9.4 乘法公式
一．选择题（共 14 小题）
1．如图 1，在边长为 a 的正方形中，剪去一个边长为 b 的小正方形（a＞b），将余下的部分
剪开后拼成一个平行四边形（如图 2），根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一
个关于 a，b 的恒等式为（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a2+ab＝a（a+b）
2．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（8
＝32﹣12，16＝52﹣32，即 8，16 均为“和谐数”），在不超过 2017 的正整数中，所有的
“和谐数”之和为（ ）
A．255054 B．255064 C．250554 D．255024
3．可以运用平方差公式运算的有（ ）个．
①（﹣1+2x）（﹣1﹣2x）；②（﹣1﹣2x）（1+2x）；③（ab﹣2b）（﹣ab﹣2b）．
A．1 B．2 C．3 D．0
4．若 xn﹣81＝（x2+9）（x+3）（x﹣3），则 n 等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．已知 a＝2005x+2004，b＝2005x+2005，c＝2005x+2006，则多项式 a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac
的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．将边长分别为 a 和 b 的两个正方形如图所示放置，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． b2 B． a2 C． a2﹣ b2 D． ab7．当 a（a﹣1）﹣（a2﹣b）＝﹣2 时，则 ﹣ab 的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．4 D．8
8．如果 9x2+kx+25 是一个完全平方式，那么 k 的值是（ ）
A．15 B．±5 C．30 D．±30
9．若 a2﹣b2＝ ，a﹣b＝ ，则 a+b 的值为（ ）
A．﹣ B． C． D．2
10．有三种长度分别为三个连续整数的木棒，小明利用中等长度的木棒摆成了一个正方形，
小刚用其余两种长度的木棒摆出了一个长方形，正方形和长方形每边只有一根木棒，则
他们两人谁摆的面积大？（ ）
A．小刚 B．小明 C．同样大 D．无法比较
11．已知 x+ ＝5，那么 x2+ ＝（ ）
A．10 B．23 C．25 D．27
12．图（1）是一个长为 2a，宽为 2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，
把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中
间空的部分的面积是（ ）
A．ab B．（a+b）2 C．（a﹣b）2 D．a2﹣b2
13．若要使 4x2﹣mx+ 成为一个完全平方式，则 m 的值应为（ ）
A． B．﹣ C．± D．﹣
14．若 9x2+2（k﹣3）x+16 是完全平方式，则 k 的值为（ ）
A．15 B．15 或﹣15 C．39 或﹣33 D．15 或﹣9
二．填空题（共 6 小题）
15．一个正方形的边长增加 2cm，它的面积就增加 24cm，这个正方形的边长是 cm．
16．从前，有一个狡猾的地主，把一块边长为 a 米的正方形土地租给马老汉栽种．过了一年，
他对马老汉说：“我把你这块地的一边减少 5 米，另一边增加 5 米，继续租给你，你也没吃亏，你看如何？”马老汉一听，觉得好像没吃亏，就答应了．其实我们知道马老汉
吃亏了．请运用本学期相关知识分析一下马老汉租用的土地面积亏了 平方米．
17．一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未
被小正方形覆盖部分的面积是 （用 a、b 的代数式表示）．
18．有两个正方形 A，B，现将 B 放在 A 的内部得图甲，将 A，B 并列放置后构造新的正方形
得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为 1 和 12，则正方形 A，B 的面积之和
为 ．
19．一个长方形的面积是 2a2﹣2b2，如果它的一条边长是 a﹣b，则它的周长是 ．
20．为了交通方便，在一块长为 am，宽为 bm 的长方形稻田内修两条道路，横向道路为矩形，
纵向道路为平行四边形，道路的宽均为 1m（如图），则余下可耕种土地的面积是
m2．
三．解答题（共 5 小题）
21．如果 a2﹣2（k﹣1）ab+9b2 是一个完全平方式，那么 k＝ ．
22．通常情况下，用两种不同的方法计算同一图形的面积，可以得到一个恒等式，
①如图 1，根据图中阴影部分的面积可表示为 ，还可表示为 ，可以得到的恒
等式是
②类似地，用两种不同的方法计算同一各几何体的体积，也可以得到一个恒等式，如图 2 是
