10.2 二元一次方程组
一．选择题（共 15 小题）
1．若关于 x，y 的二元一次方程组 的解也是二元一次方程 2x+3y＝6 的解，则 k 的
值为（ ）
A．﹣ B． C． D．﹣
2．小亮的妈妈用 28 元钱买了甲、乙两种水果，甲种水果每千克 4 元，乙种水果每千克 6 元，
且乙种水果比甲种水果少买了 2 千克，求小亮妈妈两种水果各买了多少千克？设小亮妈
妈买了甲种水果 x 千克，乙种水果 y 千克，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
3．哥哥与弟弟的年龄和是 18 岁，弟弟对哥哥说：“当我的年龄是你现在年龄的时候，你就
是 18 岁”．如果现在弟弟的年龄是x 岁，哥哥的年龄是 y 岁，下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．若方程组 的解是 ，则方程组 的解是（ ）
A． B．
C． D．
5．小龙和小刚两人玩“打弹珠”游戏，小龙对小刚说：“把你珠子的一半给我，我就有 10
颗珠子”．小刚却说：“只要把你的 给我，我就有 10 颗”．如果设小刚的弹珠数为x 颗，
小龙的弹珠数为 y 颗，则列出的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知 是二元一次方程组 的解，则 m﹣n 的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．甲乙两地相距 360 千米，一轮船往返于甲、乙两地之间，顺水行船用 18 小时，逆水行船用 24 小时，若设船在静水中的速度为 x 千米/时，水流速度为 y 千米/时，则下列方程组
中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．二元一次方程组 的解为（ ）
A． B． C． D．
9．为了研究吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地抽查了 10000 人，并进行统计分
析．结果显示：在吸烟者中患肺癌的比例是 2.5%，在不吸烟者中患肺癌的比例是 0.5%，
吸烟者患肺癌的人数比不吸烟者患肺癌的人数多 22 人．如果设这 10000 人中，吸烟者患
肺癌的人数为 x，不吸烟者患肺癌的人数为 y，根据题意，下面列出的方程组正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
10．小颖家离学校 1200 米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她去学校共用了 16 分
钟．假设小颖上坡路的平均速度是 3 千米/时，下坡路的平均速度是 5 千米/时．若设小
颖上坡用了 x 分钟，下坡用了 y 分钟，根据题意可列方程组为（ ）
A．
B．
C．D．
11．一副三角板按如图方式摆放，且∠1 的度数比∠2 的度数大 50°，若设∠1＝x°，∠2＝
y°，则可得到方程组为（ ）
A． B．
C． D．
12．已知方程组： 的解是： ，则方程组：
的解是（ ）
A． B．
C． D．
13．在方程 、 、 、 、 中，是二元一次方程组的
有（ ）
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
14．若关于 x、y 的二元一次方程组 的解满足 ，则满足条件的 m 的所
有正整数值是（ ）
A．1，2，3，4 B．1，2，3 C．1，2 D．1
15．用四个全等的矩形和一个小正方形拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积是
144，小正方形的面积是 4，若用 x，y 表示矩形的长和宽（x＞y），则下列关系式中不正
确的是（ ）A．x+y＝12 B．x﹣y＝2 C．xy＝35 D．x2+y2＝144
二．填空题（共 5 小题）
16．已知关于 x，y 的二元一次方程组 的解互为相反数，则 k 的值是 ．
17．已知方程租 与 有相同的解，则 m+n＝ ．
18．当 a＝ 时，方程组 的解为 x＝y．
19．已知方程组 的解适合 x+y＝2，则 m 的值为 ．
20．端午节时，王老师用 72 元钱买了荷包和五彩绳共 20 个，其中荷包每个 4 元，五彩绳每
个 3 元．设王老师买荷包 x 个，五彩绳 y 个，根据题意，列出的方程组为 ．
三．解答题（共 6 小题）
21．若方程组 和方程组 有相同的解，求 a，b 的值．
22．已知关于 x，y 的二元一次方程组 ．
