12.1 定义与命题
一．选择题（共 4 小题）
1．下列命题的逆命题是真命题的是
A．如果两个角是直角，那么它们相等
B．全等三角形的对应角相等
C．两直线平行，内错角相等
D．对顶角相等
2．下列选项中 的值，可以作为命题“ ，则 ”是假命题的反例是
A． B． C． D．
3．已知下列命题：①若 ，则 ；②若 ，则 ；③对顶角相等；④
等腰三角形的两底角相等．其中原命题和逆命题均为真命题的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
4．下列命题：①若 ，则 ；②若 ，则 ；③等边三角形的三个
内角都相等．④线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．以上命题的逆命题是真
命题的有
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
二．填空题（共 7 小题）
5．命题“若 ，则 ”的逆命题是 ，该逆命题是（填“真”或“假” 命
题．
6．写出命题“内错角相等”的逆命题 ．
7．命题“对顶角相等”的条件是 ，结论是 ．
8．写出命题“如果 ”，那么“ ”的逆命题 ．
9．对顶角相等的逆命题是 命题（填写“真”或“假” ．
10．说明命题“ ，则 ”是假命题的一个反例可以是 ．
11．用一组 ， ， 的值说明命题“若 ，则 ”是错误的，这组值可以是 ，
， ．
三．解答题（共 7 小题）
( )
a 2 4a > 2a > ( )
3a = 2a = 3a = − 2a = −
| | | |a b= 2 2a b= 2 2am bm> a b>
( )
| | | |a b> a b> 0a b+ = | | | |a b=
( )
2 2a b> a b> )
a b= 3 3a b=
)
4x > − 2 16x > x =
a b c a b< ac bc< a =
b = c =12．按要求完成下列各小题．
（1）请写出以下命题的逆命题：
①相等的角是内错角；
②如果 ，那么 ；
（3）判断（1）中①的原命题和逆命题是否为逆定理．
13．写出下列各命题的逆命题，并判断原命题和逆命题是不是互逆定理．
（1）相等的角是内错角；
（2）角平分线上的点到角的两边的距离相等．
14．根据命题“两直线平行，内错角相等．”解决下列问题：
（1）写出逆命题；
（2）判断逆命题是真命题还是假命题；
（3）根据逆命题画出图形，写出已知，求证．
15．如图，有三个论断：① ；② ；③ ，请你从中任选两个作为
条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．
16．如图，有三个论断① ；② ；③ ，请从中任选两个作为条件，
另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．
17．请判断下列命题的真假性，若是假命题请举反例说明．
（1）若 ，则 ；
（2）两个无理数的和仍是无理数；
（3）若三角形三边 ， ， 满足 ，则三角形是等边三角形；
（4）若三条线段 ， ， 满足 ，则这三条线段 ， ， 能够组成三角形．
18．说出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假．若逆命题是真命题，请加以证明；若逆
0a b+ > 0ab >
1 2∠ = ∠ B C∠ = ∠ A D∠ = ∠
1 2∠ = ∠ B D∠ = ∠ A C∠ = ∠
a b> 2 2a b>
a b c ( )( )( ) 0a b b c c a− − − =
a b c a b c+ > a b c命题是假命题，请举出反例．
（1）如果 、 都是无理数，那么 也是无理数；
（2）等腰三角形两腰上的高相等．
a b ab参考答案与试题解析
一．选择题（共 4 小题）
1．下列命题的逆命题是真命题的是
A．如果两个角是直角，那么它们相等
B．全等三角形的对应角相等
C．两直线平行，内错角相等
D．对顶角相等
【分析】先写出各个命题的逆命题，再判断其真假即可．
【解答】解： ．如果两个角是直角，那么它们相等，其逆命题“相等的两个角是直角”
为假命题；
．全等三角形的对应角相等，其逆命题“对应角相等的三角形全等”为假命题；
．两直线平行，内错角相等，其逆命题“内错角相等，两直线平行”为真命题；
．对顶角相等，其逆命题“相等的两个角是对顶角”为假命题；
故选： ．
【点评】本题主要考查了命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，
一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
2．下列选项中 的值，可以作为命题“ ，则 ”是假命题的反例是
A． B． C． D．
【分析】根据要证明一个命题结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命
题．
【解答】解：用来证明命题“若 ，则 ”是假命题的反例可以是： ，
，但是 ，
正确；
故选： ．
【点评】此题主要考查了利用举例法证明一个命题错误，要说明数学命题的错误，只需举出
