项的符号相同，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了公式法分解因式，平方差公式的特点是两个平方项的符号相反，符合这
一特点就能运用平方差公式分解因式，与两项的排列顺序无关．
16．下列从左到右的变形：
（1）3xy+6y＝3y（x+2）；
（2）a2﹣a+1＝（a﹣1）2；
（3）y3﹣4y＝y（y2﹣4）；
（4）﹣x2﹣9y2＝﹣（x+3y）（x﹣3y）；
其中分解因式正确的有（ ）个．
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
【分析】（1）利用提公因式法，提取公因式 3y 即可；
（2）此题不符合完全平方公式，不能分解；
（3）首先提取公因式 y，再利用平方差公式分解即可；
（4）注意提取负号后，可得﹣（x2+9y2），不符合平方差公式，不能分解因式．
【解答】解：（1）3xy+6y＝3y（x+2），故此项正确；
（2）a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，故此项错误；
（3）y3﹣4y＝y（y2﹣4）＝y（y+2）（y﹣2），故此项错误；
（4）﹣x2﹣9y2＝﹣（x2+9y2），﹣（x+3y）（x﹣3y）＝﹣x2+9y2，故此项错误．
∴分解因式正确是（1），只有 1 个．
故选：B．
【点评】此题考查了因式分解的知识．注意因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分
解．还要注意分解要彻底．
17．在实数范围内分解因式 x5﹣64x 正确的是（ ）
A．x（x4﹣64） B．x（x2+8）（x2﹣8）
C．x（x2+8）（x+2 ）（x﹣2 ） D．x（x+2 ）3（x﹣2 ）
【分析】在实数范围内分解因式一般应分解到因式中有无理数为止．
【解答】解：x5﹣64x＝x（x4﹣64），＝x（x2+8）（x2﹣8），
＝x（x2+8）（x+2 ）（x﹣2 ）．
故选：C．
【点评】本题考查了公式法分解因式，在实数范围内分解因式要遵循分解彻底的原则．
二．填空题（共 12 小题）
18．若 x2﹣ax﹣1 可以分解为（x﹣2）（x+b），则 a＝ 1 ，b＝ ．
【分析】根据因式分解的意义，把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【解答】解：∵x2﹣ax﹣1＝（x﹣2）（x+b）＝x2+（b﹣2）x﹣2b，
∴﹣2b＝﹣1，b﹣2＝﹣a，
b＝ ，a＝1 ，
故答案为：1 ， ．
【点评】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形
式．
19．因式分解：100﹣4a2＝ 4（5﹣a）（5+a） ．
【分析】首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可．
【解答】解：100﹣4a2＝4（25﹣a2）＝4（5﹣a）（5+a）．
故答案为：4（5﹣a）（5+a）．
【点评】此题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练应用平方差公式是解题关键．
20．因式分解的主要方法有： 提取公因式法、公式法、分组分解法 ．
【分析】根据因式分解的定义进行求解．
【解答】解：根据因式分解的步骤可知：因式分解的方法为：提公因式法、公式法和分组分
解法，
故答案为：提公因式法、公式法、分组分解法．
【点评】此题要注意因式分解的一般步骤：
①如果一个多项式各项有公因式，一般应先提取公因式；
②如果一个多项式各项没有公因式，一般应思考运用公式、十字相乘法；如果多项式有两项