（1）解该方程组；
（2）若上述方程组的解是关于 x，y 的二元一次方程 ax+by＝2 的一组解，求代数式 6b﹣4a
的值．
23．若 是二元一次方程 ax﹣by＝8 和 ax+2by＝﹣4 的公共解，求 2a﹣b 的值．
24．已知方程组 的解 x，y 的值的符号相同．
（1）求 a 的取值范围；
（2）化简|2a+3|+2|a|．
25．已知关于 x，y 的方程组 的解满足 x+2y＝2．
（1）求 m 的值；
（2）若 a≥m，化简：|a+1|﹣|2﹣a|．
26．已知：不论 k 取什么实数，关于 x 的方程 （a、b 是常数）的根总是 x
＝1，试求 a、b 的值．参考答案与试题解析
一．选择题（共 15 小题）
1．若关于 x，y 的二元一次方程组 的解也是二元一次方程 2x+3y＝6 的解，则 k 的
值为（ ）
A．﹣ B． C． D．﹣
【分析】将 k 看做已知数求出 x 与 y，代入 2x+3y＝6 中计算即可得到 k 的值．
【解答】解： ，
①+②得：2x＝14k，即 x＝7k，
将 x＝7k 代入①得：7k+y＝5k，即 y＝﹣2k，
将 x＝7k，y＝﹣2k 代入 2x+3y＝6 得：14k﹣6k＝6，
解得：k＝ ．
故选：B．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，方程的解即为能使方程
左右两边成立的未知数的值．
2．小亮的妈妈用 28 元钱买了甲、乙两种水果，甲种水果每千克 4 元，乙种水果每千克 6 元，
且乙种水果比甲种水果少买了 2 千克，求小亮妈妈两种水果各买了多少千克？设小亮妈
妈买了甲种水果 x 千克，乙种水果 y 千克，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设小亮妈妈买了甲种水果 x 千克，乙种水果 y 千克，根据两种水果共花去 28 元，
乙种水果比甲种水果少买了 2 千克，据此列方程组．
【解答】解：设小亮妈妈买了甲种水果 x 千克，乙种水果 y 千克，
由题意得 ．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出
未知数，找出合适的等量关系，列方程组．3．哥哥与弟弟的年龄和是 18 岁，弟弟对哥哥说：“当我的年龄是你现在年龄的时候，你就
是 18 岁”．如果现在弟弟的年龄是x 岁，哥哥的年龄是 y 岁，下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由弟弟的年龄是x 岁，哥哥的年龄是 y 岁，根据“哥哥与弟弟的年龄和是 18 岁，”，
哥哥与弟弟的年龄差不变得出 18﹣y＝y﹣x，列出方程组即可．
【解答】解：设现在弟弟的年龄是 x 岁，哥哥的年龄是 y 岁，由题意得
．
故选：D．
【点评】此题考查由实际问题列方程组，注意找出题目蕴含的数量关系解决问题．
4．若方程组 的解是 ，则方程组 的解是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据加减法，可得（x+2）、（y﹣1）的解，再根据解方程，可得答案．
【解答】解：∵方程组 的解是 ，
∴方程组 中
∴
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，解决本题的关键是先求（x+2）、（y﹣1）的解，
再求 x、y 的值．
5．小龙和小刚两人玩“打弹珠”游戏，小龙对小刚说：“把你珠子的一半给我，我就有 10
颗珠子”．小刚却说：“只要把你的 给我，我就有 10 颗”．如果设小刚的弹珠数为x 颗，
小龙的弹珠数为 y 颗，则列出的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设小刚的弹珠数为 x 颗，小龙的弹珠数为 y 颗，根据题意，列方程组即可．【解答】解：设小刚的弹珠数为 x 颗，小龙的弹珠数为 y 颗，
由题意得，
x+y＝10，x+ y＝10
化简得， ．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出
未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．
6．已知 是二元一次方程组 的解，则 m﹣n 的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】将 x 与 y 的值代入方程组求出 m 与 n 的值，即可确定出 m﹣n 的值．
【解答】解：将 x＝﹣1，y＝2 代入方程组得： ，
解得：m＝1，n＝﹣3，