一个反例即可，这是数学中常用的一种方法．
3．已知下列命题：①若 ，则 ；②若 ，则 ；③对顶角相等；④
等腰三角形的两底角相等．其中原命题和逆命题均为真命题的个数是
( )
A
B
C
D
C
a 2 4a > 2a > ( )
3a = 2a = 3a = − 2a = −
2 4a > 2a > 3a = −
2( 3) 4− > 3 2a = − <
C∴
C
| | | |a b= 2 2a b= 2 2am bm> a b>
( )A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】先分别写出四个命题的逆命题，然后根据绝对值的意义、不等式的性质、对顶角的
定义和等腰三角形的判定与性质对各命题进行判断．
【解答】解：若 ，则 ，的逆命题为若 ，则 ，原命题和逆命题均
为真命题；
若 ，则 的逆命题为若 ，则 ，原命题为真命题，逆命题为假命
题；
对顶角相等的逆命题为相等的角为对顶角，原命题为真命题，逆命题为假命题；
等腰三角形的两底角相等的逆命题为有两角相等的三角形为等腰三角形，原命题和逆命题均
为真命题．
故选： ．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和
结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成
“如果 那么 ”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也
考查了逆命题．
4．下列命题：①若 ，则 ；②若 ，则 ；③等边三角形的三个
内角都相等．④线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．以上命题的逆命题是真
命题的有
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
【分析】先得出命题的逆命题，进而判断即可．
【解答】解：①若 ，则 逆命题是若 ，则 ，如果 ， ，
则不成立，是假命题；
②若 ，则 逆命题是若 ，则 ，也可能 ，是假命题；
③等边三角形的三个内角都相等逆命题是三个内角都相等的三角形是等边三角形，是真命题．
④线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等的逆命题是到线段两端的距离相等的点在
线段垂直平分线上，是真命题；
故选： ．
【点评】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命
| | | |a b= 2 2a b= 2 2a b= | | | |a b=
2 2am bm> a b> a b> 2 2am bm>
B
… …
| | | |a b> a b> 0a b+ = | | | |a b=
( )
| | | |a b> a b> a b> | | | |a b> 1a = 3b = −
0a b+ = | | | |a b= | | | |a b= 0a b+ = a b=
C题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
二．填空题（共 7 小题）
5．命题“若 ，则 ”的逆命题是 如 ，则 ， ，该逆命题是（填
“真”或“假” 命题．
【分析】先写出命题的逆命题，然后在判断逆命题的真假．
【解答】解：如 ，则 ”的逆命题是：如 ，则 ，
假设 ， ，此时 ，但 ，即此命题为假命题．
故答案为：如 ，则 ，假．
【点评】此题考查了命题与定理的知识，写出一个命题的逆命题的关键是分清它的题设和结
论，然后将题设和结论交换．在写逆命题时要用词准确，语句通顺．
6．写出命题“内错角相等”的逆命题 如果两个角相等，那么这两个角是内错角． ．
【分析】将原命题的条件与结论互换就得到其逆命题了．
【解答】解：其逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是内错角．
【点评】此题主要考查学生对逆命题的理解及运用能力．
7．命题“对顶角相等”的条件是 两个角是对顶角 ，结论是 ．
【分析】命题是判断一件事情，由条件和结论组成，都能写成“如果 那么 ”的形式，
此命题可写成：如果是对顶角，那么这两个角相等．
【解答】解：此命题可写成：如果是对顶角，那么这两个角相等．因此条件是“两个角是对
顶角”结论是“这两个角相等”
故答案为：两个角是对顶角；这两个角相等．
【点评】本题考查找命题里面的条件和结论，写成“如果 那么 ”的形式可降低难度．
8．写出命题“如果 ”，那么“ ”的逆命题 如果 ，那么 ．
【分析】先找出命题的题设和结论，再说出即可．
【解答】解：命题“如果 ”，那么“ ”的逆命题是：如果 ，那么 ，
故答案为：如果 ，那么 ．
【点评】本题考查了命题与定理的应用，能理解命题的有关内容是解此题的关键．
9．对顶角相等的逆命题是 假 命题（填写“真”或“假” ．
【分析】先根据互逆命题的定义写出对顶角相等的逆命题，再判断真假．
【解答】解：“对顶角相等”的逆命题是：相等的角是对顶角，它是假命题．
2 2a b> a b> a b> 2 2a b>
)
2 2a b> a b> a b> 2 2a b>