边长为 a+b 的正方体，被如图所示的分割线分成 8 块．用不同方法计算这个正方体的体
积，就可以得到一个恒等式，这个恒等式是 ．23．计算：4a2b•（﹣ab2）3÷（2ab）
24．先化简，再求值：（9x3y﹣12xy3+3xy2）÷（﹣3xy）﹣（2y+x）（2y﹣x），其中 x＝1，
y＝﹣2．
25．如图，有一块边长为（3a+2）米的正方形铁片，王师傅要制作一个工件，欲在正方形铁
片中央剪去一个小正方形铁片，按照图纸要求剪去小正方形后工件的宽度为 2b 米．问剪
去小正方形后工件的面积是多少？参考答案与试题解析
一．选择题（共 14 小题）
1．如图 1，在边长为 a 的正方形中，剪去一个边长为 b 的小正方形（a＞b），将余下的部分
剪开后拼成一个平行四边形（如图 2），根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一
个关于 a，b 的恒等式为（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a2+ab＝a（a+b）
【分析】分别计算这两个图形阴影部分面积，根据面积相等即可得到．
【解答】解：第一个图形的阴影部分的面积＝a2﹣b2，
第二个图形面积＝（a+b）（a﹣b），
则 a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：C．
【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，正确表示出两个图形中阴影部分的面积是关键．
2．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（8
＝32﹣12，16＝52﹣32，即 8，16 均为“和谐数”），在不超过 2017 的正整数中，所有的
“和谐数”之和为（ ）
A．255054 B．255064 C．250554 D．255024
【分析】由（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n≤2017，解得 n≤252 ，可得在不超过 2017 的正整
数中，“和谐数”共有 252 个，依此列式计算即可求解．
【解答】解：由（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n≤2017，解得 n≤252 ，
则在不超过 2017 的正整数中，所有的“和谐数”之和为 32﹣12+52﹣32+…+5052﹣5032＝5052
﹣12＝255024．
故选：D．
【点评】此题考查了平方差公式，弄清题中“和谐数”的定义是解本题的关键．
3．可以运用平方差公式运算的有（ ）个．①（﹣1+2x）（﹣1﹣2x）；②（﹣1﹣2x）（1+2x）；③（ab﹣2b）（﹣ab﹣2b）．
A．1 B．2 C．3 D．0
【分析】根据平方差公式的结构：（1）两个二项式相乘，（2）有一项相同，另一项互为相
反数，对各项分析后利用排除法求解．
【解答】解：①中﹣1 同号，2x 异号，符合平方差公式；
②中两项均异号，不符合平方差公式；
③中﹣2b 同号，ab 异号，符合平方差公式．
所以有①③两个可以运用平方差公式运算．
故选：B．
【点评】此题考查了平方差公式的结构．解题的关键是准确认识公式，正确应用公式．
4．若 xn﹣81＝（x2+9）（x+3）（x﹣3），则 n 等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】（x2+9）（x+3）（x﹣3）根据平方差公式可以求出结果，然后根据已知等式即可求出
n 的值．
【解答】解：∵（x2+9）（x+3）（x﹣3），
＝（x2+9）（x2﹣9），
＝x4﹣81，
∴xn﹣81＝x4﹣81，
∴n＝4．
故选：B．
【点评】本题考查了平方差公式，首先利用平方差公式化简等式的右边，然后根据多项式的
项的指数相等来确定 n 的值．
5．已知 a＝2005x+2004，b＝2005x+2005，c＝2005x+2006，则多项式 a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac
的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】观察知可先把多项式转化为完全平方形式，再代入值求解．
【解答】解：由题意可知 a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，a﹣c＝﹣2，
所求式＝ （2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca），
＝ [（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）+（a2﹣2ac+c2）]，＝ [（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]，
＝ [（﹣1）2+（﹣1）2+（﹣2）2]，
＝3．
故选：D．
【点评】本题考查了完全平方公式，属于基础题，关键在于灵活思维，对多项式扩大 2 倍是
