12.3 互逆命题
一．选择题（共 8 小题）
1．对于命题“在同一平面内，若 ， ，则 ”，用反证法证明，应假设
A． B． C． 与 相交 D． 与 相交
2．已知： 中， ，求证： ，下面写出可运用反证法证明这个命题的
四个步骤：
① ，这与三角形内角和为 矛盾
②因此假设不成立．
③假设在 中，
④由 ，得 ，即 ．这四个步骤正确的顺序应是
A．③④①② B．③④②① C．①②③④ D．④③①②
3．用反证法证明，“在 中， 、 对边是 、 ，若 ，则 ．”第一步
应假设
A． B． C． D．
4．用反证法证明“ ”，应当先假设
A． B． C． D．
5．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于 ”时，首先应假设这
个直角三角形中
A．两个锐角都大于 B．两个锐角都小于 45
C．两个锐角都不大于 D．两个锐角都等于
6．用反证法证明命题“在三角形中，至多有一个内角是直角”时，应先假设
A．至少有一个内角是直角 B．至少有两个内角是直角
C．至多有一个内角是直角 D．至多有两个内角是直角
7．对于命题“已知： ， ，求证： ”．如果用反证法，应先假设
A． 不平行 B． 不平行 C． D． 不平行
8．用反证法证明命题：“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，我们应假设
A．没有一个角是钝角或直角 B．最多有一个角是钝角或直角
/ /a b / /a c / /b c ( )
a c⊥ b c⊥ a c b c
ABC∆ AB AC= 90B∠ < °
180A B C∴∠ + ∠ + ∠ > ° 180°
90B∴∠ < °
ABC∆ 90B∠ °
AB AC= 90B C∠ = ∠ ° 180B C∠ + ∠ ° ( )
ABC∆ A∠ B∠ a b A B∠ > ∠ a b>
( )
a b< a b= a b a b
0a > ( )
0a < 0a 0a ≠ 0a
45°
( )
45°
45° 45°
( )
/ /a b / /b c / /a c ( )
a b b c a c⊥ a c
( )C．有 2 个角是钝角或直角 D．4 个角都是钝角或直角
二．填空题（共 2 小题）
9．用反证法证明“两直线平行，同位角相等”时，可假设 ．
10．已知五个正数的和等于 1．用反证法证明：这五个数中至少有一个大于或等于 应先假
设 ．
三．解答题（共 5 小题）
11．证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于 60 度．
12．利用反证法求证：一个三角形中不能有两个角是钝角．
13．如图，在 中， ， 是 内的一点，且 ，求证：
（反证法）
14．证明：在 中， ， ， 中至少有一个角大于或等于 ．
15．用反证法证明：等腰三角形的底角相等．
1
5
ABC∆ AB AC= P ABC∆ APB APC∠ > ∠ PB PC<
ABC∆ A∠ B∠ C∠ 60°参考答案与试题解析
一．选择题（共 8 小题）
1．对于命题“在同一平面内，若 ， ，则 ”，用反证法证明，应假设
A． B． C． 与 相交 D． 与 相交
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．
【解答】解： 与 的位置关系有 和 与 相交两种，因此用反证法证明“ ”时，
应先假设 与 相交．
故选： ．
【点评】本题结合直线的位置关系考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在
假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一
种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
2．已知： 中， ，求证： ，下面写出可运用反证法证明这个命题的
四个步骤：
① ，这与三角形内角和为 矛盾
②因此假设不成立．
③假设在 中，
④由 ，得 ，即 ．这四个步骤正确的顺序应是
A．③④①② B．③④②① C．①②③④ D．④③①②
【分析】通过反证法的证明步骤：①假设；②合情推理；③导出矛盾；④结论；理顺证明过
程即可．
【解答】解：由反证法的证明步骤：①假设；②合情推理；③导出矛盾；④结论；
所以题目中“已知： 中， ，求证： ”．
用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：
应该为：假设 ；
那么，由 ，得 ，即
所以 ，这与三角形内角和定理相矛盾，；
所以因此假设不成立． ；
原题正确顺序为：③④①②．
故选： ．
/ /a b / /a c / /b c ( )
a c⊥ b c⊥ a c b c
c b / /c b c b / /c b
c b
D
ABC∆ AB AC= 90B∠ < °
180A B C∴∠ + ∠ + ∠ > ° 180°
90B∴∠ < °
ABC∆ 90B∠ °
AB AC= 90B C∠ = ∠ ° 180B C∠ + ∠ ° ( )
ABC∆ AB AC= 90B∠ < °
90B∠ °
AB AC= 90B C∠ = ∠ ° 180B C∠ + ∠ °
180A B C∠ + ∠ + ∠ > °
90B∴∠ < °
A【点评】本题考查反证法证明步骤，考查基本知识的应用，逻辑推理能力．
