7.5 多边形的内角和与外角和
一．选择题（共 13 小题）
1．如果三角形的三个内角的度数比是 2：3：4，则它是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．钝角或直角三角形
2．如图，在△ABC 中，∠B＝50°，∠A＝30°，CD 平分∠ACB，CE⊥AB 于点 E，则∠DCE 的
度数是（ ）
A．5° B．8° C．10° D．15°
3．如图，将一张三角形纸片 ABC 的一角折叠，使点 A 落在△ABC 外的 A'处，折痕为 DE．如
果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么下列式子中正确的是（ ）
A．γ＝2α+β B．γ＝α+2β C．γ＝α+β D．γ＝180°﹣α﹣β
4．如图，∠A＝70°，∠B＝40°，∠C＝20°，则∠BOC＝（ ）
A．130° B．120° C．110° D．100°
5．星期天小明给在建筑工地的爸爸送工具，见一人字架，经测得∠1＝110°，则∠3 比∠2
大（ ）A．50° B．65° C．70° D．130°
6．不是利用三角形稳定性的是（ ）
A．自行车的三角形车架 B．三角形房架
C．照相机的三角架 D．矩形门框的斜拉条
7．一个多边形截去一角后，变成一个八边形则这个多边形原来的边数是（ ）
A．8 或 9 B．2 或 8 C．7 或 8 或 9 D．8 或 9 或 10
8．从六边形的一个顶点出发，可以画出 m 条对角线，它们将六边形分成 n 个三角形．则 m、
n 的值分别为（ ）
A．4，3 B．3，3 C．3，4 D．4，4
9．下列语句正确的是（ ）
A．线段 AB 是点 A 与点 B 的距离
B．过 n 边形的每一个顶点有（n﹣3）条对角线
C．各边相等的多边形是正多边形
D．两点之间的所有连线中，直线最短
10．下列结论正确的是（ ）
A．两直线被第三条直线所截，同位角相等
B．三角形的一个外角等于两个内角的和
C．多边形最多有三个外角是钝角
D．连接平面上三点构成的图形是三角形
11．如图，在六边形 ABCDEF 中，若∠A+∠B+∠C+∠D＝500°，∠DEF 与∠AFE 的平分线交于
点 G，则∠G 等于（ ）
A．55° B．65° C．70° D．80°
12．用一些形状大小完全相同的图形不能镶嵌成平面图案的是（ ）
A．三角形 B．菱形 C．正六边形 D．正七边形13．下列组合不能密铺平面的是（ ）
A．正三角形、正方形和正六边形
B．正三角形、正方形和正十二边形
C．正三角形、正六边形和正十二边形
D．正方形、正六边形和正十二边形
二．填空题（共 8 小题）
14．在正三角形、正方形、正六边形、正八边形中，用相同的正多边形不能铺满地面的是 ．
15．一幅图案在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成．其中的两个分别是正六边
形和正十二边形，则第三个正多边形的边数是 ．
16．如图，在△ABC 中，∠A＝40°，∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点 P，则∠BPC 的度数
为 ．
17．正十边形一个内角度数为 ．
18．如图，在△ABC 中，∠B＝63°，∠C＝51°，AD 是 BC 边上的高，AE 是∠BAC 的平分线，
则∠DAE 的度数 °．
19．将一副直角三角板如图放置，使两直角重合，则∠1＝ 度．
20．分别根据下列图 1、图 2、图 3 中已知角的度数，写出相应∠α 的度数．（1） ；（2） ；（3）
21．如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和
是 ．
三．解答题（共 5 小题）
22．如图所示，在四边形 ABCD 中，点 E 在 BC 上，AB∥DE，∠B＝78°，∠C＝60°，求∠EDC
的度数．
23．如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠C 的外角∠ACD 的平分线相交于点 E，∠EBD＝30
°，∠ECD＝65°，求∠A 的度数．
24．如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC 的纸片，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，将△
ABC 沿着 DE 折叠压平，A 与 A′重合，若∠A＝75°，求∠1+∠2 的度数．
25．在各个内角都相等的多边形中，一个外角等于一个内角的 ，求这个多边形每一个内角
的度数和它的边数．
26．【问题】用 n 边形的对角线把 n 边形分割成（n﹣2）个三角形，共有多少种不同的分割
方案（n≥4）？【探究】为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，