利用完全平方公式的关键．
6．将边长分别为 a 和 b 的两个正方形如图所示放置，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． b2 B． a2 C． a2﹣ b2 D． ab
【分析】由阴影部分面积等于两个正方形面积的和减去三个三角形面积．
【解答】解：∵S 阴影＝a2+b2﹣ b2﹣ （a+b）a﹣ （a﹣b）a
∴S 阴影＝ b2
故选：A．
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，关键是利用面积法解决问题
7．当 a（a﹣1）﹣（a2﹣b）＝﹣2 时，则 ﹣ab 的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．4 D．8
【分析】先把条件化简得到 a﹣b 的值，再把代数式通分后利用完全平方式整理，然后整体
代入计算．
【解答】解：a（a﹣1）﹣（a2﹣b）＝﹣2，
去括号并整理，得 a﹣b＝2，
﹣ab＝ ＝ ，
∴ ﹣ab＝ ＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了完全平方公式，通分后构成完全平方公式是解本题的关键，整体代入思想的利用也比较关键．
8．如果 9x2+kx+25 是一个完全平方式，那么 k 的值是（ ）
A．15 B．±5 C．30 D．±30
【分析】本题考查的是完全平方公式的理解应用，式中首尾两项分别是 3x 和 5 的平方，所
以中间项应为加上或减去 3x 和 5 的乘积的 2 倍，所以 kx＝±2×3x×5＝±30x，故 k＝±
30．
【解答】解：∵（3x±5）2＝9x2±30x+25，
∴在 9x2+kx+25 中，k＝±30．
故选：D．
【点评】对于完全平方公式的应用，要掌握其结构特征，两数的平方和，加上或减去乘积的
2 倍，因此要注意积的 2 倍的符号，有正负两种，本题易错点在于只写一种情况，出现漏
解情形．
9．若 a2﹣b2＝ ，a﹣b＝ ，则 a+b 的值为（ ）
A．﹣ B． C． D．2
【分析】已知第一个等式利用平方差公式化简，将第二个等式代入计算即可求出 a+b 的
值．
【解答】解：∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝ ，a﹣b＝ ，
∴a+b＝ ，
故选：B．
【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
10．有三种长度分别为三个连续整数的木棒，小明利用中等长度的木棒摆成了一个正方形，
小刚用其余两种长度的木棒摆出了一个长方形，正方形和长方形每边只有一根木棒，则
他们两人谁摆的面积大？（ ）
A．小刚 B．小明 C．同样大 D．无法比较
【分析】可设三个木棒的长度分别为 x﹣1、x、x+1，分别表示出两个图形的面积，再用作
差法进行比较大小即可．
【解答】解：设三个木棒的长度分别为 x﹣1、x 和 x+1，
则小明所摆正方形的面积为 x2，小刚所摆长方形的面积为（x+1）（x﹣1），∵x2﹣（x+1）（x﹣1）＝x2﹣（x2﹣1）＝x2﹣x2+1＝1＞0，
∴x2＞（x+1）（x﹣1），
∴小明所摆的正方形的面积大于小刚所摆长方形的面积，
故选：B．
【点评】本题主要考查平方差公式的应用，掌握平方差公式是解题的关键，注意作差法比较
大小的应用．
11．已知 x+ ＝5，那么 x2+ ＝（ ）
A．10 B．23 C．25 D．27
【分析】根据完全平方公式，即可解答．
【解答】解：x+ ＝5，
，
，
．
故选：B．
【点评】本题考查了完全平分公式，解决本题的关键是熟记完全平分公式．
12．图（1）是一个长为 2a，宽为 2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，
把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中
间空的部分的面积是（ ）
A．ab B．（a+b）2 C．（a﹣b）2 D．a2﹣b2
【分析】中间部分的四边形是正方形，表示出边长，则面积可以求得．
【解答】解：中间部分的四边形是正方形，边长是 a+b﹣2b＝a﹣b，
则面积是（a﹣b）2．
故选：C．
【点评】本题考查了列代数式，正确表示出小正方形的边长是关键．13．若要使 4x2﹣mx+ 成为一个完全平方式，则 m 的值应为（ ）
A． B．﹣ C．± D．﹣
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出 m 的值．
【解答】解：∵4x2﹣mx+ 为一个完全平方式，
∴m＝± ，
故选：A．
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
14．若 9x2+2（k﹣3）x+16 是完全平方式，则 k 的值为（ ）
A．15 B．15 或﹣15 C．39 或﹣33 D．15 或﹣9
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出 k 的值．