则 m﹣n＝1﹣（﹣3）＝1+3＝4．
故选：D．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知
数的值．
7．甲乙两地相距 360 千米，一轮船往返于甲、乙两地之间，顺水行船用 18 小时，逆水行船
用 24 小时，若设船在静水中的速度为 x 千米/时，水流速度为 y 千米/时，则下列方程组
中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】两个等量关系为：顺水时间×顺水速度＝360；逆水时间×逆水速度＝360，把相关
数值代入即可求解．
【解答】解：根据题意可得，顺水速度＝x+y，逆水速度＝x﹣y，∴根据所走的路程可列方程组为 ，
故选：A．
【点评】考查用二元一次方程组解决行程问题；得到顺水路程及逆水路程的等量关系是解决
本题的关键；
用到的知识点为：顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度．
8．二元一次方程组 的解为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据加减消元法，可得方程组的解．
【解答】解：
①+②，得 3x＝9，
解得 x＝3，
把 x＝3 代入①，
得 3+y＝5，
y＝2，
所以原方程组的解为 ．
故选：C．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键．本题还可以根据二
元一次方程组的解的定义，将四个选项中每一组未知数的值代入原方程组进行检验．
9．为了研究吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地抽查了 10000 人，并进行统计分
析．结果显示：在吸烟者中患肺癌的比例是 2.5%，在不吸烟者中患肺癌的比例是 0.5%，
吸烟者患肺癌的人数比不吸烟者患肺癌的人数多 22 人．如果设这 10000 人中，吸烟者患
肺癌的人数为 x，不吸烟者患肺癌的人数为 y，根据题意，下面列出的方程组正确的是
（ ）
A．
B．
C．D．
【分析】根据“吸烟者患肺癌的人数比不吸烟者患肺癌的人数多 22 人，以及在吸烟者中患
肺癌的比例是 2.5%，在不吸烟者中患肺癌的比例是 0.5%，”分别得出等式方程组成方程
组，即可得出答案．
【解答】解：设吸烟者患肺癌的人数为 x，不吸烟者患肺癌的人数为 y，根据题意得：
．
故选：B．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据吸烟与不吸烟中患肺癌的
比例得出正确的等量关系是解题关键．
10．小颖家离学校 1200 米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她去学校共用了 16 分
钟．假设小颖上坡路的平均速度是 3 千米/时，下坡路的平均速度是 5 千米/时．若设小
颖上坡用了 x 分钟，下坡用了 y 分钟，根据题意可列方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】两个等量关系为：上坡用的时间+下坡用的时间＝16；上坡用的时间×上坡的速度+
下坡用的时间×下坡速度＝1200，把相关数值代入即可求解．
【解答】解：可根据所用时间和所走的路程和得到相应的方程组为：
故选：B．
【点评】考查用二元一次方程组解决行程问题；得到走不同路段所用时间及所走的路程之和
的等量关系是解决本题的关键．解题的关键是统一单位．
11．一副三角板按如图方式摆放，且∠1 的度数比∠2 的度数大 50°，若设∠1＝x°，∠2＝
y°，则可得到方程组为（ ）A． B．
C． D．
【分析】此题中的等量关系有：
①三角板中最大的角是 90°，从图中可看出∠1+∠2+90°＝180°；
②∠1 比∠2 的度数大 50°，则∠1＝∠2+50°．
【解答】解：根据平角和直角定义，得方程 x+y＝90；
根据∠1 比∠2 的度数大 50°，得方程 x＝y+50．
可列方程组为 ，
故选：C．
【点评】此题考查了学生对二元一次方程组的灵活运用，学生应该重视培养对应用题的理解
能力，准确地列出二元一次方程组．
12．已知方程组： 的解是： ，则方程组：
的解是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】在此题中，两个方程组除未知数不同外其余都相同，所以可用换元法进行解答．
【解答】解：在方程组 中，设 x+2＝a，y﹣1＝b，
则变形为方程组 ，
由题知 ，
所以 x+2＝8.3，y﹣1＝1.2，即 ．