再逐次递进转化，最后猜想得出结论．不妨假设 n 边形的分割方案有 Pn 种．
探究一：用四边形的对角线把四边形分割成 2 个三角形，共有多少种不同的分割方案？
如图①，图②，显然，只有 2 种不同的分割方案．所以，P4＝2，
探究二：用五边形的对角线把五边形分割成 3 个三角形，共有多少种不同的分割方案？
不妨把分割方案分成三类：
第 1 类：如图③，用 A，E 与 B 连接，先把五边形分割转化成 1 个三角形和 1 个四边形，再
把四边形分割成 2 个三角形，由探究一知，有 P4 种不同的分割方案，所以，此类共有 P4
种不同的分割方案．
第 2 类：如图④，用 A，E 与 C 连接，把五边形分割成 3 个三角形，有 1 种不同的分割方案，
可视为 P4 种分割方案．
第 3 类：如图⑤，用 A，E 与 D 连接，先把五边形分割转化成 1 个三角形和 1 个四边形，再
把四边形分割成 2 个三角形，由探究一知，有 P4 种不同的分割方案，所以，此类共有 P4
种不同的分割方案．
所以，P5＝P4+ P4+P4＝ ×P4＝ ×P4＝5（种）
探究三：用六边形的对角线把六边形分割成 4 个三角形，共有多少种不同的分割方案？
不妨把分割方案分成四类：
第 1 类：如图⑥，用 A，F 与 B 连接，先把六边形分割转化成 1 个三角形和 1 个五边形，再
把五边形分割成 3 个三角形，由探究二知，有 P5 种不同的分割方案．所以，此类共有 P5
种不同的分割方案．
第 2 类：如图⑦，用 A，F 与 C 连接，先把六边形分割转化成 2 个三角形和 1 个四边形．再
把四边形分割成 2 个三角形，由探究一知，有 P4 种不同的分割方案．所以，此类共有 P4
种分割方案．
第 3 类：如图⑧，用 A，F 与 D 连接，先把六边形分割转化成 2 个三角形和 1 个四边形，再
把四边形分割成 2 个三角形，由探究一知，有 P4 种不同的分割方案，所以，此类共有 P4
种分割方案．
第 4 类：如图⑨，用 A，F 与 E 连接，先把六边形分割转化成 1 个三角形和 1 个五边形，再
把五边形分割成 3 个三角形，由探究二知，有 P5 种不同的分割方案所以，此类共有 P5 种
分割方案．所以，P6＝P5+P4+P4+P5＝P5+ P5+ P5+P5═ P5＝14（种）
探究四：用七边形的对角线把七边形分割成 5 个三角形，则 P7 与 P6 的关系为：
P7＝ P6，共有 种不同的分割方案．……
【结论】用 n 边形的对角线把 n 边形分割成（n﹣2）个三角形，共有多少种不同的分割方案
（n≥4）？（直接写出 Pn 与 Pn﹣1 的关系式，不写解答过程）．
【应用】用八边形的对角线把八边形分割成 6 个三角形，共有多少种不同的分割方案？（应
用上述结论，写出解答过程）参考答案与试题解析
一．选择题（共 13 小题）
1．如果三角形的三个内角的度数比是 2：3：4，则它是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．钝角或直角三角形
【分析】利用“设 k 法”求出最大角的度数，然后作出判断即可．
【解答】解：设三个内角分别为 2k、3k、4k，
则 2k+3k+4k＝180°，
解得 k＝20°，
所以，最大的角为 4×20°＝80°，
所以，三角形是锐角三角形．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，利用“设 k 法”表示出三个内角求解更加简
便．
2．如图，在△ABC 中，∠B＝50°，∠A＝30°，CD 平分∠ACB，CE⊥AB 于点 E，则∠DCE 的
度数是（ ）
A．5° B．8° C．10° D．15°
【分析】依据直角三角形，即可得到∠BCE＝40°，再根据∠A＝30°，CD 平分∠ACB，即可
得到∠BCD 的度数，再根据∠DCE＝∠BCD﹣∠BCE 进行计算即可．
【解答】解：∵∠B＝50°，CE⊥AB，
∴∠BCE＝40°，
又∵∠A＝30°，CD 平分∠ACB，
∴∠BCD＝ ∠BCA＝ ×（180°﹣50°﹣30°）＝50°，
∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCE＝50°﹣40°＝10°，
故选：C．【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是 180°是解答此题的关键．
3．如图，将一张三角形纸片 ABC 的一角折叠，使点 A 落在△ABC 外的 A'处，折痕为 DE．如
果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么下列式子中正确的是（ ）
A．γ＝2α+β B．γ＝α+2β C．γ＝α+β D．γ＝180°﹣α﹣β
【分析】根据三角形的外角得：∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，代入已知可得