应思考用平方
差公式，如果多项式有三项应思考用公式法或用十字相乘法； 如果多项式超过三项应思考
用完全平方公式法；
③分解因式时必须要分解到不能再分解为止．
21．若多项式 x2﹣x﹣20 分解为（x﹣a）（x﹣b），且 a＞b，则 a＝ 5 ，b＝ ﹣4 ．
【分析】将原多项式因式分解后与（x﹣a）（x﹣b）对照，且根据 a＞b 即可得到 a、b 的
值．
【解答】解：x2﹣x﹣20＝（x﹣5）（x+4）＝（x﹣a）（x﹣b），
∵a＞b，
∴a＝5，b＝﹣4．
故答案为 5，﹣4．
【点评】本题考查了因式分解的意义，解题的关键是正确的将原多项式因式分解．
22．若 x﹣3y＝5，则 x2﹣3xy﹣15y＝ 25 ．
【分析】先将 x2﹣3xy﹣15y 变形为 x（x﹣3y）﹣15y，把 x﹣3y＝5 代入得到 5x﹣15y＝5
（x﹣3y），再代入即可求解．
【解答】解：x2﹣3xy﹣15y
＝x（x﹣3y）﹣15y
＝5x﹣15y
＝5（x﹣3y）
＝5×5
＝25．
故答案为：25．
【点评】考查了因式分解﹣提公因式法，解决本题的关键是把所求的式子整理为含x﹣3y 的
式子．
23．x（a+b）+y（a+b）＝ （x+y）（a+b） ．
【分析】观察原式，发现公因式为 a+b；提出后，即可得出答案．
【解答】解：原式＝（x+y）（a+b）．
故答案是：（x+y）（a+b）．
【点评】本题考查了因式分解﹣﹣提公因式法．要明确找公因式的要点：
（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；
（2）字母取各项都含有的相同字母；
（3）相同字母的指数取次数最低的．24．因式分解：
a2+a+ ＝ （a+ ）2 ；
1﹣9y2＝ （1+3y）（1﹣3y） ．
【分析】根据完全平方公式可分解（1）；
根据平方差公式，可分解（2）．
【解答】解：（1）原式＝（a+ ）2；
（2）原式＝（1+3y）（1﹣3y），
故答案为：（a+ ）2，（1+3y）（1﹣3y）．
【点评】本题考查了运用公式分解因式，凑成公式的形式是解题关键．
25．已知 x2﹣y2＝69，x+y＝3，则 x﹣y＝ 23 ．
【分析】把已知条件利用平方差公式分解因式，然后代入数据计算即可．
【解答】解：∵x2﹣y2＝69，x+y＝3，
∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝3（x﹣y）＝69，
解得：x﹣y＝23．
【点评】此题考查对平方差公式的灵活应用能力，分解因式是关键．
26．分解因式：a3﹣ab2＝ a（a+b）（a﹣b） ；3a2﹣3＝ 3（a+1）（a﹣1） ．
【分析】先提取公因式，然后套用公式 a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），进一步分解因式即可．
【解答】解：a3﹣ab2，
＝a（a2﹣b2），
＝a（a+b）（a﹣b）；
3a2﹣3，
＝3（a2﹣1），
＝3（a+1）（a﹣1）．
【点评】本题考查了用公式法进行因式分解的能力，因式分解的一般步骤是：“一提，二套，
三检”．即先提取公因式，再套用公式，最后看结果是否符合要求．
27．因式分解：（x﹣3）（x+4）+3x＝ （x+6）（x﹣2） ．
【分析】原式变形得到 x2+4x﹣12，再利用十字相乘法分解即可．
【解答】解：（x﹣3）（x+4）+3x＝x2+x﹣12+3x
＝x2+4x﹣12
＝（x+6）（x﹣2）．
故答案为：（x+6）（x﹣2）．
【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．
28．分解因式：x2﹣5xy+6y2＝ （x﹣2y）（x﹣3y） ．