故选：C．
【点评】这类题目的解题关键是灵活运用二元一次方程组的解法，观察题目特点灵活解题．
13．在方程 、 、 、 、 中，是二元一次方程组的
有（ ）
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
【分析】根据二元一次方程组的条件：1、只含有两个未知数；2、含未知数的项的最高次数
是 1；3、都是整式方程；逐一判断可得答案．
【解答】解：方程 、 、 符合二元一次方程组的定义，
方程 中 xy 是二次项，不符合二元一次方程组的定义，
方程 中 + ＝1 是分式方程，不符合二元一次方程组的定义，
故以上方程中是二元一次方程组的有 3 个，
故选：B．
【点评】本题主要考查二元一次方程组的定义：几个结合在一起的共含有两个未知数的一次
方程构成的方程组．
14．若关于 x、y 的二元一次方程组 的解满足 ，则满足条件的 m 的所
有正整数值是（ ）
A．1，2，3，4 B．1，2，3 C．1，2 D．1
【分析】方程组两方程相加表示出x+y，代入所求不等式计算确定出 m 的范围，即可确定出
m 的正整数值．
【解答】解： ，
①+②得：3（x+y）＝﹣3m+6，
解得：x+y＝﹣m+2，
代入得：﹣m+2＞ ，
解得：m＜ ，
则满足条件的 m 的所有正整数值是 1，
故选：D．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
15．用四个全等的矩形和一个小正方形拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积是
144，小正方形的面积是 4，若用 x，y 表示矩形的长和宽（x＞y），则下列关系式中不正
确的是（ ）
A．x+y＝12 B．x﹣y＝2 C．xy＝35 D．x2+y2＝144
【分析】能够根据大正方形和小正方形的面积分别求得正方形的边长，再根据其边长分别列
方程，根据 4 个矩形的面积和等于两个正方形的面积的差列方程．
【解答】解：A、根据大正方形的面积求得该正方形的边长是 12，则 x+y＝12，故 A 选项正
确；
B、根据小正方形的面积可以求得该正方形的边长是 2，则 x﹣y＝2，故 B 选项正确；
C、根据 4 个矩形的面积和等于大正方形的面积减去小正方形的面积，即 4xy＝144﹣4＝
140，xy＝35，故 C 选项正确；
D、（x+y）2＝x2+y2+2xy＝144，故 D 选项错误．
故选：D．
【点评】此题关键是能够结合图形和图形的面积公式正确分析，运用排除法进行选择．
二．填空题（共 5 小题）
16．已知关于 x，y 的二元一次方程组 的解互为相反数，则 k 的值是 ﹣1 ．
【分析】将方程组用 k 表示出 x，y，根据方程组的解互为相反数，得到关于 k 的方程，即
可求出 k 的值．
【解答】解：解方程组 得： ，
因为关于 x，y 的二元一次方程组 的解互为相反数，
可得：2k+3﹣2﹣k＝0，
解得：k＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题考查方程组的解，关键是用 k 表示出 x，y 的值．17．已知方程租 与 有相同的解，则 m+n＝ 3 ．
【分析】先解不含m，n 的方程组解得 x，y 的值，再代入含 m，n 的方程组求出 m，n，再求
出 m+n．
【解答】解：∵ 与 有相同的解，
∴解方程组 得 ，
∴解 m、n 的方程组 得
∴m+n＝4﹣1＝3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题的关键是由不含m，n 的方程和含 m，n
的方程构成新的方程组求解．
18．当 a＝ ﹣3 时，方程组 的解为 x＝y．
【分析】把 x＝y 代入方程组得到新的方程组．求解即可．
【解答】解：∵x＝y，
∴ ，
解得 a＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题的关键是把 x＝y 代入方程组得到新的
方程组．
19．已知方程组 的解适合 x+y＝2，则 m 的值为 6 ．
【分析】方程组中的两个方程相加，即可用 m 表示出 x+y，即可解得 m 的值．
【解答】解：两个方程相加，得
5x+5y＝2m﹣2，
即 5（x+y）＝2m﹣2，
即 x+y＝ ＝2．
解得 m＝6．
【点评】注意到两个方程的系数之间的关系，而采用方程相加的方法解决本题是解题的关键．
20．端午节时，王老师用 72 元钱买了荷包和五彩绳共 20 个，其中荷包每个 4 元，五彩绳每个 3 元 ． 设 王 老 师 买 荷 包 x 个 ， 五 彩 绳 y 个 ， 根 据 题 意 ， 列 出 的 方 程 组 为