结论．
【解答】解：由折叠得：∠A＝∠A'，
∵∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，
∵∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，
∴∠BDA'＝γ＝α+α+β＝2α+β，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角
的和是关键．
4．如图，∠A＝70°，∠B＝40°，∠C＝20°，则∠BOC＝（ ）
A．130° B．120° C．110° D．100°【分析】延长 BO，交 AC 于点 D，可得∠BOC＝∠C+∠ODC，∠ODC＝∠A+∠B，从而得出答
案．
【解答】解：延长 BO，交 AC 于点 D，
∵∠BOC＝∠C+∠ODC，∠ODC＝∠A+∠B，∠A＝70°，∠B＝40°，∠C＝20°，
∴∠BOC＝∠C+∠A+∠B
＝20°+80°+30°
＝130°．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形外角的性质，三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和．
5．星期天小明给在建筑工地的爸爸送工具，见一人字架，经测得∠1＝110°，则∠3 比∠2
大（ ）
A．50° B．65° C．70° D．130°
【分析】由三角形的外角性质知∠3＝∠4+∠2，又已知∠1＝110°，根据平角的定义易得∠
4，从而计算出∠3 比∠2 大多少．
【解答】解：∵∠1+∠4＝180°，∠1＝110°，
∴∠4＝70°．
∵∠3＝∠2+∠4
∴∠3﹣∠2＝∠4＝70°．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形外角与内角的关系、平角的定义．三角形的外角与内角间的关系：外角与相邻内角互补；外角等于不相邻的两个内角的和．
6．不是利用三角形稳定性的是（ ）
A．自行车的三角形车架 B．三角形房架
C．照相机的三角架 D．矩形门框的斜拉条
【分析】利用三角形的稳定性进行解答．
【解答】解：照相机的三角架不是利用其稳定性，A、B、D 都是利用了三角形的稳定性，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用问题，关键是分析能否在同一平面
内组成三角形．
7．一个多边形截去一角后，变成一个八边形则这个多边形原来的边数是（ ）
A．8 或 9 B．2 或 8 C．7 或 8 或 9 D．8 或 9 或 10
【分析】根据截去一个角后边数增加 1，不变，减少 1 讨论得解．
【解答】解：∵截去一个角后边数可以增加 1，不变，减少 1，
∴原多边形的边数是 7 或 8 或 9．
故选：C．
【点评】本题考查了多边形，关键是理解多边形截去一个角后边数有增加 1，不变，减少 1
三种情况．
8．从六边形的一个顶点出发，可以画出 m 条对角线，它们将六边形分成 n 个三角形．则 m、
n 的值分别为（ ）
A．4，3 B．3，3 C．3，4 D．4，4
【分析】从一个n 边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是 n﹣3，分成的三角形数是 n
﹣2．
【解答】解：对角线的数量＝6﹣3＝3 条；
分成的三角形的数量为 n﹣2＝4 个．
故选：C．
【点评】本题考查多边形的对角线及分割成三角形个数的问题，解答此类题目可以直接记忆：
一个 n 边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是 n﹣3，分成的三角形数是 n﹣2．
9．下列语句正确的是（ ）
A．线段 AB 是点 A 与点 B 的距离
B．过 n 边形的每一个顶点有（n﹣3）条对角线C．各边相等的多边形是正多边形
D．两点之间的所有连线中，直线最短
【分析】利用线段的性质和多边形的性质与特征，逐一判定即可．
【解答】解：A、应是线段 AB 的长度是点 A 与点 B 之间的距离，故错误；
B、过 n 边形的每一个顶点有（n﹣3）条对角线，故正确；
C、各角相等，各边相等的多边形是正多边形，故错误；
D、连接两点的所有连线中，线段最短，故错误．
故选：B．
【点评】此题考查多边形的意义与性质以及线段的意义与性质的运用．
10．下列结论正确的是（ ）
A．两直线被第三条直线所截，同位角相等
B．三角形的一个外角等于两个内角的和
C．多边形最多有三个外角是钝角
D．连接平面上三点构成的图形是三角形
【分析】根据平行线的性质定理，以及三角形的外角的性质定理，三角形的定义即可判
断．
【解答】解：A、两平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故选项错误；
B、三角形的一个外角等于两个不相邻内角的和，故选项错误；