【分析】因为（﹣2）×（﹣3）＝6，（﹣2）+（﹣3）＝﹣5，所以利用十字相乘法分解因式
即可．
【解答】解：x2﹣5xy+6y2＝（x﹣2y）（x﹣3y）．
故答案为：（x﹣2y）（x﹣3y）．
【点评】本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，
并体会它实质是二项式乘法的逆过程．
29．在实数范围内分解因式：2x2+3xy﹣y2＝ 2（x﹣ y）（x﹣ y） ．
【分析】首先求出 2x2+3xy﹣y2＝0 的根，进而分解因式得出即可．
【解答】解：令 2x2+3xy﹣y2＝0，则
x1＝ y，x2＝ y，
则 2x2+3xy﹣y2＝2（x﹣ y）（x﹣ y）．
故答案为：2（x﹣ y）（x﹣ y）．
【点评】本题主要考查对一个多项式进行因式分解的能力，当要求在实数范围内进行分解时，
分解的结果一般要分到出现无理数为止是解答此题的关键．
三．解答题（共 19 小题）
30．已 a2+b2﹣2a+6b+10＝0，求 的值．
【分析】已知等式左边利用完全平方公式变形，利用非负数的性质求出a 与 b 的值，代入原
式计算即可得到结果．
【解答】解：∵a2+b2﹣2a+6b+10＝（a﹣1）2+（b+3）2＝0，
∴a﹣1＝0，b+3＝0，即 a＝1，b＝﹣3，
则原式＝1+ ＝ ．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
31．利用因式分解计算：（1﹣ ）（1﹣ ）（1﹣ ）…（1﹣ ）（1﹣ ）…（1﹣
）
【分析】把每个括号内利用平方差分解因式，再分别求和差后进行求积即可．
【解答】解：
（1﹣ ）（1﹣ ）（1﹣ ）…（1﹣ ）（1﹣ ）…（1﹣ ）
＝（1+ ）（1﹣ ）（1+ ）（1﹣ ）（1+ ）（1﹣ ）+…+（1+ ）（1﹣ ）
＝ × × × × × ×…× ×
＝ ．
【点评】本题主要考查因式分解的应用，正确进行因式分解是解题的关键．
32．如图，在一块边长为 a 厘米的正方形纸板上，在正中央剪去一个边长为 b 厘米的正方形，
当 a＝6.25，b＝3.75 时，请利用因式分解的知识计算阴影部分的面积．
【分析】根据题意可知阴影部分的面积＝边长为 a 厘米的正方形的面积﹣边长为 b 厘米的
正方形的面积，根据平方差公式分解因式，再代入求值即可．
【解答】解：设阴影部分的面积为 s，依题意得：s＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
当 a＝6.25，b＝3.75 时 s＝（6.25+3.75）（6.25﹣3.75）＝10×2.5＝25（平方厘米）；
答：阴影部分的面积为 25 平方厘米．
【点评】本题实质上考查了应用平方差公式进行因式分解，及用代入法求代数式的值．
33．已知 x2+x﹣1＝0，求 x3+2x2+3 的值．
【分析】观察题意可知 x2+x＝1，将原式化简可得出答案．
【解答】解：依题意得：x2+x＝1，
∴x3+2x2+3，
＝x3+x2+x2+3，
＝x（x2+x）+x2+3，＝x+x2+3，
＝4；
或者：依题意得：x2+x＝1，
所以，x3+2x2+3，
＝x3+x2+x2+3，
＝x（x2+x）+x2+3，
＝x+x2+3，
＝1+3，
＝4．
【点评】此题考查的是代数式的转化，通过观察可知已知与所求的式子的关系，然后将变形
的式子代入即可求出答案．
34．如果一个自然数能表示为两个自然数的平方差，那么称这个自然数为智慧数，例如：16
＝52﹣32，16 就是一个智慧数，小明和小王对自然数中的智慧数进行了如下的探索：
小明的方法是一个一个找出来的：
0＝02﹣02，1＝12﹣02，3＝22﹣12，
