10.1 二元一次方程
一．选择题（共 2 小题）
1．若 x4﹣3|m|+y|n|﹣2＝2009 是关于 x，y 的二元一次方程，且 mn＜0，0＜m+n≤3，则 m﹣n
的值是（ ）
A．﹣4 B．2 C．4 D．﹣2
2．二元一次方程 x+3y＝10 的非负整数解共有（ ）对．
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共 9 小题）
3．已知（a﹣2）x|a|﹣1+3y＝1 是关于 x、y 的二元一次方程，则 a＝ ．
4．若方程（a2﹣9）x2+（a﹣3）x+（2a﹣1）y+4＝0 是关于 x，y 的二元一次方程，则 a 的
值为 ．
5．若 是方程 3x+y＝1 的一个解，则 9a+3b+4＝ ．
6．若 是方程 3x+ay＝1 的一个解，则 a 的值是 ．
7 ． 已 知 x＝ ﹣ 2 ，y＝ 1 是 关 于 二 元 一 次 方 程 3x+5y﹣k＝ 1 的 解 ， 则 代 数 式 2k﹣ 1
＝ ．
8．在二元一次方程 x+4y＝13 中，当 x＝5 时，y＝ ．
9．已知 2x﹣y+3＝0，用含 x 的代数式表示 y，则 y＝ ．
10．如果 2x﹣7y＝5，那么用含 y 的代数式表示 x，则 x＝ ．
11．把方程 3x﹣2y＝5 改写成用含 x 的式子表示 y 的形式： ．
三．解答题（共 3 小题）
12．写出方程 5x﹣3y＝4 的一个解，要求满足：
（1）x、y 相等： ，（2）x、y 互为相反数： ．
13．（开放题）是否存在整数 m，使关于 x 的方程 2x+9＝2﹣（m﹣2）x 在整数范围内有解，
你能找到几个 m 的值？你能求出相应的 x 的解吗？
14．大型客车每辆能坐 54 人，中型客车每辆能坐 36 人，现有 378 人，问需要大、中型客车
各几辆才能使每个人上车都有座位，且每辆车正好坐满？设需要大型客车 x 辆，中型客
车 y 辆．参考答案与试题解析
一．选择题（共 2 小题）
1．若 x4﹣3|m|+y|n|﹣2＝2009 是关于 x，y 的二元一次方程，且 mn＜0，0＜m+n≤3，则 m﹣n
的值是（ ）
A．﹣4 B．2 C．4 D．﹣2
【分析】二元一次方程满足的条件：含有 2 个未知数，未知数的项的次数是 1 的整式方
程．
【解答】解：根据题意，得
，
∴
∵mn＜0，0＜m+n≤3
∴m＝﹣1，n＝3．
∴m﹣n＝﹣1﹣3＝﹣4．
故选：A．
【点评】主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有 2 个
未知数，未知数的项的次数是 1 的整式方程．
2．二元一次方程 x+3y＝10 的非负整数解共有（ ）对．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由于二元一次方程x+3y＝10 中 x 的系数是 1，可先用含 y 的代数式表示 x，然后根
据此方程的解是非负整数，那么把最小的非负整数 y＝0 代入，算出对应的 x 的值，再把
y＝1 代入，再算出对应的 x 的值，依此可以求出结果．
【解答】解：∵x+3y＝10，
∴x＝10﹣3y，
∵x、y 都是非负整数，
∴y＝0 时，x＝10；
y＝1 时，x＝7；
y＝2 时，x＝4；
y＝3 时，x＝1．∴二元一次方程 x+3y＝10 的非负整数解共有 4 对．
故选：D．
【点评】由于任何一个二元一次方程都有无穷多个解，求满足二元一次方程的非负整数解，
即此方程中两个未知数的值都是非负整数，这是解答本题的关键．
注意：最小的非负整数是 0．
二．填空题（共 9 小题）
3．已知（a﹣2）x|a|﹣1+3y＝1 是关于 x、y 的二元一次方程，则 a＝ ﹣2 ．
【分析】根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1，
像这样的方程叫做二元一次方程可得|a|﹣1＝1，且 a﹣2≠0，再解即可．
【解答】解：依题意得：|a|﹣1＝1，且 a﹣2≠0，
解得 a＝﹣2．
故答案是：﹣2．
【点评】此题主要考查了二元一次方程的定义，关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：
①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符
合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
4．若方程（a2﹣9）x2+（a﹣3）x+（2a﹣1）y+4＝0 是关于 x，y 的二元一次方程，则 a 的
值为 ﹣3 ．
【分析】根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1，
像这样的方程叫做二元一次方程可得 a2﹣9＝0，且 a﹣3≠0，2a﹣1≠0，再解即可．
【解答】解：根据题意，得：
解得：a＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】此题主要考查了二元一次方程的定义，关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：
①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符
合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
5．若 是方程 3x+y＝1 的一个解，则 9a+3b+4＝ 7 ．