C、多边形的外角和是 360°，若外角的个数超过 3 个，则外角的和就超过 360°，因而最多
有 3 个外角，正确；
D、连接平面上不在一条直线上的三点构成的图形是三角形，故选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质定理，以及三角形的外角的性质定理，是一个基础题．
11．如图，在六边形 ABCDEF 中，若∠A+∠B+∠C+∠D＝500°，∠DEF 与∠AFE 的平分线交于
点 G，则∠G 等于（ ）
A．55° B．65° C．70° D．80°【分析】首先根据三角形的内角和定理，求出∠DEF 与∠AFE 的度数和是多少，进而求出∠
GEF 与∠GFE 的度数和是多少；然后在△GEF 中，根据三角形的内角和定理，求出∠G 等
于多少即可．
【解答】解：六边形 ABCDEF 的内角和是：
（6﹣2）×180°
＝4×180°
＝720°
∵∠A+∠B+∠C+∠D＝500°，
∴∠DEF+∠AFE＝720°﹣500°＝220°，
∵GE 平分∠DEF，GF 平分∠AFE，
∴∠GEF+∠GFE＝ （∠DEF+∠AFE）＝ ×220°＝110°，
∴∠G＝180°﹣110°＝70°．
故选：C．
【点评】此题主要考查了多边形的内角与外角的计算，解答此题的关键是要明确：（1）多
边形内角和定理：（n﹣2）•180（n≥3）且 n 为整数）．（2）多边形的外角和指每个顶点
处取一个外角，则 n 边形取 n 个外角，无论边数是几，其外角和永远为 360°．
12．用一些形状大小完全相同的图形不能镶嵌成平面图案的是（ ）
A．三角形 B．菱形 C．正六边形 D．正七边形
【分析】分别求出三角形的内角和，各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可
作出判断．
【解答】解：A、三角形的内角和是 180°，6 个能密铺；
B、菱形的内角和是 360°，4 个能密铺；
C、正六边形每个内角为 120 度，能找出 360 度，能密铺；
D、正七边形每个内角是：180°﹣360°÷7＝128.6°，不能整除 360°，不能密铺．
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是：一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除 360°．任
意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除 360°．
13．下列组合不能密铺平面的是（ ）
A．正三角形、正方形和正六边形B．正三角形、正方形和正十二边形
C．正三角形、正六边形和正十二边形
D．正方形、正六边形和正十二边形
【分析】分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答案．
【解答】解：A、正三角形、正方形和正六边形，可以密铺平面，比如：2 个正方形，一个
正六边形，一个正三角形．本选项不符合题意；
B、正三角形、正方形和正十二边形，可以密铺平面，比如：2 个正三角形、一个正方形、
一个正十二边形．本选项不符合题意；
C、正三角形、正六边形和正十二边形，不能密铺平面．本选项符合题意；
D、正方形、正六边形和正十二边形．可以密铺平面，比如：一个正方形、一个正六边形、
一个正十二边形．本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了平面镶嵌，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多
边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
二．填空题（共 8 小题）
14．在正三角形、正方形、正六边形、正八边形中，用相同的正多边形不能铺满地面的是
正八边形 ．
【分析】根据平面图形镶嵌的定义：用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼
接．彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片．可求解．
【解答】解：∵正三角形的内角为 60°，正四边形的内角为 90°，正六边形的内角为 120
°，正八边形的内角为 135°
∴ ＝6， ＝4， ＝3， ＝2
∴用相同的正多边形不能铺满地面的是正八边形
故答案为正八边形
【点评】本题考查了平面图形镶嵌，关键是利用平面图形镶嵌的定义解决问题．
15．一幅图案在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成．其中的两个分别是正六边
形和正十二边形，则第三个正多边形的边数是 四 ．
【分析】正多边形的组合能否进行平面镶嵌，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为