1a = 2b = − a b> 2 2a b<
a b> 2 2a b>
… …
… …
a b= 3 3a b= 3 3a b= a b=
a b= 3 3a b= 3 3a b= a b=
3 3a b= a b=
)故答案为：假．
【点评】本题考查了互逆命题及真假命题的定义．两个命题中，如果第一个命题的条件是第
二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互
逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题；正确的命题叫做真命题，错误的命题
叫做假命题．
10．说明命题“ ，则 ”是假命题的一个反例可以是 ．
【分析】当 时，满足 ，但不能得到 ，于是 可作为说明命题
“ ，则 ”是假命题的一个反例．
【解答】解：说明命题“ ，则 ”是假命题的一个反例可以是 ．
故答案为 ．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和
结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成
“如果 那么 ”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．任
何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命
题是假命题，只需举出一个反例即可．
11．用一组 ， ， 的值说明命题“若 ，则 ”是错误的，这组值可以是
1 ， ， ．
【分析】根据题意选择 、 、 的值即可．
【解答】解：当 ， ， 时， ，而 ，
命题“若 ，则 ”是错误的，
故答案为：1；2； ．
【点评】本题考查了命题与定理，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断
一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
三．解答题（共 7 小题）
12．按要求完成下列各小题．
（1）请写出以下命题的逆命题：
①相等的角是内错角；
②如果 ，那么 ；
（3）判断（1）中①的原命题和逆命题是否为逆定理．
4x > − 2 16x > x = 3−
3x = − 4x > − 2 16x > 3x = −
4x > − 2 16x >
4x > − 2 16x > 3x = −
3−
… …
a b c a b< ac bc< a =
b = c =
a b c
1a = 2b = 2c = − 1 2< 1 ( 1) 2 ( 1)× − > × −
∴ a b< ac bc<
1−
0a b+ > 0ab >【分析】（1）逆命题就是把原命题的题设和结论换成逆命题的结论和题设．
（2）首先明确什么是定理，定理必须是真命题，而（1）中①原命题就不是真命题，故①中
的原命题与逆命题不是逆定理．
【解答】解：（1）①相等的角是内错角的逆命题是：如果两个角是内错角，那么这两个角
相等．
②如果 ，那么 的逆命题是：如果 ，那么 ．
（2）因为定理首先是真命题，而（1）中①的原命题与逆命题都是假命题，故（1）中①的
原命题和逆命题不是逆定理．
【点评】本题考查原命题和逆命题的相关知识，什么是逆定理，关键是明确什么是定理．
13．写出下列各命题的逆命题，并判断原命题和逆命题是不是互逆定理．
（1）相等的角是内错角；
（2）角平分线上的点到角的两边的距离相等．
【分析】（1）交换命题的题设与结论即可得到逆命题，然后根据内错角的定义可判断原命题
与逆命题都是假命题；
（2）交换命题的题设与结论即可得到逆命题，然后根据角平分线的性质定理和逆定理可判
断它们为互逆定理．
【解答】解：（1）“相等的角是内错角”的逆命题为“内错角相等”，原命题与逆命题都是
假命题，不是互逆定理；
（2）“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的逆命题为“到一个角的两边的距离相等的
点在这个角的角平分线上”，原命题和逆命题是互逆定理．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和
结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成
“如果 那么 ”形式． 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也
考查了逆命题．
14．根据命题“两直线平行，内错角相等．”解决下列问题：
（1）写出逆命题；
（2）判断逆命题是真命题还是假命题；
（3）根据逆命题画出图形，写出已知，求证．
【分析】（1）把命题的题设和结论交换即可；
（2）根据平行线的判定方法解答；
0a b+ > 0ab > 0ab > 0a b+ >
… …（3）把文字叙述转化为图形写出已知求证即可．
【解答】解：（1）逆命题：内错角相等，两直线平行；
（2）是真命题；
（3）已知：如图， ，
求证： ．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判