【分析】把方程的解代入方程，把关于x 和 y 的方程转化为关于 a 和 b 的方程，再根据系数的关系来求解．
【解答】解：把 代入方程 3x+y＝1，得
3a+b＝1，
所以 9a+3b+4＝3（3a+b）+4＝3×1+4＝7，
即 9a+3b+4 的值为 7．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，注意运用整体代入的思想．
6．若 是方程 3x+ay＝1 的一个解，则 a 的值是 2 ．
【分析】把 x＝﹣1，y＝2 代入方程可得到关于 a 的方程，可求得 a 的值．
【解答】解：∵ 是方程 3x+ay＝1 的一个解，
∴﹣3+2a＝1，解得 a＝2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查方程解的定义，掌握方程的解是使方程左右两边成立的未知数的值是
解题的关键．
7．已知 x＝﹣2，y＝1 是关于二元一次方程 3x+5y﹣k＝1 的解，则代数式 2k﹣1＝ ﹣
5 ．
【分析】知道了方程的解，可以把这对数值代入方程，得到一个含有未知数k 的一元一次方
程，可以求出 k 的值，从而求出关于 k 的代数式的值．
【解答】解：把 x＝﹣2，y＝1 代入二元一次方程 3x+5y﹣k＝1，
得﹣6+5﹣k＝1，
解得 k＝﹣2，
则 2k﹣1＝﹣4﹣1＝﹣5．
【点评】解题关键是把方程的解代入原方程，使原方程转化为以系数 k 为未知数的方程．
一组数是方程的解，那么它一定满足这个方程，利用方程的解的定义可以求方程中其他字母
的值．
8．在二元一次方程 x+4y＝13 中，当 x＝5 时，y＝ 2 ．
【分析】把 x 看做已知数，求出 y 即可．
【解答】解：方程 x+4y＝13，
当 x＝5 时，5+4y＝13，
解得：y＝2，故答案为：2
【点评】此题考查了解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9．已知 2x﹣y+3＝0，用含 x 的代数式表示 y，则 y＝ 2x+3 ．
【分析】把 y 当作未知数，解关于 y 的方程即可．
【解答】解：2x﹣y+3＝0，
∴﹣y＝﹣2x﹣3，
∴y＝2x+3．
故答案为：2x+3．
【点评】本题考查了解一元一次方程的应用，关键是理解题意，含x 的代数式表示 y 可理解
为把 x 当作已知数，把 y 当作未知数，求出关于 y 的方程的解，题型较好，但是一道比
较容易出错的题目．
10．如果 2x﹣7y＝5，那么用含 y 的代数式表示 x，则 x＝ ．
【分析】把 y 看做已知数求出 x 即可．
【解答】解：方程 2x﹣7y＝5，
解得：x＝ ，
故答案为：
【点评】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将 y 看做已知数求出 x．
11．把方程 3x﹣2y＝5 改写成用含 x 的式子表示 y 的形式： y＝ ．
【分析】把 x 看做已知数求出 y 即可．
【解答】解：方程 3x﹣2y＝5，
解得：y＝ ，
故答案为：y＝
【点评】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将一个未知数看做已知数求出另一个未
知数．
三．解答题（共 3 小题）
12．写出方程 5x﹣3y＝4 的一个解，要求满足：
（1）x、y 相等： ，（2）x、y 互为相反数： ．【分析】（1）把x＝y 与原方程组成方程组，解方程组得到答案；
（2）把 x+y＝0 与原方程组成方程组，解方程组得到答案
【解答】解：（1）由题意得，
解得： ．
（2）由题意得，
解得： ．
【点评】本题考查的是二元一次方程组的解法，根据题意列出二元一次方程组并正确求解是
解题的关键，注意：互为相反数之和为 0．
13．（开放题）是否存在整数 m，使关于 x 的方程 2x+9＝2﹣（m﹣2）x 在整数范围内有解，
你能找到几个 m 的值？你能求出相应的 x 的解吗？
【分析】要求关于 x 的方程 2x+9＝2﹣（m﹣2）x 在整数范围内有解，首先要解这个方程，
其解 x＝ ，根据题意的要求让其为整数，故 m 的值只能为±1，±7．
【解答】解：存在，四组．
∵原方程可变形为﹣mx＝7，
∴当 m＝1 时，x＝﹣7；
m＝﹣1 时，x＝7；
m＝7 时，x＝﹣1；
m＝﹣7 时，x＝1．
【点评】此题只需把 m 当成字母已知数求解，然后根据条件的限制进行分析求解．
14．大型客车每辆能坐 54 人，中型客车每辆能坐 36 人，现有 378 人，问需要大、中型客车
各几辆才能使每个人上车都有座位，且每辆车正好坐满？设需要大型客车 x 辆，中型客
车 y 辆．
【分析】首先根据题意表示出大型客车x 辆可座 54x 人，中型客车 y 辆可座 36y 人，根据总
人数为 378 可得方程 54x+36y＝378．
【解答】解：设需要大型客车 x 辆，中型客车 y 辆，由题意得：54x+36y＝378，
则 3x+2y＝21，
当 x＝1 时，y＝9；
当 x＝2 时，y＝ （不合题意）；
当 x＝3 时，y＝6；
当 x＝4 时，y＝ （不合题意）；
当 x＝5 时，y＝3；
当 x＝6 时，y＝ （不合题意）；
当 x＝7 时，y＝0（不合题意）；
答：一共有 3 种符合题意的答案即大型客车 1 辆，中型客车 9 辆；大型客车 3 辆，中型客车
6 辆；大型客车 5 辆，中型客车 3 辆．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目
中的等量关系．
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