360°．若能，则说明能进行平面镶嵌；反之，则说明不能进行平面镶嵌．【解答】解：由于正六边形和正十二边形内角分别为 120°、150°，
∵360﹣（150+120）＝90，
又∵正方形内角为 90°，
∴第三个正多边形的边数是四．
故答案为四．
【点评】本题考查了平面镶嵌（密铺），几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起
的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
16．如图，在△ABC 中，∠A＝40°，∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点 P，则∠BPC 的度数
为 110° ．
【分析】运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠ABC+∠ACB，进而求出∠
BPC 即可解决问题；
【解答】解：∵∠A＝40°．
∴∠ABC+∠ACB＝140°，
∵点 P 是∠ABC 和∠ACB 的平分线的交点，
∴∠BPC＝180°﹣ （∠ABC+∠ACB）＝180°﹣ ×140°＝110°，
故答案为：110°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定
理是解题的关键．
17．正十边形一个内角度数为 144° ．
【分析】利用正十边形的外角和是 360 度，并且每个外角都相等，即可求出每个外角的度数；
再根据内角与外角的关系可求出正十边形的每个内角的度数；
【解答】解：∵一个十边形的每个外角都相等，
∴十边形的一个外角为 360÷10＝36°．
∴每个内角的度数为 180°﹣36°＝144°； 故答案为：144°．
【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角的关系．多边形的外角性质：多边形的外角和
是 360 度．边形的内角与它的外角互为邻补角．
18．如图，在△ABC 中，∠B＝63°，∠C＝51°，AD 是 BC 边上的高，AE 是∠BAC 的平分线，
则∠DAE 的度数 6 °．
【分析】根据三角形内角和定理求得∠BAC 的度数，则∠EAC 即可求解，然后在△ACD 中，
利用三角形内角和定理求得∠DAC 的度数，根据∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC 即可求解．
【解答】解：∵在△ABC 中，∠B＝63°，∠C＝51°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣63°﹣51°＝66°，
∵AE 是∠BAC 的平分线，
∴∠EAC＝ ∠BAC＝33°，
在直角△ADC 中，∠DAC＝90°﹣∠C＝90°﹣51°＝39°，
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝39°﹣33°＝6°．
故答案为：6．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理以及角平分线的定义，正确理解∠DAE＝∠DAC﹣∠
EAC 是关键，此题难度不大．
19．将一副直角三角板如图放置，使两直角重合，则∠1＝ 165 度．
【分析】由题意得出∠CAD＝60°、∠B＝45°、∠CAB＝120°，根据∠1＝∠B+∠CAB 可得
答案．
【解答】解：如图，由题意知，∠CAD＝60°，∠B＝45°，
∴∠CAB＝120°，
∴∠1＝∠B+∠CAB＝45°+120°＝165°，
故答案为：165．
【点评】本题主要考查三角形外角的性质，解题的关键是掌握三角形的一个外角等于和它不
相邻的两个内角的和．
20．分别根据下列图 1、图 2、图 3 中已知角的度数，写出相应∠α 的度数．
（1） 50° ；（2） 27° ；（3） 50°
【分析】（1）根据三角形的外角的性质，可得答案；
（2）根据三角形的内角和，对顶角相等，可得答案；
（3）根据多边形的外角和，可得答案．
【解答】解：（1）α＝140°﹣90°，
解得 α＝50°．
（2）180°﹣（α+30°）＝180°﹣（21°+36°），
解得 α＝27°．
（3）n 边形外角和为 360°，如图 ，
∵∠1+∠α+120°+120°＝360°，
∴120°+120°+（180°﹣110°）+α＝360°，
解得 α＝50°，故答案为：50°，27°，50°．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，利用多边形的内角和、外角和是解题关键．
21．如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是 540°
或 360°或 180° ．