4＝22﹣02，5＝32﹣22，7＝42﹣32，
8＝32﹣12，9＝52﹣42，11＝62﹣52，…
小王认为小明的方法太麻烦，他想到：
设 k 是自然数，由于（k+1）2﹣k2＝（k+1+k）（k+1﹣k）＝2k+1．
所以，自然数中所有奇数都是智慧数．
问题：
（1）根据上述方法，自然数中第 12 个智慧数是 15 ；
（2）他们发现 0，4，8 是智慧数，由此猜测 4k（k≥3 且 k 为正整数）都是智慧数，请你参
考小王的办法证明 4k（k≥3 且 k 为正整数）都是智慧数；
（3）他们还发现 2，6，10 都不是智慧数，由此猜测 4k+2（k 为自然数）都不是智慧数，请
利用所学的知识判断 26 是否是智慧数，并说明理由．
【分析】（1）仿照小明的办法，继续下去，即可得出结论；
（2）仿照小王的做法，将（k+2）2﹣k2 用平方差公式展开即可得出结论；
（3）验证 26 是否符合 4k+2，如果符合，则得出 26 不是智慧数．【解答】解：（1）继续小明的方法，12＝42﹣22，13＝72﹣62，15＝82﹣72，
即第 12 个智慧数是 15．
（2）设 k 是自然数，由于（k+2）2﹣k2＝（k+2+k）（k+2﹣k）＝4k+4＝4（k+1）．
所以，4k（k≥3 且 k 为正整数）都是智慧数．
（3）4k+2＝2（2k+1）
＝2[（k+1）2﹣k2]
＝[ （k+1）]2﹣（ k）2
∵ （k+1）、 k 均不是自然数，
∴4k+2 不是智慧数，
令 4k+2＝26，解得：k＝6．
故 26 不是智慧数
故答案为：（1）15．
【点评】本题考查了新定义智慧数以及平方差公式的运用，解题的关键是：（1）仿照小明
的办法继续找下去；（2）将将（k+2）2﹣k2 用平方差公式展开；（3）令 4k+2＝26，求
出 k 值．本题属于基础题，难度不大，题中文字较多，很多学生不喜欢这样的文字题，
解决该类型题时，只要仿照文中给定的办法即可得出结论．
35．已知 a﹣b＝ ，ab＝ ，求﹣2a2b2+ab3+a3b 的值．
【分析】将所求式子三项提取公因式ab 后，括号中三项利用完全平方公式分解因式，将 ab
与 a﹣b 的值代入计算，即可求出值．
【解答】解：∵a﹣b＝ ，ab＝ ，
∴﹣2a2b2+ab3+a3b＝ab（﹣2ab+a2+b2）＝ab（a﹣b）2＝ × ＝ ．
【点评】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
36．分解因式
（1）﹣3a2b3+6a3b2c+3a2b
（2）（a+b）2+（a+b）（a﹣3b）．
【分析】（1）直接提公因式即可；
（2）提公因式后，合并同类项，再提取公因式 2．【解答】解：（1）原式＝﹣3a2b（b2﹣2abc﹣1）；
（2）原式＝（a+b）（a+b+a﹣3b）＝（a+b）（2a﹣2b）＝2（a+b）（a﹣b）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，注意要分解到不能分解为
止．
37．分解因式：
（1）5x2﹣20；
（2）﹣3x2+2x﹣ ．
【分析】（1）首先提取公因式 5，再利用平方差进行二次分解即可；
（2）首先提取公因式﹣3，再利用完全平方进行二次分解即可．
【解答】解：（1）原式＝5（x2﹣4）＝5（x+2）（x﹣2）；
（2）原式＝﹣3（x2﹣ x+ ）＝﹣3（x﹣ ）2．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公
因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
38．因式分解：x2（x﹣y）+y2（y﹣x）
【分析】根据提取公因式再运用公式，可得答案．