．
【分析】根据荷包个数+五彩绳个数＝20，以及荷包价钱+五彩绳价钱＝72，列式即可．
【解答】解：根据题意可得
，
故答案是 ．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出来的二元一次方程组，解题的关键是找出题目中的等
量关系．
三．解答题（共 6 小题）
21．若方程组 和方程组 有相同的解，求 a，b 的值．
【分析】将 3x﹣y＝7 和 2x+y＝8 组成方程组求出 x、y 的值，再将 分别代入 ax+y＝b
和 x+by＝a 求出 a、b 的值．
【解答】解：将 3x﹣y＝7 和 2x+y＝8 组成方程组得， ，
解得， ，
将 分别代入 ax+y＝b 和 x+by＝a 得， ，
解得 ．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，将x、y 的值代入，转化为关于 a、b 的方程组是
解题的关键．
22．已知关于 x，y 的二元一次方程组 ．
（1）解该方程组；
（2）若上述方程组的解是关于 x，y 的二元一次方程 ax+by＝2 的一组解，求代数式 6b﹣4a
的值．
【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）把 x 与 y 的值代入方程计算得到 2a﹣3b 的值，原式变形后代入计算即可求出值．【解答】解：（1） ，
②﹣①得：y＝3，
把 y＝3 代入①得：x＝﹣2，
则方程组的解为 ；
（2）把 代入方程得：﹣2a+3b＝2，即 2a﹣3b＝﹣2，
则原式＝﹣2（2a﹣3b）＝4．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未
知数的值．
23．若 是二元一次方程 ax﹣by＝8 和 ax+2by＝﹣4 的公共解，求 2a﹣b 的值．
【分析】将 代入到二元一次方程 ax﹣by＝8 和 ax+2by＝﹣4 中去，可得出方程
，解出即可．
【解答】解：∵已知 是二元一次方程 ax﹣by＝8 和 ax+2by＝﹣4 的公共解，
∴可将 代入 ，得
．
解得 ，
∴2a﹣b＝2×1﹣（﹣2）＝4．
【点评】本题主要考查二元一次方程组解的定义及其解法，关键是熟练掌握二元一次方程组
的解的定义即：使方程组所有方程左右两边都相等的未知数的值叫做二元一次方程组的
解．
24．已知方程组 的解 x，y 的值的符号相同．
（1）求 a 的取值范围；
（2）化简|2a+3|+2|a|．
【分析】（1）把a 看做已知数表示出方程组的解，根据 x 与 y 同号求出 a 的范围即可；
（2）由 a 的范围判断绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到
结果．【解答】解：（1） ，
①+②得：3x＝6﹣3a，即 x＝2﹣a，
代入①得：y＝3+2a，
根据题意得：xy＝（2﹣a）（3+2a）＞0，
解得﹣ ＜a＜2；
（2）∵﹣ ＜a＜2，
∴当﹣ ＜a＜0 时，|2a+3|+2|a|＝2a+3﹣2a＝3；
当 0≤a＜2 时，|2a+3|+2|a|＝2a+3+2a＝4a+3．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未
知数的值．注意分类思想的运用．
25．已知关于 x，y 的方程组 的解满足 x+2y＝2．
（1）求 m 的值；
（2）若 a≥m，化简：|a+1|﹣|2﹣a|．
【分析】（1）根据二元一次方程组的解法即可求出答案．
（2）根据绝对值的性质即可求出答案．
【解答】解：（1）∵
∴①﹣②得：2（x+2y）＝m+1
∵x+2y＝2，
∴m+1＝4，
∴m＝3，
（2）∵a≥m，即 a≥3，
∴a+1＞0，2﹣a＜0，
∴原式＝a+1﹣（a﹣2）＝3
【点评】本题考查二元一次方程组的解法，解题的关键是熟练运用方程组的解法以及绝对值
的性质，本题属于基础题型．
26．已知：不论 k 取什么实数，关于 x 的方程 （a、b 是常数）的根总是 x
＝1，试求 a、b 的值．【分析】首先把根 x＝1 代入原方程中得到一个关于 k 的方程，再根据方程与 k 无关的应满
足的条件即可得 a、b 的值．
【解答】解：把 x＝1 代入原方程并整理得（b+4）k＝7﹣2a
要使等式（b+4）k＝7﹣2a 不论 k 取什么实数均成立，
只有满足 ，
解之得 ，b＝﹣4．
【点评】本题要求同学们不仅熟悉代入法，更需要熟悉二元一次方程组的解法，解题时要根
据方程组的特点进行有针对性的计算．
微信/支付宝扫码支付