【分析】剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也
可能减少一个，根据多边形的内角和定理即可求解．
【解答】解：n 边形的内角和是（n﹣2）•180°，
边数增加 1，则新的多边形的内角和是（4+1﹣2）×180°＝540°，
所得新的多边形的角不变，则新的多边形的内角和是（4﹣2）×180°＝360°，
所得新的多边形的边数减少 1，则新的多边形的内角和是（4﹣1﹣2）×180°＝180°，
因而所成的新多边形的内角和是 540°或 360°或 180°．
故答案为：540°或 360°或 180°．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和的计算公式，理解：剪掉一个多边形的一个角，则
所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个，是解决本题的关
键．
三．解答题（共 5 小题）
22．如图所示，在四边形 ABCD 中，点 E 在 BC 上，AB∥DE，∠B＝78°，∠C＝60°，求∠EDC
的度数．
【分析】由AB∥DE 可得∠B＝∠DEC＝78°，已知∠C＝60°，根据三角形内角和定理即可得
∠EDC 的度数．
【解答】解：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEC＝78°，
∵∠C＝60°，
∴∠EDC＝180°﹣∠C﹣∠DEC＝180°﹣78°﹣60°＝42°．
故∠EDC 的度数为 42°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质及三角形内角和定理，比较简单．23．如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠C 的外角∠ACD 的平分线相交于点 E，∠EBD＝30
°，∠ECD＝65°，求∠A 的度数．
【分析】根据∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB，想办法求出∠ABC，∠ACB 即可．
【解答】解：∵CE 是∠ACD 的角平分线，
∴∠ACD＝2∠ECD＝130°，
∴∠ACB＝50°，
∵BE 是∠ABC 的平分线，
∴∠ABC＝2∠EBC＝60°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣60°﹣50°＝70°．
【点评】本题考查三角形外角的性质、三角形内角和定理、角平分线的定义等知识，解题的
关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
24．如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC 的纸片，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，将△
ABC 沿着 DE 折叠压平，A 与 A′重合，若∠A＝75°，求∠1+∠2 的度数．
【分析】先根据图形翻折变化的性质得出△ADE≌△A′DE，∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′
DE，再根据三角形内角和定理求出∠AED+∠ADE 及∠A′ED+∠A′DE 的度数，然后根据平
角的性质即可求出答案．
【解答】解：∵△A′DE 是△ABC 翻折变换而成，
∴∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE，∠A＝∠A′＝75°，
∴∠AED+∠ADE＝∠A′ED+∠A′DE＝180°﹣75°＝105°，
∴∠1+∠2＝360°﹣2×105°＝150°．
【点评】本题考查的是图形翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠
前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．25．在各个内角都相等的多边形中，一个外角等于一个内角的 ，求这个多边形每一个内角
的度数和它的边数．
【分析】已知关系为：一个外角＝一个内角× ，隐含关系为：一个外角+一个内角＝180
°，由此即可解决问题．
【解答】解：设这个多边形的每一个内角为 x°，
由题意，得：180﹣x＝ x，
解得：x＝140，
∴边数为 360÷（180﹣140）＝9，
答：这个多边形的每一个内角的度数为 140°，它的边数为 9．
【点评】本题主要考查多边形内角与外角，用到的知识点为：各个内角相等的多边形的边数
可利用外角来求，边数＝360÷一个外角的度数．
26．【问题】用 n 边形的对角线把 n 边形分割成（n﹣2）个三角形，共有多少种不同的分割
方案（n≥4）？