【解答】解：原式＝x2（x﹣y）﹣y2（x﹣y）
＝（x﹣y）（x2﹣y2）
＝（x﹣y）（x+y）（x﹣y）
＝（x﹣y）2（x+y）．
【点评】本题考查了因式分解，先提取公因式，再运用公式法分解因式．
39．分解下列因式：
（1）a4﹣a2
（2）1﹣4x2+4xy﹣y2．
【分析】（1）先提公因式，再根据平方差公式分解第二个因式ik；
（2）先分组（把后三项分成一组，括号前是负号），再把后三项分解因式，最后根据平方差
公式分解因式即可．
【解答】（1）解：a4﹣a2
＝a2（a2﹣1）＝a2（a+1）（a﹣1）；
（2）解：1﹣4x2+4xy﹣y2
＝1﹣（4x2﹣4xy+y2）
＝1﹣（2x﹣y）2，
＝[1+（2x﹣y）][1﹣（2x﹣y）]
＝（1+2x﹣y）（1﹣2x+y）．
【点评】本题考查了因式分解（分组分解法、公式法、提公因式法），主要考查学生分解因
式的能力，两小题都比较典型，是一道比较好的题目．
40．先阅读下列材料，并对后面的题进行解答：（x+2）（x+3）＝x2+5x+6；（x﹣4）（x+1）＝
x2﹣3x﹣4；（y+4）（y﹣2）＝y2+2y﹣8；（y﹣5）（y﹣3）＝y2﹣8y+15；…．（说明：本
材料源于课本练习题）
（1）观察积中的一次项系数、常数项与等号左边的两因式的常数项有何关系？（用语言表
达或者用公式来呈现它们之间关系和规律均可）
（2）巧算填空：
①（m+9）（m﹣11）＝ m2﹣2m﹣99 ；②（a﹣100）（a﹣11）＝ a2﹣111a+1100 ．
（3）若（x+m）（x+n）＝x2+ax+12（m、n、a 都是整数），请根据（1）问得出的关系和规律
推算出 a 的值．
【分析】（1）总结规律：积中的一次项系数是两因式中的常数项的和，积中的常数项是两因
式中的常数项的积．
（2）利用多项式乘以多项式的法则进行计算即可；
（3）根据规律列式 12＝mn，根据 m、n 都是整数，可得 m 和 n 有 6 组值，分别计算其和可
得 a 的值．
【解答】（本题满分 7 分）：
解：（1）（2 分）积中的一次项系数是两因式中的常数项的和，积中的常数项是两因式中的
常数项的积．
也可用公式表达：（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq．（写对其中之一即可给分）．
（2）填空：（2 分）
①（m+9）（m﹣11）＝m2+9m﹣11m﹣99＝m2﹣2m﹣99，
②（a﹣100）（a﹣11）＝a2﹣11a﹣100a+1100＝a2﹣111a+1100，故答案为：①m2﹣2m﹣99；②a2﹣111a+1100；
（3）（3 分）
∵积中的常数项是两因式中的常数项的积，即 12＝mn，又 m、n、a 都是整数．
∴12＝1×12＝（﹣1）×（﹣12）＝2×6＝（﹣2）×（﹣6）＝3×4＝（﹣3）×（﹣4），
∴m＝1，n＝12；或 …或 m＝﹣3，n＝﹣4．
又∵积中的一次项系数是两因式中的常数项的和．即 a＝m+n，
∴a1＝13，a2＝﹣13，a3＝8，a4＝﹣8，a5＝7，a6＝﹣7，
（只要简单推算，答案正确即可每个给 0.5 分）
【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法和多项式的乘法法则，也是阅读理解问题，根据
题意总结十字相乘的公式是关键．
41．我们把形如： ， ， ， 的正整数叫“轴对称数”，例如：22，131，
2332，40604…
（1）写出一个最小的五位“轴对称数”．
（2）设任意一个 n（n≥3）位的“轴对称数”为 ，其中首位和末位数字为 A，去掉首尾
数字后的（n﹣2）位数表示为 B，求证：该“轴对称数”与它个位数字的 11 倍的差能被 10
整除．