【解答】解：∵9x2+2（k﹣3）x+16 是完全平方式，
∴k﹣3＝±12，
解得：k＝15 或 k＝﹣9，
故选：D．
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
二．填空题（共 6 小题）
15．一个正方形的边长增加 2cm，它的面积就增加 24cm，这个正方形的边长是 5 cm．
【分析】本题是平方差公式的应用，设这个正方形的边长为 a，根据正方形面积公式有
（a+2）2﹣a2＝24，先用平方差公式化简，再求解．
【解答】解：设这个正方形的边长为 a，依题意有
（a+2）2﹣a2＝24，
（a+2）2﹣a2＝（a+2+a）（a+2﹣a）＝4a+4＝24，
解得 a＝5．
【点评】本题考查了平方差公式，掌握正方形面积公式并熟记公式结构是解题的关键．
16．从前，有一个狡猾的地主，把一块边长为 a 米的正方形土地租给马老汉栽种．过了一年，
他对马老汉说：“我把你这块地的一边减少 5 米，另一边增加 5 米，继续租给你，你也
没吃亏，你看如何？”马老汉一听，觉得好像没吃亏，就答应了．其实我们知道马老汉
吃亏了．请运用本学期相关知识分析一下马老汉租用的土地面积亏了 25 平方米．【分析】由题意可知道原来正方形土地的面积是a2 平方米，而现在这块地的一边减少 5 米，
另一边增加 5 米后的面积是（a﹣5）（a+5）平方米，然后用 a2 减去（a﹣5）（a+5）算出
答案即可．
【解答】解：∵原来正方形土地的面积是 a2 平方米，
现在这块地的一边减少 5 米，另一边增加 5 米后的面积是（a﹣5）（a+5）平方米，
∴a2﹣（a﹣5）（a+5）＝a2﹣（a2﹣25）＝25 平方米，
∴马老汉租用的土地面积亏了 25 平方米，
故答案为：25．
【点评】本题考查了平方差公式在生活实际中的运用，解题的关键就是读懂题意列出算式，
然后熟练的运用平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 进行计算．
17．一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未
被小正方形覆盖部分的面积是 ab （用 a、b 的代数式表示）．
【分析】利用大正方形的面积减去 4 个小正方形的面积即可求解．
【解答】解：设大正方形的边长为 x1，小正方形的边长为 x2，由图①和②列出方程组得，
解得，
②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积＝（ ）2﹣4×（ ）2＝ab．
故答案为：ab．
【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，正确求出大小正方形的边长列代数式，以及整
式的化简，正确对整式进行化简是关键．
18．有两个正方形 A，B，现将 B 放在 A 的内部得图甲，将 A，B 并列放置后构造新的正方形
得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为 1 和 12，则正方形 A，B 的面积之和为 13 ．
【分析】设正方形 A 的边长为 a，正方形 B 的边长为 b，由图形得出关系式求解即可．
【解答】解：设正方形 A 的边长为 a，正方形 B 的边长为 b，
由图甲得 a2﹣b2﹣2（a﹣b）b＝1 即 a2+b2﹣2ab＝1，
由图乙得（a+b）2﹣a2﹣b2＝12，2ab＝12，
所以 a2+b2＝13，
故答案为：13．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是根据图形得出数量关
系．
19 ． 一 个 长 方 形 的 面 积 是 2a2 ﹣ 2b2 ， 如 果 它 的 一 条 边 长 是 a ﹣ b ， 则 它 的 周 长 是
6a+2b ．
【分析】首先根据面积公式求得长方形的另一边长，然后根据长方形的周长公式求解．
【解答】解：长方形的另一边长为：（2a2﹣2b2）÷（a﹣b）＝ ＝2（a+b）＝
2a+2b，
∴长方形的周长为（2a+2b+a﹣b）×2＝（3a+b）×2＝6a+2b，
故答案为：6a+2b．
【点评】本题考查了整式的除法，解决本题的关键是根据面积公式求得长方形的另一边
长．
20．为了交通方便，在一块长为 am，宽为 bm 的长方形稻田内修两条道路，横向道路为矩形，
纵向道路为平行四边形，道路的宽均为 1m（如图），则余下可耕种土地的面积是 （ab﹣
a﹣b+1） m2．
【分析】由题意可求出长方形稻田的面积，然后求出矩形道路的面积和平行四边形道路的面
积．另外两条道路重合部分的面积也是平行四边形，面积也需要求出，则余下土地面积等于：长方形稻田的面积﹣矩形道路的面积﹣平行四边形道路的面积+重合部分的面积，
代入计算即可．
【解答】解：由题可知，耕地面积＝（ab﹣a﹣b+1）m2．
【点评】本题考查了整式的混合运算，解题时不要忘记要加上两条道路复合的部分，因为它
被减了两次．
三．解答题（共 5 小题）
21．如果 a2﹣2（k﹣1）ab+9b2 是一个完全平方式，那么 k＝ 4 或﹣2 ．