断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
15．如图，有三个论断：① ；② ；③ ，请你从中任选两个作为
条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．
【分析】根据题意，请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，根据平行线
的判定和性质及对顶角相等进行证明．
【解答】已知： ，
求证：
证明：
又
又
AMN DNM∠ = ∠
/ /AB CD
1 2∠ = ∠ B C∠ = ∠ A D∠ = ∠
1 2∠ = ∠ B C∠ = ∠
A D∠ = ∠
1 3∠ = ∠
1 2∠ = ∠
3 2∴∠ = ∠
/ /EC BF∴
AEC B∴∠ = ∠
B C∠ = ∠
AEC C∴∠ = ∠
/ /AB CD∴
A D∴∠ = ∠【点评】此题考查命题与定理问题，证明的一般步骤：写出已知，求证，画出图形，再证
明．
16．如图，有三个论断① ；② ；③ ，请从中任选两个作为条件，
另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．
【分析】根据题意，请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，根据平行线
的判定和性质及对顶角相等进行证明．
【解答】已知： ， ．
求证： ．
证明： ，
．
．
，
．
．
．
， ，
．
【点评】证明的一般步骤：写出已知，求证，画出图形，再证明．
17．请判断下列命题的真假性，若是假命题请举反例说明．
（1）若 ，则 ；
（2）两个无理数的和仍是无理数；
（3）若三角形三边 ， ， 满足 ，则三角形是等边三角形；
1 2∠ = ∠ B D∠ = ∠ A C∠ = ∠
B D∠ = ∠ A C∠ = ∠
1 2∠ = ∠
A C∠ = ∠
/ /AB CD∴
B BFC∴∠ = ∠
B D∠ = ∠
BFC D∴∠ = ∠
/ /DE BF∴
DMN BNM∴∠ = ∠
1 DMN∠ = ∠ 2 BNM∠ = ∠
1 2∴∠ = ∠
a b> 2 2a b>
a b c ( )( )( ) 0a b b c c a− − − =（4）若三条线段 ， ， 满足 ，则这三条线段 ， ， 能够组成三角形．
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答
案．
【解答】解：（1）若 ，则 ，是假命题，例如： ，但 ；
（2）两个无理数的和仍是无理数，是假命题，例如： ，和是有理数；
（3）若三角形三边 ， ， 满足 ，则三角形是等边三角形，是假命
题，例如： ， 时， ，三角形是等腰三角形；
（4）若三条线段 ， ， 满足 ，则这三条线段 ， ， 能够组成三角形，是假
命题，例如：三条线段 ， ， 满足 ，但这三条线段不能够组成三
角形．
【点评】此题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判
断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
18．说出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假．若逆命题是真命题，请加以证明；若逆
命题是假命题，请举出反例．
（1）如果 、 都是无理数，那么 也是无理数；
（2）等腰三角形两腰上的高相等．
【分析】（1）把原命题的题设和结论互换可得到其逆命题，利用反例说明逆命题为假命题；
（2）把原命题的题设和结论互换可得到其逆命题，然后根据三角形面积公式和等腰三角形
的定义证明其逆命题为真命题．
【解答】解：（1）逆命题为：如果 是无理数，那么 、 都是无理数．
此逆命题为假命题．例如：如果 ，那么 ， ．
（2）逆命题是：如果一个三角形两边上的高相等，则这个三角形是等腰三角形．
此逆命题是真命题．证明如下：
已知：如图，在 中， 于 ， 于 ，且 ，
求证： ．
证明： ，
而 ，
，
a b c a b c+ > a b c
a b> 2 2a b> 0 1> − 2 20 ( 1)< −
2 2 0− + =
a b c ( )( )( ) 0a b b c c a− − − =
a b= b c≠ ( )( )( ) 0a b b c c a− − − =
a b c a b c+ > a b c
3a = 2b = 1c = a b c+ >
a b ab
ab a b
2 3ab = 2a = 3b =
ABC∆ BE AC⊥ E CF AB⊥ F BE CF=
AB AC=
1 1
2 2ABCS AB CF AC BE∆ = =
BE CF=
AB AC∴ =是等腰三角形．
【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的
命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．也考查了逆命题．
ABC∴∆
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