（3）若一个三位“轴对称数”（个位数字小于或等于 4）与整数k（0≤k≤5）的和能同时被
5 和 9 整除，求出所有满足条件的三位“轴对称数”．
【分析】（1）写出最小的五位“轴对称数”，即首位数字和个位数字为 1，其它为 0 的数；
（2）先表示这个任意的 n（n≥3）位“轴对称数”： ＝A×10n+B×10+A，再表示“轴对
称数”与它个位数字的 11 倍的差，合并同类项并提公因式，可得结论；
（3）设这个三位“轴对称数”为 （1≤a≤4，0≤b≤9），根据与 k 的和能同时被 5 和 9
整除，即能被 45 整除，设 100a+10b+a+k＝45c，化为 90a+11a+10b+k＝45c，所以
11a+10b+k 能同时被 45 整除，分情况计算可得结论．
【解答】（1）解：最小的五位“轴对称数”是 10001；
（2）证明：由题意得：A×10n+B×10+A﹣11A＝A×10n+10B﹣10A＝10（A×10n﹣1+B﹣A），
∴该“轴对称数”与它个位数字的 11 倍的差能被 10 整除；
（3）解：设这个三位“轴对称数”为 （1≤a≤4，0≤b≤9），
∵ 与整数 k（0≤k≤5）的和能同时被 5 和 9 整除，
∴设 100a+10b+a+k＝45c，101a+10b+k＝45c，
90a+11a+10b+k＝45c，
∴因为 101a+10b+k 能同时被 5 和 9 整除，所以 11a+10b+k 能同时被 5 和 9 整除，
即 11a+10b+k 的值为 0 或 45 或 90 或 135，又 1≤a≤4，0≤b≤9，
∴当 a＝1，b＝3，k＝4 时，这个三位“轴对称数”是 131．
当 a＝1，b＝8，k＝4 时，这个三位“轴对称数”是 131．
当 a＝2，b＝2，k＝3 时，这个三位“轴对称数”是 222．
当 a＝3，b＝1，k＝2 时，这个三位“轴对称数”是 313．
当 a＝4，b＝0，k＝1 时，这个三位“轴对称数”是 404．
当 a＝4，b＝9，k＝1 时，这个三位“轴对称数”是 494．
所有满足条件的三位“轴对称数”为：131，222，313，404，494．
【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是根据题意列出式子，本题属于中等题型．
42．4x2﹣16y2．
【分析】将原式化为先提公因式后再将 x2﹣4y2 化为 x2﹣（2y）2 后利用平方差公式展开即
可．
【解答】解：原式＝4（x2﹣4y2）
＝4[x2﹣（2y）2]
＝4（x+2y）（x﹣2y）．
【点评】本题考查了平方差公式因式分解，解题的关键是先提取公因式 4，然后利用平方差
公式因式分解．
43．把下列各式分解因式：
（1）a2﹣14ab+49b2
（2）a（x+y）﹣（a﹣b）（x+y）；
（3）121x2﹣144y2；
（4）3x4﹣12x2．
【分析】（1）直接利用完全平方公式进行因式分解即可；
（2）提取公因式（x+y）即可；
（3）直接利用平方差公式因式分解即可；
（4）先提取公因式 3x2，然后再利用平方差公式因式分解即可．
【解答】解：（1）a2﹣14ab+49b2＝a2﹣2×7ab+（7b）2
＝（a﹣7b）2
（2）a（x+y）﹣（a﹣b）（x+y）
＝（x+y）（a﹣a+b）
＝b（x+y）；
（3）121x2﹣144y2；
＝（11x）2﹣（12y）2
＝（11x+12y）（11x﹣12y）
（4）3x4﹣12x2
＝3x2（x2﹣4）
＝3x2（x+2）（x﹣2）
【点评】本题考查了用公式法和提公因式法因式分解的知识，解题时候首先考虑提公因式法，
然后考虑采用公式法，分解一定要彻底．
44．将下列各式分解因式
（1）15a3+10a2；
（2）y2+y+ ；
（3）3ax2﹣3ay2．