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k 的
值．
【解答】解：∵a2﹣2（k﹣1）ab+9b2＝a2﹣2（k﹣1）ab+（3b）2，
∴﹣2（k﹣1）ab＝±2×a×3b，
∴k﹣1＝3 或 k﹣1＝﹣3，
解得 k＝4 或 k＝﹣2．
即 k＝4 或﹣2．
故答案为：4 或﹣2．
【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，
熟记完全平方公式对解题非常重要．
22．通常情况下，用两种不同的方法计算同一图形的面积，可以得到一个恒等式，
①如图 1，根据图中阴影部分的面积可表示为 （a+b）2﹣（a﹣b）2 ，还可表示为 4ab ，
可以得到的恒等式是 （a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab
②类似地，用两种不同的方法计算同一各几何体的体积，也可以得到一个恒等式，如图 2 是
边长为 a+b 的正方体，被如图所示的分割线分成 8 块．用不同方法计算这个正方体的体
积，就可以得到一个恒等式，这个恒等式是 （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3 ．
【分析】①根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一种是用大正方形面积﹣空白部分正方形面积；另一种是将阴影部分的四个长方形面积相加，可得等式（a+b）2﹣
（a﹣b）2＝4ab；
②根据体积的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一种是将大正方体棱长表示出来求体
积；另一种是将各个小的长方体体积加起来，可得等式（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3．
【解答】解：①∵阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣中间小正方形的面积 即：（a+b）2﹣
（a﹣b）2，
又∵阴影部分的面积由 4 个长为 a，宽为 b 的小正方形构成 即：4ab，
∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；
故答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2；4ab；（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；
②∵八个小正方体和长方体的体积之和是：a3+a2b+a2b+ab2+a2b+ab2+ab2+b3，
∴（a+b）3＝a3+a2b+a2b+ab2+a2b+ab2+ab2+b3，
∴（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3；
故答案为：（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，运用几何直观理解、解决完全平方公式
的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
23．计算：4a2b•（﹣ab2）3÷（2ab）
【分析】先计算乘方，再计算乘法，最后计算除法即可得．
【解答】解：原式＝4a2b•（﹣a3b6）÷（2ab）
＝﹣4a5b7÷（2ab）
＝﹣2a4b6．
【点评】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式的混合运算顺序和运算法则．
24．先化简，再求值：（9x3y﹣12xy3+3xy2）÷（﹣3xy）﹣（2y+x）（2y﹣x），其中 x＝1，
y＝﹣2．
【分析】根据整式的除法和平方差公式可以化简本题，然后将 x＝1，y＝﹣2 代入化简后的
式子即可解答本题．
【解答】解：（9x3y﹣12xy3+3xy2）÷（﹣3xy）﹣（2y+x）（2y﹣x）
＝﹣3x2+4y2﹣y﹣4y2+x2
＝﹣2x2﹣y，
当 x＝1，y＝﹣2 时，原式＝﹣2×12﹣（﹣2）＝﹣2+2＝0．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，式子化到最简是解题的关键．25．如图，有一块边长为（3a+2）米的正方形铁片，王师傅要制作一个工件，欲在正方形铁
片中央剪去一个小正方形铁片，按照图纸要求剪去小正方形后工件的宽度为 2b 米．问剪
去小正方形后工件的面积是多少？
【分析】利用原来的正方形的面积减去减掉的正方形的面积即可．
【解答】解：由题意得减掉的小正方形的边长为 3a+2﹣4b，
所以剪去小正方形后工件的面积为
（3a+2）2﹣（3a+2﹣4b）2＝24ab+16b﹣16b2（米 2）．
答：剪去小正方形后工件的面积是 24ab+16b﹣16b2 米 2．
【点评】该题目考查了正方形的面积和整式的混合运算，关键是根据题意列出关系式．
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