【探究】为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，
再逐次递进转化，最后猜想得出结论．不妨假设 n 边形的分割方案有 Pn 种．
探究一：用四边形的对角线把四边形分割成 2 个三角形，共有多少种不同的分割方案？
如图①，图②，显然，只有 2 种不同的分割方案．所以，P4＝2，
探究二：用五边形的对角线把五边形分割成 3 个三角形，共有多少种不同的分割方案？
不妨把分割方案分成三类：
第 1 类：如图③，用 A，E 与 B 连接，先把五边形分割转化成 1 个三角形和 1 个四边形，再
把四边形分割成 2 个三角形，由探究一知，有 P4 种不同的分割方案，所以，此类共有 P4
种不同的分割方案．
第 2 类：如图④，用 A，E 与 C 连接，把五边形分割成 3 个三角形，有 1 种不同的分割方案，
可视为 P4 种分割方案．
第 3 类：如图⑤，用 A，E 与 D 连接，先把五边形分割转化成 1 个三角形和 1 个四边形，再
把四边形分割成 2 个三角形，由探究一知，有 P4 种不同的分割方案，所以，此类共有 P4
种不同的分割方案．
所以，P5＝P4+ P4+P4＝ ×P4＝ ×P4＝5（种）探究三：用六边形的对角线把六边形分割成 4 个三角形，共有多少种不同的分割方案？
不妨把分割方案分成四类：
第 1 类：如图⑥，用 A，F 与 B 连接，先把六边形分割转化成 1 个三角形和 1 个五边形，再
把五边形分割成 3 个三角形，由探究二知，有 P5 种不同的分割方案．所以，此类共有 P5
种不同的分割方案．
第 2 类：如图⑦，用 A，F 与 C 连接，先把六边形分割转化成 2 个三角形和 1 个四边形．再
把四边形分割成 2 个三角形，由探究一知，有 P4 种不同的分割方案．所以，此类共有 P4
种分割方案．
第 3 类：如图⑧，用 A，F 与 D 连接，先把六边形分割转化成 2 个三角形和 1 个四边形，再
把四边形分割成 2 个三角形，由探究一知，有 P4 种不同的分割方案，所以，此类共有 P4
种分割方案．
第 4 类：如图⑨，用 A，F 与 E 连接，先把六边形分割转化成 1 个三角形和 1 个五边形，再
把五边形分割成 3 个三角形，由探究二知，有 P5 种不同的分割方案所以，此类共有 P5 种
分割方案．
所以，P6＝P5+P4+P4+P5＝P5+ P5+ P5+P5═ P5＝14（种）
探究四：用七边形的对角线把七边形分割成 5 个三角形，则 P7 与 P6 的关系为：
P7＝ P6，共有 42 种不同的分割方案．……
【结论】用 n 边形的对角线把 n 边形分割成（n﹣2）个三角形，共有多少种不同的分割方案
（n≥4）？（直接写出 Pn 与 Pn﹣1 的关系式，不写解答过程）．
【应用】用八边形的对角线把八边形分割成 6 个三角形，共有多少种不同的分割方案？（应
用上述结论，写出解答过程）【分析】探究四：同理可得：P7＝P6+P5+2P4+P5+P6＝2P6+2× P6+2× P6＝3P6＝42（种）；
【结论】根据四边形、五边形、六边形、七边形的对角线把图形分割成三角形的方案总结规
律可得：Pn＝ Pn﹣1；
【应用】利用规律求得 P8 的值即可．
【解答】解：探究四：用七边形的对角线把七边形分割成 5 个三角形，如图所示：
不妨把分制方案分成五类：
第 1 类：如图 1，用 A，G 与 B 连接，先把七边形分割转化成 1 个三角形和 1 个六边形，由
探究三知，有 P6 种不同的分割方案，所以，此类共有 P6 种不同的分割方案．第 2 类：如图 2，用 A，G 与 C 连接，先把七边形分割转化成 2 个三角形和 1 个五边形．由
探究二知，有 P5 种不同的分割方案．所以，此类共有 P5 种分割方案．
第 3 类：如图 3，用 A，G 与 D 连接，先把七边形分割转化成 1 个三角形和 2 个四边形．由
探究一知，有 2P4 种不同的分割方案．所以，此类共有 2P4 种分割方案．
第 4 类：如图 4，用 A，G 与 E 连接，先把七边形分割转化成 2 个三角形和 1 个五边形．由
探究二知，有 P5 种不同的分割方案．所以，此类共有 P5 种分割方案．
第 5 类：如图 5，用 A，G 与 F 连接，先把七边形分割转化成 1 个三角形和 1 个六边形．由
探究三知，有 P6 种不同的分割方案．所以，此类共有 P6 种分割方案．
所以，P7＝P6+P5+2P4+P5+P6＝2P6+2× P6+2× P6＝ P6＝3P6＝42（种）．
故答案为：18，42；
【结论】：
由题意知：P5＝ ×P4，P6＝ P5，P7＝ P6，…
∴Pn＝ Pn﹣1；
【应用】
根据结论得：P8＝ ×P7＝ ×42＝132．
【点评】此题主要考查了多边形的对角线，图形变化类，研究了多边形对角线分割三角形的
关系，关键是能够得到规律，有难度，注意利用数形结合的思想．
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