3．用反证法证明，“在 中， 、 对边是 、 ，若 ，则 ．”第一步
应假设
A． B． C． D．
【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可．
【解答】解：根据反证法的步骤，得
第一步应假设 不成立，即 ．
故选： ．
【点评】此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出
发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．
在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种
就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
4．用反证法证明“ ”，应当先假设
A． B． C． D．
【分析】根据命题：“ ”的反面是：“ ”，可得假设内容．
【解答】解：由于命题：“ ”的反面是：“ ”，
故用反证法证明：“ ”，应假设“ ”，
故选： ．
【点评】此题主要考查了反证法的步骤，熟记反证法的步骤：（1）假设结论不成立；（2）
从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．
5．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于 ”时，首先应假设这
个直角三角形中
A．两个锐角都大于 B．两个锐角都小于 45
C．两个锐角都不大于 D．两个锐角都等于
【分析】用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的
结论是否成立即可．
【解答】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于 ”时，
应先假设两个锐角都大于 ．
故选： ．
ABC∆ A∠ B∠ a b A B∠ > ∠ a b>
( )
a b< a b= a b a b
a b> a b
C
0a > ( )
0a < 0a 0a ≠ 0a
0a > 0a
0a > 0a
0a > 0a
B
45°
( )
45°
45° 45°
45°
45°
A【点评】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时
要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果
有多种情况，则必须一一否定．
6．用反证法证明命题“在三角形中，至多有一个内角是直角”时，应先假设
A．至少有一个内角是直角 B．至少有两个内角是直角
C．至多有一个内角是直角 D．至多有两个内角是直角
【分析】反证法即假设结论的反面成立，“最多有一个”的反面为“至少有两个”．
【解答】解： “最多有一个”的反面是“至少有两个”，反证即假设原命题的逆命题正确
应假设：至少有两个内角是直角．
故选： ．
【点评】此题主要考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成
立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，
如果有多种情况，不需要一一否定，只需否定其一即可．
7．对于命题“已知： ， ，求证： ”．如果用反证法，应先假设
A． 不平行 B． 不平行 C． D． 不平行
【分析】根据命题：“已知： ， ，求证： ”的反面是：“ 不平行 ”，可
得假设内容．
【解答】解：由于命题：“已知： ， ，求证： ”的反面是：“ 不平行 ”，
故用反证法证明：“已知： ， ，求证： ”，应假设“ 不平行 ”，
故选： ．
【点评】此题主要考查了反证法的步骤，熟记反证法的步骤：（1）假设结论不成立；（2）
从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．
8．用反证法证明命题：“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，我们应假设
A．没有一个角是钝角或直角 B．最多有一个角是钝角或直角
C．有 2 个角是钝角或直角 D．4 个角都是钝角或直角
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断；需注意
的是 的反面有多种情况，应一一否定．
【解答】解：用反证法证明命题：“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，应假设没四边
形中没有一个角是钝角或直角，
( )
∴
B
/ /a b / /b c / /a c ( )
a b b c a c⊥ a c
/ /a b / /b c / /a c a c
/ /a b / /b c / /a c a c
/ /a b / /b c / /a c a c
D
( )
a b>故选： ．
【点评】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论
不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以
了，如果有多种情况，则必须一一否定．
二．填空题（共 2 小题）
9．用反证法证明“两直线平行，同位角相等”时，可假设 两直线平行，同位角不相
等 ．