【分析】（1）利用提公因式法因式分解；
（2）利用完全平方公式因式分解；
（3）先提公因式、再利用平方差公式因式分解．
【解答】解：（1）15a3+10a2＝5a2（3a+2）；
（2）y2+y+ ＝（y+ ）2；
（3）3ax2﹣3ay2＝3a（x2﹣y2）＝3a（x+y）（x﹣y）．
【点评】本题考查的是多项式的因式分解，掌握提公因式法、公式法因式分解的一般步骤是
解题的关键．
45．因式分解
（1）2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）．
（2）16x2﹣64．
（3）﹣4a2+24a﹣36．（4）（a﹣b）（3a+b）2+（a+3b）2（b﹣a）．
【分析】（1）利用提公因式法因式分解；
（2）先提公因式，再利用平方根公式因式分解；
（3）先提公因式，再利用完全平方公式因式分解；
（4）先提公因式，再利用平方根公式因式分解．
【解答】解：（1）2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）
＝2m（a﹣b）+3n（a﹣b）
＝（a﹣b）（2m+3n）；
（2）16x2﹣64
＝16（x2﹣4）
＝16（x+2）（x﹣2）；
（3）﹣4a2+24a﹣36
＝﹣4（a2﹣6a+9）
＝﹣4（a﹣3）2；
（4）（a﹣b）（3a+b）2+（a+3b）2（b﹣a）
＝（a﹣b）[（3a+b）2﹣（a+3b）2]
＝8（a﹣b）2（a+b）．
【点评】本题考查的是多项式的因式分解，掌握提公因式法、平方差公式、完全平方公式因
式分解的一般步骤是解题的关键．
46．请观察以下解题过程：分解因式：x4﹣6x2+1
解：x4﹣6x2+1＝x4﹣2x2﹣4x2+1
＝（x4﹣2x2+1）﹣4x2
＝（x2﹣1）2﹣（2x）2
＝（x2﹣1+2x）（x2﹣1﹣2x）
以上分解因式的方法称为拆项法，请你用拆项法分解因式：a4﹣7a2+9．
【分析】首先将原多项式利用拆项的方法分解为 a4﹣6x2﹣a2+9，然后进一步组合为（a4﹣
6a2+9）﹣a2 后直接利用平方差公式分解为（a2﹣3+a）（a2﹣3﹣a）即可．
【解答】解：a4﹣7a2+9
＝a4﹣6x2﹣a2+9
＝（a4﹣6a2+9）﹣a2＝（a2﹣3）2﹣a2
＝（a2﹣3+a）（a2﹣3﹣a）．
【点评】本题考查了利用拆项的方法因式分解，解题的关键是正确的拆项为a4﹣6x2﹣a2+9，
然后熟练的利用完全平方公式进行因式分解．
47．试用两种不同的方法分解因式分解：x2+6x+5．
【分析】①把 5 分成 1 和 5，进行分解即可；②配成完全平方公式得出（x+3）2﹣4，再用
平方差公式分解即可．
【解答】解：①x2+6x+5＝（x+1）（x+5）；
②x2+6x+5＝x2+6x+9﹣4
＝（x+3）2﹣4
＝（x+3+2）（x+3﹣2）
＝（x+1）（x+5）．
【点评】本题主要考查对因式分解法﹣十字相乘法、公式法的理解和掌握，能熟练地进行分
解因式是解此题的关键．
48．已知 a，b，c 是三角形三边长，且 b2﹣2bc+c2＝ac﹣ab，试判断三角形形状．
【分析】由 b2﹣2bc+c2＝ac﹣ab 变形，利用因式分解可得到（b﹣c）（b﹣c﹣a）＝0，结合
三角形的三边关系可得出 b＝c，可判断出其形状．
【解答】解：∵b2﹣2bc+c2＝ac﹣ab，
∴b2﹣2bc+c2﹣a（b﹣c）＝0，
∴（b﹣c）（b﹣c﹣a）＝0，
∵b﹣c＜a，
∴b﹣c＝0，
∴b＝c，
∴三角形为等腰三角形．
【点评】本题主要考查因式分解的应用，由等式得到（b﹣c）（b﹣c﹣a）＝0 是解题的关
键．
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