【分析】首先确定命题的结论，进而从反面假设得出答案．
【解答】解：用反证法证明“两直线平行，同位角相等”时，可假设：两直线平行，同位角
不相等．
故答案为：两直线平行，同位角不相等．
【点评】此题主要考查了反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这
个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的
结论正确．
10．已知五个正数的和等于 1．用反证法证明：这五个数中至少有一个大于或等于 应先假
设 这五个数都小于 ．
【分析】熟记反证法的步骤，直接从结论的反面出发得出即可．
【解答】解：知五个正数的和等于 1．用反证法证明：这五个数中至少有一个大于或等于
应先假设这五个数都小于 ，
故答案为：这五个数都小于
【点评】此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：
（1）假设结论不成立；
（2）从假设出发推出矛盾；
（3）假设不成立，则结论成立．
在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种
就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
三．解答题（共 5 小题）
11．证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于 60 度．
A
1
5
1
5
1
5
1
5
1
5【分析】当条件较少，无法直接证明时，可用反证法证明；先假设结论不成立，然后得到与
定理矛盾，从而证得原结论成立．
【解答】证明：假设在一个三角形中没有一个角小于或等于 ，即都大于 ；
那么，这个三角形的三个内角之和就会大于 ；
这与定理“三角形的三个内角之和等于 ”相矛盾，原命题正确．
【点评】本题结合三角形内角和定理考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反
证法的步骤是：
（1）假设结论不成立；
（2）从假设出发推出矛盾；
（3）假设不成立，则结论成立．
在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种
就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
12．利用反证法求证：一个三角形中不能有两个角是钝角．
【分析】根据反证法的证明方法假设出命题，进而证明即可．
【解答】证明：假设 、 、 中有两个角是钝角，不妨设 、 为钝角，
，这与三角形内角和定理相矛盾，故假设不成立原命题正确．
【点评】此题主要考查了反证法，需熟练掌握反证法的一般步骤：
①假设命题的结论不成立；
②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
13．如图，在 中， ， 是 内的一点，且 ，求证：
（反证法）
【分析】运用反证法进行求解：
（1）假设结论 不成立，即 成立．
（2）从假设出发推出与已知相矛盾．
（3）得到假设不成立，则结论成立．
60° 60°
180°
180°
A∠ B∠ C∠ A∠ B∠
180A B∴∠ + ∠ > °
ABC∆ AB AC= P ABC∆ APB APC∠ > ∠ PB PC<
PB PC< PB PC【解答】证明：假设 ．
把 绕点 逆时针旋转，使 与 重合，
， ，
，
，
又 ，
，
，即 ，
又 ，
，与 矛盾，
不成立，
综上所述，得： ．
【点评】此题主要考查了反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．
14．证明：在 中， ， ， 中至少有一个角大于或等于 ．
【分析】利用反证法的步骤，首先假设原命题错误，进而得出与三角形内角和定理矛盾，从
而证明原命题正确．
【解答】证明：假设 中每个内角都小于 ，
则 ，
这与三角形内角和定理矛盾，
故假设错误，即原结论成立，在 中， ， ， 中至少有一个角大于或等于
．
【点评】此题主要考查了反证法，正确把握反证法的证明步骤是解题关键．
15．用反证法证明：等腰三角形的底角相等．
【分析】画出图形，写出已知、求证，然后根据反证法的步骤给出证明即可解决问题．
【解答】已知：如图 中， ，求证： ．
PB PC
ABP∆ A B C
PB PC PB CD=
CD PC∴
CPD CDP∴∠ ∠
AP AD=
APD ADP∴∠ = ∠
APD CPD ADP CDP∴∠ + ∠ ∠ + ∠ APC ADC∠ ∠
APB ADC∠ = ∠
APC APB∴∠ ∠ APB APC∠ > ∠
PB PC∴
PB PC<
ABC∆ A∠ B∠ C∠ 60°
ABC∆ 60°
180A B C∠ + ∠ + ∠ < °
ABC∆ A∠ B∠ C∠
60°
ABC∆ AB AC= B C∠ = ∠证明：假设 ， ，
，
，
这与已知 矛盾，
假设不成立，结论成立．
．
【点评】本题考查反证法，记住反证法分步骤是解题的关键，记住反证法的第一步是假设结
论不成立，然后推出与已知或定理矛盾，最后强调假设不成立，结论成立，属于中考常
考题型．
B C∠ ≠ ∠ ( )B C∠ > ∠
B C∠ > ∠
AC AB∴ >
AB AC=
∴
B C∴∠ = ∠
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